8直線與平面垂直的性質(zhì)定理講義2022年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修立體幾何初步

第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)定理(教師獨具內(nèi)容)課程標準：1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面的關(guān)系.2.歸納出直線與平面垂直的性質(zhì)定理．教學(xué)重點：直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用．教學(xué)難點：直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用．核心素養(yǎng)：1.通過借助長方體發(fā)現(xiàn)，并歸納出直線與平面垂直的性質(zhì)定理的過程培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理解決問題的過程發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).1．平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化2．求點到平面的距離的常用方法(1)直接法(一作(或找)二證(或說)三計算)；(2)轉(zhuǎn)移法(找過點與面平行的線或面)；(3)等體積法(三棱錐變換頂點，屬間接求法)．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線a⊥平面α，直線b⊥平面β，且α∥β，則a∥b.()(2)若直線a∥平面α，直線b⊥平面α，則直線b⊥直線a.()(3)到已知平面距離相等的兩條直線平行．()2．做一做(1)若a，b表示直線，α表示平面，下列命題中正確的個數(shù)為()①a⊥α，a⊥b?b∥α；②a∥α，a⊥b?b⊥α；③a⊥α，b⊥α?a∥b.A．1 B．2C．3 D．0(2)若直線AB∥平面α，且點A到平面α的距離為2，則點B到平面α的距離為____.(3)在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是____.(4)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD相交于點O，A1C1與B1D1相交于點O1，則OO1與平面A1B1C1D1的位置關(guān)系是____.題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖，在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E是A1D上的點，F(xiàn)是AC上的點，且EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.[跟蹤訓(xùn)練1]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CD，A1D1的中點．(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由．題型二空間中的距離問題例2如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E－BB1C1C的體積．[跟蹤訓(xùn)練2]如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC的中點，M是PD的中點．(1)求證：AE⊥平面PAD；(2)若AB＝AP＝2，求點P到平面AMC的距離．題型三直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，且EF⊥AC.求證：eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).[跟蹤訓(xùn)練3]已知α∩β＝AB，PQ⊥α于點Q，PO⊥β于點O，OR⊥α于點R，求證：QR⊥AB.1．已知△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．不確定2．已知l，m，n是三條不同的直線，α是一平面．下列命題中正確的個數(shù)為()①若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n；③若l∥α，l⊥m，則m⊥α.A．1 B．2C．3 D．03.(多選)如圖，直線PA垂直于圓O所在的平面，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，點M為線段PB的中點．以下結(jié)論中正確的是()A．BC⊥PCB．OM∥平面PACC．點B到平面PAC的距離等于線段BC的長D．三棱錐M－PAC的體積等于三棱錐P－ABC體積的eq\f(1,3)4．如圖，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，則CE＝____.5．如圖所示，已知平面α∩平面β＝EF，A為α，β外一點，AB⊥α于點B，AC⊥β于點C，CD⊥α于點D.求證：BD⊥EF.一、選擇題1．用a，b，c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號是()A．①② B．②③C．①④ D．③④2．直線l垂直于梯形ABCD的兩腰AB和CD，直線m垂直于AD和BC，則l與m的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．不確定3．地面上有兩根相距a米的旗桿，它們的高分別是b米和c米(b＞c)，則它們上端的距離為()\r(a2＋b2) B．eq\r(b2＋c2)\r(a2＋b2－c2) D．eq\r(a2＋b－c2)4．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是()A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH5.(多選)如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，BC邊上的高為AD，沿AD把△ABC折起來，則()A．在折起的過程中始終有AD⊥平面DB′CB．三棱錐A－DB′C的體積的最大值為eq\f(\r(3),48)C．當(dāng)∠B′DC＝60°時，點A到B′C的距離為eq\f(\r(15),4)D．當(dāng)∠B′DC＝90°時，點C到平面ADB′的距離為eq\f(1,2)二、填空題6．a(chǎn)，b是異面直線，直線l⊥a，l⊥b，直線m⊥a，m⊥b，則l與m的位置關(guān)系是____.7.如圖，設(shè)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E，F(xiàn)分別為棱AB，A1C1的中點，則EF的長為____.8．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點，E是PC上的點，且EF⊥BC，則eq\f(PE,EC)＝____.三、解答題9．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，B為垂足，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.10.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點．1．直線a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個不同平面內(nèi)，不能使a∥b成立的條件是()A．a(chǎn)和b垂直于正方體的同一個面B．a(chǎn)和b在正方體兩個相對的面內(nèi)，且共面C．a(chǎn)和b平行于同一條棱D．a(chǎn)和b在正方體的兩個面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直2．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2eq\r(2)，E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為()A．1 B．eq\r(3)C．eq\r(2) D．23.如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC邊上取點E，使PE⊥DE，則滿足條件的E點有兩個時，a的取值范圍是____.4．如圖，AA1，BB1為圓柱的母線，BC是底面圓的直徑，D，E分別是BB1，A1C的中點．證明：(1)DE∥平面ABC；(2)A1B1⊥平面A1AC.5.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點O，EB＝EC＝ED，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.(1)求證：EA⊥平面ABCD；(2)求四面體F－ECB的體積．第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)定理(教師獨具內(nèi)容)課程標準：1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面的關(guān)系.2.歸納出直線與平面垂直的性質(zhì)定理．教學(xué)重點：直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用．教學(xué)難點：直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用．核心素養(yǎng)：1.通過借助長方體發(fā)現(xiàn)，并歸納出直線與平面垂直的性質(zhì)定理的過程培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理解決問題的過程發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).1．平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化2．求點到平面的距離的常用方法(1)直接法(一作(或找)二證(或說)三計算)；(2)轉(zhuǎn)移法(找過點與面平行的線或面)；(3)等體積法(三棱錐變換頂點，屬間接求法)．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線a⊥平面α，直線b⊥平面β，且α∥β，則a∥b.()(2)若直線a∥平面α，直線b⊥平面α，則直線b⊥直線a.()(3)到已知平面距離相等的兩條直線平行．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)若a，b表示直線，α表示平面，下列命題中正確的個數(shù)為()①a⊥α，a⊥b?b∥α；②a∥α，a⊥b?b⊥α；③a⊥α，b⊥α?a∥b.A．1 B．2C．3 D．0(2)若直線AB∥平面α，且點A到平面α的距離為2，則點B到平面α的距離為____.(3)在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是____.(4)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD相交于點O，A1C1與B1D1相交于點O1，則OO1與平面A1B1C1D1的位置關(guān)系是____.答案(1)A(2)2(3)平行(4)垂直題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖，在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E是A1D上的點，F(xiàn)是AC上的點，且EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.[證明]如圖所示，連接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.證明線線平行常用的方法(1)利用線線平行的定義：證共面且無公共點．(2)利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．[跟蹤訓(xùn)練1]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CD，A1D1的中點．(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由．解(1)證明：連接A1B，則AB1⊥A1B，又因為AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，所以AB1⊥平面A1BF.又BF?平面A1BF，所以AB1⊥BF.(2)證明：取AD的中點G，連接FG，BG，則FG⊥AE，又因為△BAG≌△ADE，所以∠ABG＝∠DAE.所以AE⊥BG.又因為BG∩FG＝G，所以AE⊥平面BFG.又BF?平面BFG，所以AE⊥BF.(3)存在．取CC1的中點P，即為所求．連接EP，AP，C1D，因為EP∥C1D，C1D∥AB1，所以EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，所以BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，所以BF⊥平面AEP.題型二空間中的距離問題例2如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E－BB1C1C的體積．[解]由長方體ABCD－A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因為BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1＝90°，由題設(shè)可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，所以AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以E到平面BB1C1C的距離即為點A到平面BB1C1C的距離，AB＝3，所以四棱錐E－BB1C1C的體積V＝eq\f(1,3)×3×6×3＝18.空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距、面面距的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點到平面的距離．(2)利用中點轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點(等分點)，轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離．(3)通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴展(分割)，以方便求底面積和高．[跟蹤訓(xùn)練2]如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC的中點，M是PD的中點．(1)求證：AE⊥平面PAD；(2)若AB＝AP＝2，求點P到平面AMC的距離．解(1)證明：因為底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC為正三角形，因為E是BC的中點，所以AE⊥BC，因為AD∥BC，所以AE⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因為PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.(2)因為AB＝AP＝2，則AD＝2，AE＝eq\r(3)，所以VP－AMC＝VC－PAM＝eq\f(1,3)S△PAM·AE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).設(shè)點P到平面AMC的距離為h，即eq\f(1,3)S△AMC·h＝eq\f(\r(3),3).易知PD＝2eq\r(2)，PM＝eq\r(2)，PC＝2eq\r(2)，CD＝2，∴eq\f(8＋8－4,2×2\r(2)×2\r(2))＝eq\f(8＋2－CM2,2×2\r(2)×\r(2))，∴CM＝2，在△AMC中，AM＝eq\r(2)，AC＝CM＝2，∴S△AMC＝eq\f(\r(7),2)，∴eq\f(1,3)×eq\f(\r(7),2)h＝eq\f(\r(3),3)，∴h＝eq\f(2\r(21),7)，即點P到平面AMC的距離為eq\f(2\r(21),7).題型三直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，且EF⊥AC.求證：eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).[證明]∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).(1)線線垂直的證明，常轉(zhuǎn)化為線面垂直來證明，即：把兩條直線中一條放在某個平面內(nèi)，然后證明另一條垂直于這個平面．要證線面垂直，可通過線面垂直的定義及判定定理，體現(xiàn)了eq\x(線線垂直)→eq\x(線面垂直)→eq\x(線線垂直)，解題時要注意這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的合理應(yīng)用．(2)要學(xué)會逆向分析的方法，從要證明的結(jié)論入手，層層遞推，這是解決問題的有效方法．[跟蹤訓(xùn)練3]已知α∩β＝AB，PQ⊥α于點Q，PO⊥β于點O，OR⊥α于點R，求證：QR⊥AB.證明如圖，∵α∩β＝AB，∴AB?α，AB?β，∵PO⊥β，∴PO⊥AB.∵PQ⊥α，∴PQ⊥AB.∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.∵OR⊥α，∴PQ∥OR.∴PQ與OR確定平面PQRO.又QR?平面PQRO，∴QR⊥AB.1．已知△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．不確定答案C解析因為l⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可證m⊥α，所以l∥m.2．已知l，m，n是三條不同的直線，α是一平面．下列命題中正確的個數(shù)為()①若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n；③若l∥α，l⊥m，則m⊥α.A．1 B．2C．3 D．0答案B解析對于①，因為l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正確；對于②，因為m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正確；對于③，因為l∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m與α斜交，即③錯誤．3.(多選)如圖，直線PA垂直于圓O所在的平面，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，點M為線段PB的中點．以下結(jié)論中正確的是()A．BC⊥PCB．OM∥平面PACC．點B到平面PAC的距離等于線段BC的長D．三棱錐M－PAC的體積等于三棱錐P－ABC體積的eq\f(1,3)答案ABC解析對于A，∵直線PA垂直于圓O所在的平面，∴PA⊥BC.∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥正確；對于B，∵點M為線段PB的中點，點O為直徑AB的中點，∴OM∥PA.又PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC，B正確；對于C，∵BC⊥平面PAC，∴點B到平面PAC的距離等于線段BC的長，C正確；對于D，∵點M為線段PB的中點，∴點M到平面PAC的距離是點B到平面PAC距離的eq\f(1,2)，∴VM－PAC＝eq\f(1,2)VB－PAC，又VB－PAC＝VP－ABC，∴VM－PAC＝eq\f(1,2)VP－ABC，D不正確．故選ABC.4．如圖，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，則CE＝____.答案eq\r(13)解析因為AF⊥平面ABCD，AF∥ED，所以ED⊥平面ABCD，因為CD?平面ABCD，所以ED⊥CD，所以△EDC為直角三角形，CE＝eq\r(ED2＋CD2)＝eq\r(13).5．如圖所示，已知平面α∩平面β＝EF，A為α，β外一點，AB⊥α于點B，AC⊥β于點C，CD⊥α于點D.求證：BD⊥EF.證明∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A，B，C，D四點共面．∵AB⊥α，AC⊥β，α∩β＝EF，∴AB⊥EF，AC⊥EF.又AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABDC，∵BD?平面ABDC，∴BD⊥EF.一、選擇題1．用a，b，c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號是()A．①② B．②③C．①④ D．③④答案C解析由平行公理可知①正確；②不正確，若三條直線在同一平面內(nèi)，則a∥c；③不正確，a與b有可能平行，也有可能異面或相交；由線面垂直的性質(zhì)可知④正確．2．直線l垂直于梯形ABCD的兩腰AB和CD，直線m垂直于AD和BC，則l與m的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．不確定答案D解析根據(jù)題意，l⊥平面ABCD，m可能在平面ABCD內(nèi)，也可能垂直平面ABCD，還可能在平面ABCD外但不垂直于平面ABCD，所以直線l與m可能平行、相交或異面，故選D.3．地面上有兩根相距a米的旗桿，它們的高分別是b米和c米(b＞c)，則它們上端的距離為()\r(a2＋b2) B．eq\r(b2＋c2)\r(a2＋b2－c2) D．eq\r(a2＋b－c2)答案D解析如圖，由線面垂直的性質(zhì)定理可知AB∥CD，作AE⊥CD于E，則DE＝b－c，故AD＝eq\r(a2＋b－c2).4．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是()A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH答案B解析因為EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，所以E，F(xiàn)，H，G四點共面．又PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.5.(多選)如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，BC邊上的高為AD，沿AD把△ABC折起來，則()A．在折起的過程中始終有AD⊥平面DB′CB．三棱錐A－DB′C的體積的最大值為eq\f(\r(3),48)C．當(dāng)∠B′DC＝60°時，點A到B′C的距離為eq\f(\r(15),4)D．當(dāng)∠B′DC＝90°時，點C到平面ADB′的距離為eq\f(1,2)答案ABCD解析因為AD⊥DC，AD⊥DB′，且DC∩DB′＝D，所以AD⊥平面DB′C，故A正確；當(dāng)DB′⊥DC時，△DB′C的面積最大，此時三棱錐A－DB′C的體積也最大，最大值為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),48)，故B正確；當(dāng)∠B′DC＝60°時，△DB′C是等邊三角形，設(shè)B′C的中點為E，連接AE，DE，則AE⊥B′C，即AE為點A到B′C的距離，AE＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)))2)＝eq\f(\r(15),4)，故C正確；當(dāng)∠B′DC＝90°時，CD⊥DB′，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB′，則CD就是點C到平面ADB′的距離，CD＝eq\f(1,2)，故D正確．二、填空題6．a(chǎn)，b是異面直線，直線l⊥a，l⊥b，直線m⊥a，m⊥b，則l與m的位置關(guān)系是____.答案l∥m解析將b平移至c，且使a與c相交，則a，c確定一個平面，記作平面α.∵l⊥b，m⊥b，∴l(xiāng)⊥c，m⊥c，又l⊥a，m⊥a，∴l(xiāng)⊥平面α，m⊥平面α，∴l(xiāng)∥m.7.如圖，設(shè)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E，F(xiàn)分別為棱AB，A1C1的中點，則EF的長為____.答案eq\r(17)解析過點F作FG⊥AC于點G，則FG⊥平面ABC，連接GE，GE＝eq\f(1,2)BC＝1，則在Rt△FGE中，EF＝eq\r(FG2＋GE2)＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).8．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點，E是PC上的點，且EF⊥BC，則eq\f(PE,EC)＝____.答案1解析在三棱錐P－ABC中，∵PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，∴AB⊥平面APC，∵EF?平面PAC，∴EF⊥AB，∵EF⊥BC，∴EF⊥底面ABC，∴PA∥EF，∵F是AC的中點，E是PC上的點，∴E是PC的中點，∴eq\f(PE,EC)＝1.三、解答題9．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，B為垂足，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.證明因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a.又因為a⊥AB，AB∩EB＝B，所以a⊥平面ABE.因為α∩β＝l，所以l?α，l?β.因為EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因為EA∩EB＝E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.10.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點．證明(1)∵四邊形ADD1A1為正方形，∴AD1⊥A1D.∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)如圖所示，設(shè)AD1與A1D的交點為O，連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊eq\f(1,2)CD綊eq\f(1,2)AB，∴ON∥AM.又MN∥OA，∴四邊形AMNO為平行四邊形，∴AM＝ON＝eq\f(1,2)AB，即M是AB的中點．1．直線a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個不同平面內(nèi)，不能使a∥b成立的條件是()A．a(chǎn)和b垂直于正方體的同一個面B．a(chǎn)和b在正方體兩個相對的面內(nèi)，且共面C．a(chǎn)和b平行于同一條棱D．a(chǎn)和b在正方體的兩個面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直答案D解析A為直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用；B為平面平行的性質(zhì)；C為基本事實4的應(yīng)用．故選D.2．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2eq\r(2)，E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為()A．1 B．eq\r(3)C．eq\r(2) D．2答案A解析如圖，連接AC交BD于點O.在△CC1A中，易證OE∥AC1.又OE?平面BDE，AC1?平面BDE，∴AC1∥平面BDE，∴直線AC1與平面BED的距離為點A到平面BED的距離．連接AE.在三棱錐E－ABD中，VE－ABD＝eq\f(1,3)S△ABD×EC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3).在三棱錐A－BDE中，BD＝2eq\r(2)，BE＝eq\r(6)，DE＝eq\r(6)，∴S△EBD＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(\r(6)2－\r(2)2)＝2eq\r(2).設(shè)點