2022-2023學(xué)年蘇教版必修第一冊(cè) 1.1 集合的概念與表示 學(xué)案

第1章集合§1.1集合的概念與表示學(xué)習(xí)目標(biāo)I.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用.2.理解集合中元素的基本屬性.3.初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法,會(huì)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合.4.理解集合相等、有限集、無(wú)限集、空集等概念.導(dǎo)語(yǔ)在體育課上，體育老師常說(shuō)的一句話(huà)就是“集合”，這個(gè)時(shí)候，同學(xué)們從四面八方集合到一起，而這個(gè)集合是一個(gè)動(dòng)詞，在我們數(shù)學(xué)課上，也有一個(gè)名詞“集合”，比如在小學(xué)和初中,我們學(xué)習(xí)過(guò)自然數(shù)的集合，同一平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合等，為了進(jìn)一步了解集合的有關(guān)知識(shí)，請(qǐng)同學(xué)們觀(guān)察下面的幾個(gè)例子.一、集合的相關(guān)概念問(wèn)題I看下面的幾個(gè)例子，觀(guān)察并討論它們有什么共同特點(diǎn)？(1)1?10之間的所有偶數(shù);(2)立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生；(3)所有正方形；(4)到直線(xiàn)I的距離等于定長(zhǎng)d的所有點(diǎn)；(5)方程.F—3x+2=0的所有實(shí)數(shù)根；⑹地球上的四大洋.提示以.上例子中指的都是“所有的”，即某種研究對(duì)象的全體，而且每個(gè)例子中的研究對(duì)象都是確定的、互不相同的.知識(shí)梳理.集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合,通常用大寫(xiě)拉丁字母來(lái)表示集合.元素：集合中的母二念對(duì)遂稱(chēng)為該集合的元素，簡(jiǎn)稱(chēng)元一通常用生”拉丁字母來(lái)表示..常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱(chēng)自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN"或N+ZQR問(wèn)題2如果體育老師說(shuō)“男同學(xué)打籃球，女同學(xué)跳繩”，你去打籃球嗎？提示是男生就去，不是男生就不去..已知集合A含有兩個(gè)元素1和標(biāo)，若。￡4求實(shí)數(shù)。的值.解由題意可知，4=1或標(biāo)=%(1)若。=1,則屏=],這與a2rl相矛盾,故aXl.(2)若標(biāo)=〃，則a=0或[=1(舍去)，又當(dāng)。=0時(shí)，4中含有元素1和0,滿(mǎn)足集合中元素的互異性，符合題意.綜上可知，實(shí)數(shù)〃的值為0..用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程x(a2+2x+1)=0的解集；(2)在自然數(shù)集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合；⑶不等式工一2>6的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合；2x+y=3,⑸方程組；,的解集.[x~2y=4解(1){0,-1}.(2){小=22+1,且4<1000,&￡N}.(3){x|x>8}.(4){1,2,3,4,5,6}.(5)解集用描述法表示為3+)，=3仲，y)一4plx—2y—4解集用列舉法表示為{(2,-1)}.n綜合運(yùn)用.由大于一3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是(){x|-3<x<ll,xGZ){x|-3<x<ll}{x|—3<v<l1,x=2k}{x|-3<x<ll,x=?k,kGZ\答案D解析由題意可知，滿(mǎn)足題設(shè)條件的只有選項(xiàng)D.12.已知a,沙是非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式普冊(cè)+喘的值組成的集合是M,則下列判斷正確的是()A.OeMB.-1WMD.C.34M答案B解析當(dāng)。，》全為正數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是3；當(dāng)〃全是負(fù)數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值是一1；當(dāng)人是一正一負(fù)時(shí)，代數(shù)式的值是一1.D.13.（多選）已知集合M中的元素x滿(mǎn)足.1=。+也從其中小b￡Z,則下列選項(xiàng)中屬于集合M的是（）A.0B.3^2-1C偵答案ABD解析當(dāng)a=b=O時(shí)，x=0；當(dāng)a=I,6=3時(shí)，x=1+3a/5=36-1；當(dāng)a=-1,b=-\時(shí)，x=—I-巾,寸」1+^2?r-1一也（1一啦）（1+啦）’所以此時(shí)x=]綜上所述，A,B,D中的數(shù)都是集合M中的元素.因?yàn)閍,bWZ,無(wú)法滿(mǎn)足犬=加，所以C中的數(shù)不屬于集合M..若集合A={〃-3,2。一1,標(biāo)一4},且一3￡A,則實(shí)數(shù)。=.答案?；?解析由題意，若。-3=-3,可得4=0,此時(shí)集合4={-3,-1,-4）,符合題意；若2a—1=-3,可得。=一1,此時(shí)*一4=一3,不滿(mǎn)足集合元素的互異性，舍去；若岸一4=-3,可得〃=1或〃=—1（舍去），當(dāng)。=1時(shí)，集合A={-2,1,—3},符合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)〃的值為0或1.;拓廣探究.已知集合“有2個(gè)元素-2一心若一侔M,則下列說(shuō)法一定錯(cuò)誤的是.（填序號(hào)）①2WM；②1￡M；③xW3.答案②xW—1,解析依題意,2—xW—1,、xX2-x.解得了N—l,xXl且xK3,所以②錯(cuò)誤，③正確.當(dāng)x=2或2—x=2,即x=2或x=0時(shí)，M中的元素為0,2,故①可能正確..已知集合A={.巾=3〃+1,〃￡Z},4="僅=3〃+2,〃￡Z},M={x|x=6〃+3,〃￡Z}.⑴若/“EM,則是否存在bGB,使m=a+b成立?(2)對(duì)于任意b￡B,是否一定存在使。+/?=〃?？證明你的結(jié)論.解(1)設(shè)陽(yáng)=6女+3=32+1+3A+2(&￡Z),令a=3左+1/￡Z),/?=3&+2(&￡Z),則加=a+b.故若用￡M,則存在bGB,使切=。+》成立.(2)設(shè)a=3%+1,b=3/+2,k,ZeZ,則。+/>=3伏+/)+3,k,ZeZ.當(dāng)&+/=2p(p￡Z)時(shí)，a+6=6〃+3￡M,此時(shí)存在使成立；當(dāng)k+/=2p+1(〃￡Z)時(shí)，a+/?=6p+6莊M,此時(shí)不存在機(jī)￡M,使a+b=m成立.故對(duì)于任意bWB,不一定存在/"￡/Vf,使〃+}=/".3.元素與集合的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果4是集合?的元素,就說(shuō)。屬于集合4a屬于A(yíng)不屬于如果a不是集合4的元素,就說(shuō)。不屬于集合A展A或aAa不屬于A(yíng)元素與集合之間是屬于或不屬于的關(guān)系，注意符號(hào)的書(shū)寫(xiě).例1（1）下列對(duì)象能組成集合的是（）A.g的所有近似值B.某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)好的所有同學(xué)C.2022年高考數(shù)學(xué)試卷中所有難題D.北京冬奧會(huì)的全體運(yùn)動(dòng)員答案D解析D中的對(duì)象都是確定的，而且是不同的.A中的“近似值”，B中的“學(xué)習(xí)好”，C中的“難題”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿(mǎn)足確定性，因此A,B,C都不能構(gòu)成集合.（2）（多選）下列選項(xiàng)中，正確的是（）A.2￡QB.|-3|￡NC.|-3|ezD.0?N答案ABC解析根據(jù)元素與集合的關(guān)系得2￡Q,A正確；|-3|=3GN,B正確;|-3|=3GZ,C正確；0￡N,D錯(cuò)誤.反思感悟（1）判斷一組對(duì)象能構(gòu)成集合的條件是，能找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能確定它是不是給定集合的元素.（2）判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法①直接法：集合中的元素是直接給出的.②推理法：對(duì)于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿(mǎn)足集合中元素所具有的特征即可.跟蹤訓(xùn)練1（1）（多選）下列說(shuō)法正確的有工）A.花壇上色彩艷麗的花朵構(gòu)成一個(gè)集合B.正方體的全體構(gòu)成一個(gè)集合C.未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成?個(gè)集合D.不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合答案BD解析在A(yíng)中，花壇上色彩艷麗的花朵不能構(gòu)成一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；在B中，正方體的全體能構(gòu)成一個(gè)集合，故B正確；在C中，未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品不能構(gòu)成一個(gè)集合，故C錯(cuò)誤；在D中，不大于3的所有自然數(shù)能構(gòu)成一個(gè)集合，故D正確.(2)設(shè)集合M是由不小于2小的數(shù)組成的集合，。=仃，則下列關(guān)系中正確的是()A.aGMB.烝MC.a=MD.aWM答案B解析,:?。?鄧,二、集合元素基本屬性的應(yīng)用知識(shí)梳理集合元素的基本屬性(1)確定性：集合的元素必須是確定的.(2)互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的.(3)無(wú)序性：集合中的元素可以任意排列.注意點(diǎn)：集合中的元素必須是確定的，不能是模棱兩可的，任何兩個(gè)元素不能相同，且與順序無(wú)關(guān).例2已知集合A是由a—2,加2+5〃，|2三個(gè)元素組成的，且一3￡人求實(shí)數(shù)外解由一3￡八，可得一3=〃-2或一3=2/+5〃，??a=~\或a=—|.當(dāng)4=—1時(shí)，4—2=-3,%尸+5〃=一3,不符合集合中元素的互異性，故。=一1應(yīng)舍去.373當(dāng)4=—5時(shí)，4—2=—5，2a2+5〃=—3,符合集合中元素的互異性，，a=-延伸探究在本例中，若集合4中的三個(gè)元素?fù)Q為〃-3,2a-1,a2-4,其余不變，求實(shí)數(shù)a的值.解①若。一3=—3,則。=0,此時(shí)A中的元素為一3,—I,-4,滿(mǎn)足題意.②若加一1=一3,則4=一1,此時(shí)A中的元素為一4,—3,—3,不滿(mǎn)足元素的互異性.③若*一4=-3,則〃=±1.當(dāng)。=1時(shí)，A中的元素為一2,1,—3,滿(mǎn)足題意；當(dāng)。=—1時(shí)，由②知不符合題意.綜上可知，4=0或4=1.反思感悟利用集合中元素的確定性、互異性求參數(shù)的策略及注意點(diǎn)(I)策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).(2)注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練2設(shè)集合人中含有三個(gè)元素3,x,好一2工⑴求實(shí)數(shù)x應(yīng)滿(mǎn)足的條件；(2)若一2EA,求實(shí)數(shù)x的值.解(1)由集合中元素的互異性可知，且xWx2—2x,x2—2m#3.解得xW—1且4W0,xW3.(2)?.?-2WA,???%=一2或9一公=一2.由于x2—2x=(x—1)2—12—1,.\x=-2.三、集合的表示問(wèn)題3用人表示“本班所有的男生”組成的集合，這是利用的哪種方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列舉出來(lái)嗎？提示①這是用自然語(yǔ)言法表示的集合；②我們可以把所有男生的名字寫(xiě)出來(lái)，或者把所有男生的學(xué)號(hào)一一寫(xiě)出.知識(shí)梳理列舉法：將集合的元素一一列舉一來(lái),并置于花括號(hào)“{}”內(nèi)的表示集合的方法叫做到舉法.注意點(diǎn)：(1)集合中的元素之間用逗號(hào)分隔，元素不重復(fù)，元素?zé)o順序.(2)元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，把元素一一列舉并用“{}”括起來(lái)即可；元素個(gè)數(shù)較多且有明顯規(guī)律，可用列舉法，但必須把規(guī)律顯示清楚，然后加省略號(hào).問(wèn)題4你能用列舉法表示不等式工一7<3的解集嗎？提示不等式x—7<3的解是x<10,因?yàn)闈M(mǎn)足x<10的實(shí)數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，所以工一7<3的解集無(wú)法用列舉法表示.但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即X是實(shí)數(shù)，且x<10,把解集表示為{小<10,x￡R}.問(wèn)題5仿照上面的例子以及閱讀課本，你能表示偶數(shù)集嗎？提示{x\x=2k,kSZ].知識(shí)梳理.描述法：將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿(mǎn)足的條件)表示出來(lái)，寫(xiě)成母必!的形式，這樣表示集合的方法稱(chēng)為描述法.注意點(diǎn)：(1)用描述法表示集合時(shí)，應(yīng)寫(xiě)清該集合中元素的代表符號(hào)，并用簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確的語(yǔ)言描述集合的特征性質(zhì).(2)從上下文的關(guān)系來(lái)看，若元素的取值(或變化)范圍是明確的，則可省略不寫(xiě)..為了直觀(guān)地表示集合，我們常畫(huà)一條封閉的曲線(xiàn)，用它的內(nèi)部來(lái)表示??個(gè)集合，稱(chēng)為Venn圖..集合的分類(lèi)按照集合元素的多少，集合可以分為有限集和無(wú)限集.(1)一般地，含有有限個(gè)元素的集合稱(chēng)為有限集.(2)?般地，含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱(chēng)為無(wú)限集.⑶不含任何元素的集合稱(chēng)為空集，記作0.4.集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱(chēng)這兩個(gè)集合相等.例3(1)用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝薪o定的集合：①不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；②方程爐一2?—3=0的實(shí)數(shù)根組成的集合C：③方程組的解集D；[x—y=2④不等式2x-3〈l的解組成的集合A；⑤被3除余2的正整數(shù)的集合儀⑥平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合。.解①不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0,2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10).②方程f—2x—3=0的實(shí)數(shù)根為一1,3,所以。={-1,3}.v-4-4rA③方程組;的解為「x—y=2y=1.所以方程組的解集。={(3,1)}.④不等式標(biāo)一3<1的解組成的集合為A,則集合A中的元素是數(shù)，設(shè)代表元素為x,則x滿(mǎn)足2x-3〈l,則A={M2r-3〈l},即A={Mx<2}.

⑤設(shè)被3除余2的數(shù)為x,則x=3〃+2,〃￡Z.但元素為正整數(shù)，故x=3〃+2,〃￡N.所以被3除余2的正整數(shù)的集合3={.小=3〃+2,〃￡N}.⑥平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即.NO,)>0,故第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合為。={(x,y)\x<0,y>0}.，y的值為.(2)設(shè)集合A={x,田，8={0,爐}，若A,8相等，則實(shí)數(shù)，y的值為.答案I0解析因?yàn)榧螦,B相等，則4=0或y=0.①當(dāng)x=。時(shí)，f=0,不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，故舍去；②當(dāng)y=0時(shí)，解得x=0或x=l,由①知x=0應(yīng)舍去，故x=l.綜上可知，x=\yy=0.反思感悟(1)用列舉法表示集合的注意點(diǎn)①把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次.②這里“{}”已包含所有的意思，不能出現(xiàn)“全體”“所有”等.(2)利用描述法表示集合的注意點(diǎn)①寫(xiě)清楚該集合代表元素的符號(hào).②所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi).(3)一個(gè)集合可以用不同的方法表示.若兩個(gè)集合相等，則這兩個(gè)集合的元素相同，要注意其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等，應(yīng)注意檢驗(yàn)元素是否滿(mǎn)足互異性.跟蹤訓(xùn)練3(1)用列舉法或描述法表示下列集合.①由所有小于1()的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合；?A={(x,,y)|x+y=3,)，￡N}；③比1大又比10小的實(shí)數(shù)組成的集合；④不等式3x+422x的所有解；⑤直線(xiàn)y=x上的點(diǎn)的集合.解①滿(mǎn)足條件的數(shù)有3,5,7,所以所求集合為{3,5,7}.②因?yàn)閤￡N,y￡N,x+y=3,所以所以所以x=0,c或b=3所以x=0,c或b=3x=\,c或U=2x=2.x=3,y=o.0)).故人={(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)).④可以表示成{x|3x+422i},即{小2—4}.⑤可以表示成{。，y)|x—>=()}.(2)設(shè)a,Z?￡R,集合{1,a+b,a}=((),b},則Z?—a=.答案2解析由題意可知。六0,則。+。=0,$=-1，*.a=~\,b=I,:.b-a=2.-課堂小結(jié)-.知識(shí)清單：(I)集合的概念、元素與集合的關(guān)系.(2)集合中元素的特性及應(yīng)用.(3)用列舉法和描述法表示集合..方法歸納：分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化..常見(jiàn)誤區(qū)：忽視集合中元素的互異性；忽視點(diǎn)集與數(shù)集的區(qū)別.N隨堂演練1.(多選)下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的有()A.接近于1的所有正整數(shù)B.小于0的實(shí)數(shù)C.點(diǎn)(2022,1)與點(diǎn)(1,2022)D.某班級(jí)里身高較高的學(xué)生答案BC解析A中，接近于1的所有正整數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不明確，故不能構(gòu)成集合；B中，小于0是一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，能構(gòu)成集合；C中，(2022,1)與(1,2022)是兩個(gè)不同的點(diǎn)，是確定的，能構(gòu)成集合；D中，某班級(jí)里身高較高的學(xué)生不能構(gòu)成一個(gè)集合.2.已知集合A中的元素x滿(mǎn)足x—lV小，則下列各式正確的是()A.3sA且一3GAB.3WA且一3仁4C.3qA且一34AD.34A且一3￡A答案D解析???3—1=2k/5,???3?4.又一3—1=一4<5,?，?一3￡4.集合{.很一3<2,x￡N.}的另一種表示法是()A.{(),I,2,3,4}B.{1,2,3,4)C.{0,I,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}答案B解析?.“一3<2,x￡N",A.r<5,xeN\.*.x=1,2,3,4..設(shè)集合4={1,〃},3={巾。-4)。一。)=。}，若A=8,則a=,b=答案01解析A={1,a],解方程x(x—〃)(x—b)=。，得x=0或a或力，若4=4,則a=0,b=\.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練;基礎(chǔ)鞏固1.（多選）下列選項(xiàng)中能構(gòu)成集合的是（）A.高一年級(jí)跑得快的同學(xué)B.中國(guó)的大河C.3的倍數(shù)D.大于6的有理數(shù)答案CD解析選項(xiàng)A,B都不具備確定性，不能構(gòu)成集合..若〃是R中的元素，但不是Q中的元素，則〃可以是（）A.3.14B.-5C部小答案D解析由題意知。應(yīng)為無(wú)理數(shù)，故?？梢詾槭?.集合M是由大于一2且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系式正確的是（）A.小SMB.06MC.D.一獨(dú)W答案D解析小>1,故A錯(cuò)；-2<0<1,故B錯(cuò)；I不小于1,故C錯(cuò)；一2<一紅1,故D正確..若以集合A的四個(gè)元素a,b,c