2023中考沖刺數(shù)學(xué)專題6

PAGEPAGE102023中考沖刺數(shù)學(xué)專題6——綜合型問題例題1〔2023四川攀枝花〕如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合〕，過點(diǎn)P作直線PQ∥BD,交CD邊于Q點(diǎn)，再把△PQC沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)。設(shè)CP=x,△PQR與矩形ABCD重疊局部的面積為y。〔1〕求∠CPQ的度數(shù)。〔2〕當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的邊AB上？〔3〕當(dāng)點(diǎn)R在矩形ABCD外部時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。并求此時(shí)函數(shù)值y的取值范圍。例題3〔2023浙江義烏〕如圖1，∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)〔點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合〕，連結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F.〔1〕如圖2，當(dāng)BP=BA時(shí)，∠EBF=°，猜想∠QFC=°；〔2〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；圖1ACBEQFP圖2ABEQPFC圖1ACB圖1ACBEQFP圖2ABEQPFC圖1ACBEQFP例題4〔2023重慶〕：如圖〔1〕，在直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的等邊△的頂點(diǎn)在第一象限，頂點(diǎn)在軸的正半軸上.另一等腰△的頂點(diǎn)在第四象限，，．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止．〔1〕求在運(yùn)動(dòng)過程中形成的△的面積與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；〔2〕在等邊△的邊上〔點(diǎn)除外〕存在點(diǎn)，使得△為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔3〕如圖(2)，現(xiàn)有，其兩邊分別與，交于點(diǎn)，，連接．將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)〔旋轉(zhuǎn)角〕，使得，始終在邊和邊上．試判斷在這一過程中，△的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？假設(shè)沒變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；假設(shè)發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．例題5〔2023甘肅蘭州〕如圖1，矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E〔4,0〕〔1〕當(dāng)x取何值時(shí)，該拋物線的最大值是多少？〔2〕將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng).設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒〔0≤t≤3〕，直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N〔如圖2所示〕.①當(dāng)時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說明理由；②以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積是否可能為5，假設(shè)有可能，求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)無可能，請(qǐng)說明理由．圖1圖2例題7〔2023四川成都〕在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)〔點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)〕，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，假設(shè)將經(jīng)過兩點(diǎn)的直線沿軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸是直線．〔1〕求直線及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕如果P是線段上一點(diǎn)，設(shè)、的面積分別為、，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕設(shè)⊙Q的半徑為l，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，那么在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在⊙Q與坐標(biāo)軸相切的情況？假設(shè)存在，求出圓心的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．并探究：假設(shè)設(shè)⊙Q的半徑為，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)取何值時(shí)，⊙Q與兩坐軸同時(shí)相切？解答：〔1〕∵沿軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，∴，。將代入，得。解得?！嘀本€AC的函數(shù)表達(dá)式為?！邟佄锞€的對(duì)稱軸是直線∴解得∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為。〔2〕如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D?！?，∴∴。過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，∴，∴∴，解得∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔3〕〔Ⅰ〕假設(shè)⊙Q在運(yùn)動(dòng)過程中，存在與坐標(biāo)軸相切的情況。設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。當(dāng)⊙Q與y軸相切時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，得，∴當(dāng)時(shí)，得，∴當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，得，即，解得，∴當(dāng)時(shí)，得，即，解得，∴，。綜上所述，存在符合條件的⊙Q，其圓心Q的坐標(biāo)分別為，，，，?！并颉吃O(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。當(dāng)⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切時(shí)，有。由，得，即，∵△=∴此方程無解。由，得，即，解得∴當(dāng)⊙Q的半徑時(shí)，⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切。例題8〔2023湖南常德〕如圖,拋物線與軸交于A(－4，0)和B(1，0)兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)．〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，作EF//AC交BC于F，連接CE，當(dāng)△CEF的面積是△BEF面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo);〔3〕假設(shè)P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：〔1〕由二次函數(shù)與軸交于、兩點(diǎn)可得：解得：故所求二次函數(shù)的解析式為．〔2〕∵S△CEF=2S△BEF,∴∵EF//AC,∴,∴△BEF～△BAC,∴得故E點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0). 〔3〕解法一：由拋物線與軸的交點(diǎn)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為〔0，－2〕．假設(shè)設(shè)直線的解析式為，那么有解得：故直線的解析式為．假設(shè)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)是過點(diǎn)所作軸的平行線與直線的交點(diǎn)，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為〔．那么有：＝＝即當(dāng)時(shí)，線段取大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為〔－2，－3〕解法二：延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，那么．要使線段最長(zhǎng)，那么只須△的面積取大值時(shí)即可.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為〔，那么有:＝＝＝＝＝＝－即時(shí)，△的面積取大值，此時(shí)線段最長(zhǎng)，那么點(diǎn)坐標(biāo)為〔－2，－3〕【技巧提煉】解數(shù)學(xué)綜合題，一要樹立必勝的信心，二要具備扎實(shí)的根底知識(shí)和熟練的根本技能，三要掌握常用的解題策略。現(xiàn)介紹幾種常用的解題策略，供初三同學(xué)參考。1、以坐標(biāo)系為橋梁，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想縱觀最近幾年各地的中考?jí)狠S題，絕大局部都是與坐標(biāo)系有關(guān)的，其特點(diǎn)是通過建立點(diǎn)與數(shù)即坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答。2、以直線或拋物線知識(shí)為載體，運(yùn)用函數(shù)與方程思想直線與拋物線是初中數(shù)學(xué)中的兩類重要函數(shù)，即一次函數(shù)與二次函數(shù)所表示的圖形。因此，無論是求其解析式還是研究其性質(zhì)，都離不開函數(shù)與方程的思想。例如函數(shù)解析式確實(shí)定，往往需要根據(jù)條件列方程或方程組并解之而得。3、利用條件或結(jié)論的多變性，運(yùn)用分類討論的思想分類討論思想可用來檢測(cè)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性與嚴(yán)密性，常常通過條件的多變性或結(jié)論的不確定性來進(jìn)行考察，有些問題，如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。4、綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都離不開轉(zhuǎn)換的思想，初中數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)換大體包括由向未知，由復(fù)雜向簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換，而作為中考?jí)狠S題，更注意不同知識(shí)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，一道中考?jí)狠S題一般是融代數(shù)、幾何、三角于一體的綜合試題，轉(zhuǎn)換的思路更要得到充分的應(yīng)用?！倔w驗(yàn)中考】1．〔2023福建德化〕：如圖，點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(、除外)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，矩形的周長(zhǎng)為，在以下列圖象中，大致表示與之間的函數(shù)關(guān)系的是〔〕.xyxy0Axy0Dxy0Byx0CPDABCCEF2．〔2023四川南充〕如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B．點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是l1和l2上的動(dòng)點(diǎn)，MN沿l1和l2平移．⊙O的半徑為1，∠1＝60°．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是〔〕．l1l2ABMNO1〔A〕

〔B〕假設(shè)MN與⊙O相切，那么

〔C〕假設(shè)∠MON＝90°，那么MN與⊙O相切l(wèi)1l2ABMNO13．〔2023湖北鄂州〕如下列圖，四邊形OABC為正方形，邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)A、C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)Ｄ在OA上，且Ｄ點(diǎn)的坐標(biāo)為〔2，0〕，P是OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求PD+PA和的最小值是〔〕A．B．C．4D．64．〔2023湖北宜昌〕如圖,在圓心角為90°的扇形MNK中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，沿MNeq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(NK))KM運(yùn)動(dòng)，最后回到點(diǎn)M的位置。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，P與M兩點(diǎn)之間的距離為y，其圖象可能是〔〕。5．〔2023湖南懷化〕圖9是二次函數(shù)的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,-4).〔1〕求出圖象與軸的交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；〔2〕在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使,假設(shè)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；〔3〕將二次函數(shù)的圖象在軸下方的局部沿軸翻折，圖象的其余局部保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象答復(fù)：當(dāng)直線與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍.6．〔2023湖北鄂州〕如圖，在直角坐標(biāo)系中，A〔-1，0〕，B〔0，2〕，一動(dòng)點(diǎn)P沿過B點(diǎn)且垂直于AB的射線BM運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，射線BM與x軸交與點(diǎn)C．〔1〕求點(diǎn)C的坐標(biāo)．〔2〕求過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．〔3〕假設(shè)P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)也同時(shí)從C出發(fā)，以P點(diǎn)相同的速度沿x軸負(fù)方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，t秒后，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．〔點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)〕求t的值．〔4〕在〔2〕〔3〕的條件下，當(dāng)CQ=CP時(shí)，求直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)．7．〔2023湖北荊州〕如圖，直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點(diǎn)，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DEF=45°．〔1〕直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系；〔3〕當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，將△AEF沿EF折疊，得到△，求△與五邊形OEFBC重疊局部的面積．8．〔2023湖北省咸寧〕如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作直線l∥AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t〔秒〕．全品中考網(wǎng)〔2〕當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值；〔3〕當(dāng)t＞2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R．請(qǐng)?zhí)骄渴欠駷槎ㄖ?，假設(shè)是，試求這個(gè)定值；假設(shè)不是，請(qǐng)說明理由．ABABCD〔備用圖1〕ABCD〔備用圖2〕QABCDlMPE9．〔2023江蘇揚(yáng)州〕在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E在斜邊AB上，過點(diǎn)E作直線與△ABC的直角邊相交于點(diǎn)F，設(shè)AE＝x，△AEF的面積為y．〔1〕求線段AD的長(zhǎng)；〔2〕假設(shè)EF⊥AB，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí)，①求y與x的函數(shù)關(guān)系式〔寫出自變量x的取值范圍〕②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求其最大值；〔3〕假設(shè)F在直角邊AC上〔點(diǎn)F與A、C兩點(diǎn)均不重合〕，點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)，試問：是否存在直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？假設(shè)存在直線EF，求出x的值；假設(shè)不存在直線EF，請(qǐng)說明理由．答案1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】(1)因?yàn)镸(1,-4)是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以令解之得.∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A〔-1，0〕，B〔3,0〕(2)在二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使設(shè)那么，又,∴∵二次函數(shù)的最小值為-4，∴.當(dāng)時(shí)，.故P點(diǎn)坐標(biāo)為〔-2，5〕或〔4，5〕〔3〕如圖1，當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，可得當(dāng)直線經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，可得由圖可知符合題意的的取值范圍為6．【答案】〔1〕點(diǎn)C的坐標(biāo)是〔4，0〕；〔2〕設(shè)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c〔a≠0〕，將點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：解得，∴拋物線的解析式是：y=x2+x+2．〔3〕設(shè)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，那么BP=t，CQ=t．以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，可分三種情況討論．①假設(shè)CQ=PC，如下列圖，那么PC=CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．②假設(shè)PQ=QC，如下列圖，過點(diǎn)Q作DQ⊥BC交CB于點(diǎn)D，那么有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．③假設(shè)PQ=PC，如下列圖，過點(diǎn)P作PE⊥AC交AC于點(diǎn)E，那么EC=QE=PC，∴t=〔-t〕，解得t=．〔4〕當(dāng)CQ=PC時(shí)，由〔3〕知t=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔2，1〕，∴直線OP的解析式是：y=x，因而有x=x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±，∴直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔1+，〕和〔1-，〕．7．【答案】〔1〕D點(diǎn)的坐標(biāo)是.〔2〕連結(jié)OD,如圖〔1〕，由結(jié)論〔1〕知：D在∠COA的平分線上，那么∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°∴∠1=∠2,∴△ODE∽△AEF∴，即：∴y與x的解析式為：〔3〕當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3種情況.當(dāng)EF=AF時(shí)，如圖〔2〕.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF為等腰直角三角形.D在A’E上〔A’E⊥OA〕,B在A’F上〔A’F⊥EF〕∴△A’EF與五邊形OEFBC重疊的面積為四邊形EFBD的面積.∵∴∴∴〔也可用〕②當(dāng)EF=AE時(shí)，如圖〔3〕，此時(shí)△A’EF與五邊形OEFBC重疊局部面積為△A’EF面積.∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA∴四邊形DEAB是平行四邊形∴AE=DB=∴③當(dāng)AF=AE時(shí)，如圖〔4〕，四邊形AEA’F為菱形且△A’EF在五邊形OEFBC內(nèi).∴此時(shí)△A’EF與五邊形OEFBC重疊局部面積為△A’EF面積.由〔2〕知△