無套利定價原理三

第2章無套利定價原理

1什么是套利？

商業(yè)貿(mào)易中的”套利”行為？例1：一個貿(mào)易公司在與生產(chǎn)商甲簽訂一筆買進10噸銅合同的同時，與需求商乙簽訂一筆賣出10噸銅合同：即貿(mào)易公司與生產(chǎn)商甲約定以15,000元/噸的價格從甲那里買進10噸銅，同時與需求商乙約定把這買進的10噸銅以17,000元/噸的價格賣給乙，并且交貨時間地點都相同。這樣，1噸銅賺取差價2,000元/噸。這是套利行為嗎？2無風險套利的定義在金融理論中，套利指一個能產(chǎn)生無風險盈利的交易策略。這種套利是指純粹的無風險套利。但在實際市場中，套利一般指的是一個預期能產(chǎn)生很低風險的盈利策略，即可能會承擔一定的低風險。3金融市場中的套利行為金融市場的獨特性使得影響套利的條件比實物市場大大地減弱。（1）專業(yè)化交易市場（2）電子化、無形化、數(shù)字化

（3）賣空機制可能大大增加了套利機會

（4）在時間和空間上的多樣性也使得套利更為便捷

4無套利定價原理金融市場上實施套利行為變得非常的方便和快速。這種套利的便捷性也使得金融市場的套利機會的存在總是暫時的，因為一旦有套利機會，投資者就會很快實施套利而使得市場又回到無套利機會的均衡中。因此，無套利均衡被用于對金融產(chǎn)品進行定價。金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在無風險套利機會，這就是“無風險套利定價”原理或者簡稱為“無套利定價”原理。什么情況下市場不存在套利機會呢？5無風險套利機會存在的等價條件（1）存在兩個不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益（payoff）相同，但它們的成本卻不同；在這里，可以簡單把損益理解成是現(xiàn)金流。如果現(xiàn)金流是確定的，則相同的損益指相同的現(xiàn)金流。如果現(xiàn)金流是不確定的，即未來存在多種可能性（或者說存在多種狀態(tài)），則相同的損益指在相同狀態(tài)下現(xiàn)金流是一樣的。6（2）存在兩個相同成本的資產(chǎn)組合，但是第一個組合在所有的可能狀態(tài)下的損益都不低于第二個組合，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下第一個組合的損益要大于第二個組合的損益。（3）一個組合其構(gòu)建的成本為零，但在所有可能狀態(tài)下，這個組合的損益都不小于零，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下這個組合的損益要大于零。7無套利機會的等價性推論（1）同損益同價格：如果兩種證券具有相同的損益，則這兩種證券具有相同的價格。（2）靜態(tài)組合復制定價：如果一個資產(chǎn)組合的損益等同于一個證券，那么這個資產(chǎn)組合的價格等于證券的價格。這個資產(chǎn)組合稱為證券的“復制組合”（replicatingportfolio）。8（3）動態(tài)組合復制定價：如果一個自融資（self-financing）交易策略最后具有和一個證券相同的損益，那么這個證券的價格等于自融資交易策略的成本。這稱為動態(tài)套期保值策略（dynamichedgingstrategy）。所謂自融資交易策略簡單地說，就是交易策略所產(chǎn)生的資產(chǎn)組合的價值變化完全是由于交易的盈虧引起的，而不是另外增加現(xiàn)金投入或現(xiàn)金取出。一個簡單的例子就是購買并持有(buyandhold)策略。9確定狀態(tài)下無套利定價原理的應用1、同損益同價格（例2）假設(shè)兩個零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時都獲得100元現(xiàn)金流，即到期時具有相同的損益）。如果債券A的當前價格為98元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況。問題:（1）債券B的當前價格應該為多少呢？（2）如果債券B的當前價格只有97.5元，問是否存在套利機會？如果有，如何套利？10（1）按照無無套利定價原原理，債券B與債券A具有一樣的損損益（現(xiàn)金流流），所以債債券B的合理價格也也應該為98元。（2）當債券券B的價格為97.5元時，，說明債券B的價值被市場場低估了。那那么債券B與債券A之間存在套利利機會。實現(xiàn)套利的方方法很簡單，，買進價值低低估的資產(chǎn)-債券B，賣出價值高估估的資產(chǎn)-債券A。所以，套利的的策略就是：：賣空債券A，獲得98元，，用其中的97.5元買買進債券B，這樣套利的盈盈利為0.5元。因為，，在1年后到到期日，債券券B的面值剛好用用于支付賣空空債券A的面值。11靜態(tài)組合復制制定價（例子子3）假設(shè)3種零息息票的債券面面值都為100元，它們們的當前市場場價格分別為為：1年后到期的的零息票債券券的當前價格格為98元；；2年后到期的的零息票債券券的當前價格格為96元；；3年后到期的的零息票債券券的當前價格格為93元；；假設(shè)不考慮交交易成本和違違約。12問題：（1）如果息息票率為10％，1年支支付1次利息息的三年后到到期的債券A的當前價格應應該為多少？？（2）如果息息票率為10％，1年支支付1次利息息的三年后到到期的債券A的當前價格為為120元，，問是否存在在套利機會？？如果有，如如何套利？13對于第一個問問題，我們只只要按照無套套利定價原理理的推論（2），去構(gòu)造造一個“復制制組合”就可可以了。先看看一個息票率率為10％，，1年支付1次利息的三三年后到期的的債券的損益益情況。面值值為100元元，息票率為為10％，所所以在第1年年末、第2年年末和第3年年末的利息為為100×10％＝10元，在第3年末另外還還支付本金面面值100元元。如圖所示示：1年末2年末3年末101011014構(gòu)造相同損益益的復制組合合為：（1）購買0.1張的1年后到期的的零息票債券券，其損益剛剛好為100×0.1＝＝10元；（2）購買0.1張的2年后到期的的零息票債券券，其損益剛剛好為100×0.1＝＝10元；（3）購買1.1張的3年后到期的的零息票債券券，其損益剛剛好為100×1.1＝＝110元；；所以上面的復復制組合的損損益就與圖所所示的損益一一樣，因此根根據(jù)無套利定定價原理的推推論（2），，具有相同損損益情況下證證券的價格就就是復制組合合的價格，所所以息票率為為10％，1年支付1次次利息的三年年后到期的債債券的當前價價格應該為：：0.1×98＋0.1××96＋1.1×93＝＝121.715對于第二個問問題，其原理理與例子2類似，債券券A的當前價格為為120元，，小于應該價價格121.7元，因此此根據(jù)無套利利定價原理，，存在套利機機會。當前市市場價格為120元，而而無套利定價價的價格為121.7元元，所以市場場低估了這個個債券的價值值，則應該買買進這個債券券，然后賣空空復制組合。。即基本的套套利策略為：：（1）買進1張息票率為為10％，1年支付1次次利息的三年年后到期的債債券A；（2）賣空0.1張張的1年后到到期的零息票票債券；（3）賣空0.1張的2年后到期的的零息票債券券；（4）賣空1.1張的3年后到期的的零息票債券券；16動態(tài)組合復制制定價（例4）假設(shè)從現(xiàn)在開開始1年后到到期的零息票票債券的價格格為98元。。從1年后開開始，在2年年后到期的零零息票債券的的價格也為98元。并且且假設(shè)不考慮慮交易成本和和違約情況。。問題：（1））從現(xiàn)在開始始2年后到期期的零息票債債券的價格為為多少呢？（2）如果現(xiàn)現(xiàn)在開始2年年后到期的零零息票債券價價格為97元，問是否存存在套利機會會？如果有，，如何套利？？17與例3不同的是，，在這個例子子中我們不能能簡單地在當當前時刻就構(gòu)構(gòu)造好一個復復制組合，而而必須進行動動態(tài)地交易來來構(gòu)造復制組組合。我們要要運用無套利利定價原理的的第三個推論論?，F(xiàn)在看一一下如何進行行動態(tài)地構(gòu)造造套利組合呢呢？18(1)從現(xiàn)在開始1年后到期的債券Z0×1第1年末損益:100價格:98(2)1年后開始2年后到期的債券Z1×2第2年末損益:100價格:98(3)從現(xiàn)在開始2年后到期的債券Z0×2第2年末損益:100價格:？19按照無套利定定價原理的第第三個推論，，自融資交易易策略的損益益等同于一個個證券的損益益時，這個證證券的價格就就等于自融資資交易策略的的成本。這個個自融資交易易策略就是：：（1）先在當當前購買0.98份的債債券Z0×1；（2）在第1年末0.98份債債券Z0×1到期，獲得0.98×100＝98元；（3）在第1年末再用獲獲得的98元元去購買1份份債券Z1×2；這個自融資交交易策略的成成本為：98×0.98＝96.0420交易策略現(xiàn)金流當前第1年末第2年末(1)購買0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98

(2)在第1年末購買1份Z1×2

-98100合計：-96.04010021如果現(xiàn)在開始始2年后到期期的零息票債債券價格為97元，則存在套套利機會。如如何套利呢？？按照我們前面面的思路，市市場高估了現(xiàn)現(xiàn)在開始2年年后到期的零零息票債券價價值，則考慮慮賣空它，并并利用自融資資交易策略進進行套利。構(gòu)構(gòu)造的套利策策略如下：22（1）賣空1份Z0×2債券，獲得97元，所承擔的的義務是在2年后支付100元；（2）在獲得得的97元中取出96.04元，，購買0.98份Z0×1；（3）購買的1年期期零息票債券券到期，在第第一年末獲得得98元；（4）再在第第1年末用獲獲得的98元元購買1份第第2年末到期期的1年期零零息票債券；；（5）在第2年末，零息息票債券到期期獲得100元，用于支支付步驟（1）賣空1份份Z0×2債券的100元；23套利策略獲得得盈利為：97––96.04＝0.96元。具具體體的現(xiàn)現(xiàn)金流流情況況。交易策略現(xiàn)金流當前第1年末第2年末(1)賣空1份Z0×297

-100(2)購買0.98份Z0×1-0.98×98=-96.040.98×100=98

(3)在第1年末購買1份Z1×2

-98100合計：97-96.04=0.960024存在交交易成成本時時的無無套利利定價價原理理當存在在這些些交易易成本本時，，上面面的無無套利利定價價原理理的幾幾個推推論就就可能能不再再適用用了。。因為為存在在交易易成本本，那那么所所構(gòu)造造的套套利策策略也也就不不一定定能盈盈利。。因為為，通通過套套利策策略獲獲得的的盈利利可能能還不不夠支支付交交易成成本。。所以以，無無套利利定價價原理理這時時候就就不能能給出出金融融產(chǎn)品品的確確切價價格，，但可可以給給出一一個產(chǎn)產(chǎn)品的的價格格區(qū)間間，或或者說說價格格的上上限和和下限限。25例5假設(shè)兩兩個零零息票票債券券A和B，兩者都都是在在1年年后的的同一一天到到期，，其面面值為為100元元（到到期時時都獲獲得100元現(xiàn)現(xiàn)金流流，即即到期期時具具有相相同的的損益益）。。假設(shè)設(shè)購買買債券券不需需要費費用和和不考考慮違違約情情況。。但是是假設(shè)設(shè)賣空空1份份債券券需要要支付付1元元的費費用，，并且且出售售債券券也需需要支支付1元的的費用用。如如果債債券A的當前前價格格為98元元。問題：：（1）債債券B的當前前價格格應該該為多多少呢呢？（2））如果果債券券B的當前前價格格只有有97.5元，，是否否存在在套利利機會會？如如果有有，如如何套套利呢呢？26按照無無套利利定價價原理理，在在沒有有交易易成本本時，，B的合理理價格格為98元元。不不管大大于或或小于于98元，，都存存在套套利機機會。。如果果賣空空和出出售債債券需需要費費用，，那么么是否否價格格不等等于98元元，就就存在在套利利呢？？比如，，債券券B的當前前價格格為97.5元元，按按照前前面的的套利利思路路為：：（1））賣空空債券券A，獲得98-1=97元（（由于于賣空空A需要1元的的費用用）；；（2））雖然然債券券B只有97.5元元，但但是97元元還不不夠用用于買買進債債券B；27因此，，在賣賣空和和出售售債券券需要要1元元費用用情況況下，，債券券B的合理理價格格區(qū)間間為：：[97,99]。當當債券券B低于下下限97元元時，，可以以通過過賣空空債券券A，買進債債券B贏利；；當債債券B高于上上限99元元時，，可以以通過過賣空空債券券B，買進債債券A贏利。。因為債債券B的當前前價格格是97.5元元，落落在此此區(qū)間間內(nèi)，，將無無法使使用套套利策策略獲獲得盈盈利28雖然如如果債債券B的價格格落在在[97,99]內(nèi)，，它們們將無無法獲獲得套套利機機會，，但是是實際際上，，當債債券B的價格格小于于債券券A的價格格，投投資者者會傾傾向于于購買買債券券B；反之則則購買買債券券A。因此，，事實實上，，債券券B會接近近于債債券A的價格格。29也許你你會問問：為為什么么并沒沒有用用到出出售債債券也也需要要支付付1元元的費費用這這個條條件？？如果不不考慮慮出售售債券券也需需要支支付1元的的費用用的條條件，，結(jié)果果會怎怎樣？？30例6假設(shè)兩兩個零零息票票債券券A和B，兩者都都是在在1年年后的的同一一天到到期，，其面面值為為100元元（到到期時時都獲獲得100元現(xiàn)現(xiàn)金流流，即即到期期時具具有相相同的的損益益）。。假設(shè)設(shè)不考考慮違違約情情況。。但是是假設(shè)設(shè)賣空空1份份債券券需要要支付付1元元的費費用，，出售售債券券也需需要支支付1元的的費用用，買買入1份債債券需需要0.5元費費用。。如果果債券券A的當前前價格格為98元元。問題：：（1））債券券B的當前前價格格應該該為多多少呢呢？（2））如果果債券券B的當前前價格格只有有97.5元，是是否存存在套套利機機會？？如果果有，，如何何套利利呢？？31因此，，債券券B的市場場價格格區(qū)間間為：：[96.5,99.5]，在在此此區(qū)區(qū)間間范范圍圍內(nèi)內(nèi)不不存存在在贏贏利利的的套套利利策策略略。。當當債債券券B的當當前前價價格格只只有有97.5元，，不不存存在在套套利利機機會會。。但是是實實際際上上，，當當債債券券B的價價格格小小于于債債券券A的價價格格，，投投資資者者會會傾傾向向于于購購買買債債券券B；；反之之則則購購買買債債券券A。。因此此，，事事實實上上，，債債券券B會接接近近于于債債券券A的價價格格。。32對于于存存在在交交易易成成本本的的無無套套利利定定價價原原理理總總結(jié)結(jié)如如下下：：（1））存存在在交交易易成成本本時時，，無無套套利利定定價價原原理理可可能能無無法法給給出出確確切切的的價價格格，，但但可可以以給給出出價價格格區(qū)區(qū)間間；；（2））存存在在交交易易成成本本時時的的價價格格區(qū)區(qū)間間為為：：先先不不考考慮慮交交易易成成本本，，根根據(jù)據(jù)無無套套利利定定價價原原理理計計算算出出理理論論價價格格，，然然后后再再根根據(jù)據(jù)此此價價格格減減去去最最小小總總交交易易成成本本確確定定為為下下限限價價格格，，此此價價格格加加上上最最小小總總交交易易成成本本為為上上限限價價格格。。33不確確定定狀狀態(tài)態(tài)下下無無套套利利定定價價原原理理的的例例子子在上上一一節(jié)節(jié)的的債債券券案案例例中中，，未未來來的的損損益益（（現(xiàn)現(xiàn)金金流流））都都是是在在當當前前就就確確定定的的，，但但實實際際市市場場中中很很多多產(chǎn)產(chǎn)品品的的未未來來損損益益是是不不確確定定的的，，要要根根據(jù)據(jù)未未來來的的事事件件而而確確定定。。比比如如，，一一個個股股票票看看漲漲期期權(quán)權(quán)，，當當?shù)降狡谄谌杖展晒善逼眱r價格格大大于于執(zhí)執(zhí)行行價價格格時時，，這這個個期期權(quán)權(quán)可可獲獲得得正正的的損損益益，，為為到到期期日日股股票票價價格格減減去去執(zhí)執(zhí)行行價價格格；；但但是是，，如如果果到到期期日日股股票票價價格格小小于于等等于于執(zhí)執(zhí)行行價價格格，，則則這這個個期期權(quán)權(quán)到到期期日日損損益益為為零零，，即即沒沒有有價價值值。。因因此此，，期期權(quán)權(quán)的的損損益益是是不不確確定定的的，，它它依依賴賴于于未未來來的的股股票票價價格格。。下下面面討討論論這這種種未未來來損損益益不不確確定定情情況況下下的的無無套套利利定定價價原原理理。。341、、同同損損益益同同價價格格（（例例7）假設(shè)設(shè)有有一一風風險險證證券券A，，當前前的的市市場場價價格格為為100元元，，1年年后后的的市市場場價價格格會會出出現(xiàn)現(xiàn)兩兩種種可可能能的的狀狀態(tài)態(tài)：：在在狀狀態(tài)態(tài)1時時證證券券A價格格上上升升至至105元元，，在在狀狀態(tài)態(tài)2時時證證券券A價格格下下跌跌至至95元元。。同同樣樣，，也也有有一一證證券券B，，它在在1年年后后的的損損益益為為，，在在狀狀態(tài)態(tài)1時時上上升升至至105，，在在狀狀態(tài)態(tài)2時時下下跌跌至至95元元。。另另外外，，假假設(shè)設(shè)不不考考慮慮交交易易成成本本。。問題題：：（1））證證券券B的合合理理價價格格為為多多少少呢呢？？（2））如如果果B的價價格格為為99元元，，是是否否存存在在套套利利？？如如果果有有，，如如何何套套利利？？35案例例7與與前前面面幾幾個個案案例例的的不不同同地地方方在在于于，，前前面面案案例例中中的的資資產(chǎn)產(chǎn)為為債債券券，，其其未未來來的的損損益益為為確確定定的的，，即即在在某某一一時時間間時時只只有有一一種種狀狀態(tài)態(tài)，，以以概概率率100%發(fā)發(fā)生生。。但但本本案案例例中中的的資資產(chǎn)產(chǎn)為為風風險險證證券券，，其其未未來來的的損損益益出出現(xiàn)現(xiàn)兩兩種種可可能能，，可可能能上上漲漲，，也也可可能能下下跌跌，，即即未未來來的的狀狀態(tài)態(tài)不不確確定定。。但但根根據(jù)據(jù)無無套套利利定定價價原原理理，，只只要要兩兩種種證證券券的的損損益益完完全全一一樣樣，，那那么么它它們們的的36因為證券券B的價格為為99元元，因此此存在套套利機會會。只要要賣空證證券A，買進證券券B，就可實現(xiàn)現(xiàn)套利1元。37靜態(tài)組合合復制定定價（案案例8））假設(shè)有一一風險證證券A，當前的市市場價格格為100元，，1年后后的市場場有兩種種狀態(tài)，，在狀態(tài)態(tài)1時證證券A價格上升升至105元，，在狀態(tài)態(tài)2時證證券A價格下跌跌至95元。同同樣，也也有一證證券B，它在1年年后的損損益為，，狀態(tài)1時上升升至120元，，狀態(tài)2時下跌跌至110元。。另外，，假設(shè)借借貸資金金的年利利率為0，不考考慮交易易成本。。問題：（1）證證券B的合理價價格為多多少呢？？（2）如如果證券券B的現(xiàn)在價價格為110元元，是否否存在套套利？如如果有，，如何套套利？38案例8中中證券B的損益與與證券A不同，兩兩個證券券的損益益狀態(tài)如如圖4所所示?，F(xiàn)現(xiàn)在考慮慮如何利利用證券券A和無風險險債券來來構(gòu)建一一個與證證券B損益相同同的組合合10010595風險證券APB120110風險證券B11.01.0資金借貸39構(gòu)建一個組合合：x份證券A和y份的借貸（y大于零為借出出錢，y小于零為借入入錢）。要使使得組合的損損益與B的損益完全相相同，則：40解得：x＝1，y＝＝15。因此，買人1份證券A，再借出現(xiàn)金15份的組合合的損益與證證券B的損益完全相相同，所以證證券B的價格等于組組合的價格：：即1×100＋＋15×1＝＝115元41當證券B的現(xiàn)在價格為為110元，，存在套利機機會構(gòu)造一個套利利策略：買進進證券B，再賣空上面的的等損益組合合，1份證券券A和15份現(xiàn)金金。所以整個個套利組合為為：買進證券券B，賣空證券A，借入資金15。買進證券券B的成本為110元，賣空空證券A可得到100元，借入資資金15所以以還剩下5，，這部分實際際上就是套利利策略的盈利利。因為期末末的現(xiàn)金流為為0。這個組組合的期初和和期末現(xiàn)金流流可見表2-3。42

期初時刻的現(xiàn)金流期末時刻的現(xiàn)金流第一種狀態(tài)第二種狀態(tài)(1)買進B-110120110(2)賣空A100-105-95(3)借入資金1515-15-15合計50043動態(tài)組合復制制定價（案例例9）把案例8中的的市場未來狀狀態(tài)，從兩種種狀態(tài)擴展到到3種狀態(tài)。。風險證券A在1年后的未未來損益為，，狀態(tài)1時110.25，狀態(tài)2時時99.75，狀態(tài)3時時90.25。同樣，也也有一證券B，它在1年后三三種狀態(tài)下的的未來損益分分別為125，112.5和109如圖2-5。另外，假假設(shè)借貸資金金的年利率為為5.06％％，半年利率率為2.5%，不考慮交交易成本。問題：（1）B的合理價格為為多少呢？（2）如果B的價格為110元，是否否存在套利？？如果有，如如何套利？44100110.2599.75風險證券A風險證券B資金借貸90.25PB125112.510911.05061.05061.050645而上述方程卻卻無解。為什什么呢？因為為當損益存在在三種狀態(tài)時時，僅僅依靠靠兩種證券的的組合是無法法復制出任意意一種三狀態(tài)態(tài)的證券的。。這在金融學學中稱為“不不完全市場””。110.25x＋1.0506y＝12599.75x＋1.0506y＝112.590.25x＋1.0506y＝10946Arrow和Debreu證明在某些條條件下，隨著著時間而調(diào)整整組合的動態(tài)態(tài)組合策略可可復制出市場場中不存在的的證券。47如何才能通過過證券A和資金借貸的的動態(tài)組合復復制出證券B。所謂動態(tài)指的的是變化，所所以我們把1年的持有期期拆成兩個半半年，這樣在在半年后就可可調(diào)整組合。。假設(shè)證券A在半年后的損損益為兩種狀狀態(tài)，分別為為105元和和95元。但但證券B在半年后兩種種狀態(tài)下的損損益值事先不不知道。證券券A和B的損益如圖2-6所示，，而資金借貸貸的損益如圖圖2-7所示示。48證券A和B的兩期三狀態(tài)態(tài)損益圖110.2599.75風險證券A風險證券B90.2510010595PBB1B2125112.510949無風險借貸1.05061.05061.050611.0251.02550構(gòu)造組合：（（1）1份的的證券A；（2）持有（出借））現(xiàn)金13.56。如果果持有這個組組合到1年后后而不在中期期進行調(diào)整，，則1年后的的損益與B是不同的。51（1）證券A的損益為105時：如如果再買進0.19份的的證券A，需要現(xiàn)金19.95元（（0.19××105＝19.95）），持有（出出借）的現(xiàn)金金13.56，加上利息息變?yōu)椋?3.56×1.025＝＝13.90。此時，證證券A的份數(shù)變?yōu)椋海?＋0.19＝1.19份，現(xiàn)金金變?yōu)椋?3.90－19.95＝＝－6.05，即還需要要借入現(xiàn)金6.05元。。所以，經(jīng)過過這樣的組合合調(diào)整后，在在半年后持有有的組合為：：1.19份份證券A和借入現(xiàn)金6.05。則則在1年后此此組合損益狀狀態(tài)為：52（2）證券A的損益為95時：

如果果賣出0.632份的證證券A，得到0.632×95＝＝60.04元，另外持持有（出借））的現(xiàn)金13.56，加加上利息變?yōu)闉椋?3.56×1.025＝13.90。此此時，證券A剩下1－0.632＝0.368份份，現(xiàn)金變?yōu)闉?3.90＋60.04＝73.94。所以以，在半年后后組合經(jīng)過調(diào)調(diào)整后變?yōu)椋海?.368份證券A和現(xiàn)金73.94（可以以出借）。則則在1年后的的此組合損益益狀態(tài)為：53動態(tài)組合復制制過程示意圖圖110.2599.7590.2510010595原始組合：(1)持有1份A(2)持有現(xiàn)金13.56（借出）操作：賣出0.632份A組合為：(1)持有0.368份A(2)持有現(xiàn)金73.94操作：買進0.19份A組合為：(1)持有1.19份A(2)借入現(xiàn)金6.05組合的損益為：125112.510954因此，當市場場有三種狀態(tài)態(tài)，而僅有證證券A和資金借貸無無法靜態(tài)復制制B時，通過在持持有期中期根根據(jù)證券A的損益變化進進行動態(tài)調(diào)整整組合來復制制證券B。由無套利定價價原理的推論論（3），我我們可得到證證券B的合理價格為為：1×100＋＋13.56＝113.56對于第二問，，同樣可根據(jù)據(jù)市場價格與與理論價格之之間的大小來來構(gòu)造套利組組合。當市場場價格為110元，小于于理論價格113.56時，則可賣賣空證券A得到100元元，借入現(xiàn)金金13.56元，其中110元用于于購買B，這樣凈剩下3.56元為為套利盈利。。55如何進行動動態(tài)復制呢呢？或者說說，案例9中的開始始組合策略略1份證券券A和持有現(xiàn)金金13.56元是如如何得到的的呢？在中中期又是如如何根據(jù)證證券A的損益變化化來動態(tài)調(diào)調(diào)整呢？動動態(tài)復制策策略實際上上是多期的的靜態(tài)復制制策略，只只要從后往往前應用靜靜態(tài)復制策策略即得動動態(tài)策略。。56（1）證券券在中期價價格為105時：x＝1.19，y＝－5.9057根據(jù)無套利利定價原理理，求得證證券B此時的價格格為：B1＝1.19××105－5.90××1.025＝118.9058105110.2599.75風險證券AB1125112.5風險證券B1.0251.05061.0506資金借貸證券A在中期價格為105時：9599.7590.25風險證券AB2112.5109風險證券B1.0251.05061.0506資金借貸證券A在中期價格為95時：59解得：x＝0.368，y＝72.14，也與圖2-8相吻合合。同樣，，可求得證證券B在此時的價價格為：B2＝0.368×95＋72.14×1.025＝108.9060第二步：根根據(jù)第一步步得到的B1和B2繼續(xù)應用靜靜態(tài)組合復復制方法計計算：10010595風險證券APB118.90108.90風險證券B11.0251.025資金借貸61解得：x＝1，y＝13.56，也與圖2-8相吻合合。所以，，可求得證證券B的價格為：：PB＝1×100＋13.56××1＝113.5662無套利定價價原理的一一般理論不確定狀態(tài)態(tài)下的無套套利定價原原理的最簡簡單模型―――Arrow-Debreu模型631、市場環(huán)環(huán)境假設(shè)假設(shè)市場中中有N個證券，s1,s2,s3,…,sN。投資者一開開始持有這這些證券的的組合，而而后在持有有期結(jié)束后后獲得這些些組合的損損益。假設(shè)設(shè)僅有兩個個投資時刻刻，開始時時刻0和結(jié)結(jié)束時刻1。投資者者可持有這這些證券及及它們的組組合的多頭頭（買進））或空頭（（賣出），，持有多頭頭相當于在在結(jié)束時刻刻獲得證券券的損益，，而持有空空頭則相當當于在結(jié)束束時刻要付付出證券的的損益。64假設(shè)第i種證券在初初始0時刻刻的價格為為pi，則N種證券的價價格向量為為：它們在未來來1時刻的的損益有M種可能狀態(tài)態(tài)，第i種證券在第第j種狀態(tài)下的的損益為dij，則這些證券券的損益矩矩陣為：D＝（dij），i=1～N，j=1～MD的第j列D.j表示1時刻刻時處于第第j種狀態(tài)下1個單位的的N種證券的損損益向量。。假設(shè)損益益矩陣D的值對于投投資者是已已知的，但但是投資者者無法提前前知道在1時刻這些些證券處于于M種狀態(tài)中的的哪一種狀狀態(tài)，當然然在同一時時刻這些證證券都是處處于同一種種狀態(tài)下。。65證券組合用用向量θ表示：θ=(θ1,θ2,…,θN)其中θi表示持有的的第i種證券的數(shù)數(shù)量，當投投資者持有有第i種證券的多多頭時，θi>0；否則θi<0時，它表示示持有第i種證券的空空頭（持有有空頭相當當于先借入入證券，而而在期末時時買入證券券歸還，所所有持有空空頭在期末末時必須付付出證券的的損益）。。66再假假設(shè)設(shè)市市場場是是無無摩摩擦擦的的，，即即不不考考慮慮交交易易費費用用，，稅稅收收等等。。投投資資者者可可擁擁有有任任意意單單位位的的證證券券，，即即θi可以以不不是是整整數(shù)數(shù)，，為為一一實實數(shù)數(shù)。。證券券組組合合θ在初初始始0時時刻刻的的價價格格則則為為：：（2-1））這個個組組合合在在第第j種狀狀態(tài)態(tài)下下的的損損益益則則為為：：（2-2））672、、套套利利組組合合的的定定義義一個個證證券券組組合合θ定義義為為套套利利組組合合，，如如果果它它滿滿足足：：或者者滿滿足足以以下下條條件件：：683、、無無套套利利組組合合等等價價定定理理定理理1：：市市場場不不存存在在套套利利組組合合的的等等價價條條件件是是：：存在在一一個個正正向向量量，，使得得即69例如如70Arrow-Debreu模型型的的經(jīng)經(jīng)濟濟含含義義1、、狀狀態(tài)態(tài)價價格格Arrow-Debreu的無無套套利利組組合合等等價價定定理理說說明明，，如如果果市市場場不不存存在在套套利利組組合合，，則則資資產(chǎn)產(chǎn)的的當當前前價價格格與與未未來來損損益益之之間間要要滿滿足足一一定定的的條條件件。。這這個個條條件件是是存存在在一一個個對對應應于于M個狀狀態(tài)態(tài)的的向向量量，，一一般般稱稱之之為為狀狀態(tài)態(tài)價價格格（（state-prices））。。71狀態(tài)態(tài)價價格格的的具具體體含含義義。。假假設(shè)設(shè)市市場場另另外外存存在在M種資產(chǎn)，sN+1,sN+2,…,sN+M。這M種資產(chǎn)的未來來損益為，只只在一種狀態(tài)態(tài)下為1，其其余狀態(tài)下都都是零。即對對于資產(chǎn)sN+j，它的未來損益益只是在第j種狀態(tài)為1，，其余狀態(tài)為為0。這M種資產(chǎn)就構(gòu)成成了“基本資資產(chǎn)”，由它它們生成的組組合的未來損損益可以表示示任意一種資資產(chǎn)的未來損損益。比如，，72對于資產(chǎn)s1，它的未來損益益為：(d11,d12,…,d1M)，則由d11個sN+1，d12個sN+2，…，d1M個sN+M構(gòu)成的資產(chǎn)組組合v1的未來損益就就與s1的未來損益一一樣。如果市市場不存在套套利機會，則則資產(chǎn)s1的價格應該等等于由基本資資產(chǎn)構(gòu)成的組組合的價格。。假設(shè)M個基本資產(chǎn)的的價格分別為為：u1，u2，…,uM，則上述組合的的價格v1為：73而根據(jù)式（2-5），資資產(chǎn)s1的價格p1為：（2-6）兩者相等，所所以：（2-7）因此，我們可可以令：74式（2-8）表明，實實際上上是基本資產(chǎn)產(chǎn)的價格向量量，即每種狀狀態(tài)下單位未未來損益的資資產(chǎn)價格，所所以稱之為狀狀態(tài)價格。如如果我們能夠夠得到狀態(tài)價價格，則任意意一種資產(chǎn)的的價格都是狀狀態(tài)價格的線線性函數(shù)，都都可以由狀態(tài)態(tài)價格計算得得到。752、風險中性性概率如果把狀態(tài)價價格歸一化，，

即讓M個分量的和變變?yōu)?：76如果存在一個個資產(chǎn)，它在在未來的損益益是確定的，，都是1，即即在每一種狀狀態(tài)下都是1，那么根據(jù)據(jù)式（2-5），這個資資產(chǎn)的價格就就是：。。假假設(shè)這種資產(chǎn)產(chǎn)就是我們平平常所說的無無風險債券，，或者現(xiàn)金借借貸：則7778推論：如果市市場不存在套套利組合，而而且假設(shè)無風風險借貸的利利率為r，則存在一個概概率測度使得得任意一個資資產(chǎn)的價格等等于其未來可可能損益（現(xiàn)現(xiàn)金流）的期期望值以無風風險借貸利率率貼現(xiàn)的貼現(xiàn)現(xiàn)值。79風險中性概率率與實際中各各個狀態(tài)發(fā)生生的概率之間間有什么關(guān)系系呢？記為未未來第j種狀態(tài)發(fā)生的的概率，即統(tǒng)統(tǒng)計意義上的的概率。我們們說風險中性性概率和實際際統(tǒng)計概率兩兩者可能會不不相同。因為為這跟投資者者的風險偏好好有關(guān)系80例如813、完全市場場與不完全市市場在前面案例9中，我們曾曾指出兩種資資產(chǎn)無法靜態(tài)態(tài)復制出三狀狀態(tài)的任意一一種資產(chǎn)，這這跟市場的完完全性有關(guān)。。下面我們給給完全市場下下個定義：82定義：一個具具有N種資產(chǎn)，M種損益狀態(tài)的的市場，如果果對于任意一一個未來損益益向量d=（d1,d2,…,dM），都存在一個N種資產(chǎn)的組合合(θ1,θ2,…,θN)，其未來損益等等于（d1,d2,…,dM），則我們稱市場場是完全的。。83市場完全性的的定義是要求求如下的線性性方程存在解解：即：（2-9）根據(jù)線性代數(shù)數(shù)的知識，方方程（2-9）有解的條件件是未來損益益矩陣D的秩等于M，即矩陣D的M個列向量可生生成整個空間間RM。84市場完全性是是一個很強的的假設(shè)，但它它大大簡化了了金融產(chǎn)品的的定價。因為為只要知道一一種金融產(chǎn)品品的未來損益益，那么在市市場完全性假假設(shè)下，就可可由市場中已已有的資產(chǎn)構(gòu)構(gòu)造（復制））出相同損益益的組合來。。而在無套利利組合假設(shè)下下，該金融產(chǎn)產(chǎn)品的價格就就由已有的資資產(chǎn)完全確定定。85定理2：在市場不存存在套利組合合的假設(shè)下，，市場是完全全的充要條件件是只有唯一一的一組狀態(tài)態(tài)價格滿足式式（2-5），即狀態(tài)價價格唯一或者者風險中性概概率唯一。86A-D模型的簡單應應用案例1、兩兩狀態(tài)態(tài)（二二項式式）模模型假設(shè)市市場的的未來來損益益只有有兩種種狀態(tài)態(tài)，M＝2，而且只只存在在兩種種資產(chǎn)產(chǎn)，一一種是是無風風險借借貸，，其借借貸利利率為為r，另外一一種是是資產(chǎn)產(chǎn)s，當前的的價格格為p。假設(shè)資資產(chǎn)s在未來來的損損益為為：狀狀態(tài)1時為pu＝p×u，狀態(tài)2時為pd＝p×d，其中u和d表示價價格變變化的的倍數(shù)數(shù)，假假設(shè)u>d。如果市市場不不存在在套利利組合合，則則存在在一個個風險險中性性概率率，使使得：：87存在解解的充充要條條件是是：88892、三三狀態(tài)態(tài)模型型下面我我們來來看一一個不不完全全市場場的例例子。。假設(shè)設(shè)市場場有三三種狀狀態(tài)，，但僅僅有兩兩種資資產(chǎn)，，無風風險借借貸，，其利利率為為r；另外一一種資資產(chǎn)s，價格為為p，其在未未來損損益為為：狀狀態(tài)1時，，損益益為pu（即為原原價格格的u倍）；；狀態(tài)態(tài)2時時為pm，狀態(tài)3時為為pd，假設(shè)d<m<u。未來損損益矩矩陣為為2×3，它的的秩最最多是是2，小于于狀態(tài)態(tài)數(shù)3，根據(jù)據(jù)完全全市場場定義義，它它是不不完全全的。90市場不不存在在套利利組合合需滿滿足兩兩種資資產(chǎn)的的價格格與狀狀態(tài)價價格之之間的的關(guān)系系為91存在解解的充充要條條件是是：92假設(shè)式式（2-34））成立立，存存在狀狀態(tài)價價格滿滿足無無套利利定價價定理理。但但根據(jù)據(jù)不完完全市市場定定理2，這這個狀狀態(tài)價價格是是不唯唯一的的。對對于三三變量量兩約約束的的方程程，其其解為為一直直線，，我們們可解解出該該直線線的兩兩個端端點。。第一一個端端點為為：93則第二二個端端點為為：則第二二個端端點為為：94由于資資產(chǎn)價價格是是狀態(tài)態(tài)價格格的線線性函函數(shù)，，所以以上述述的狀狀態(tài)價價格直直線可可以用用來確確定資資產(chǎn)的的價格格區(qū)間間。也也就是是說，，即使使狀態(tài)態(tài)價格格不唯唯一，，我們們?nèi)匀蝗荒軓膹臓顟B(tài)態(tài)價格格中獲獲取資資產(chǎn)價價格的的一些些信息息。狀狀態(tài)價價格不不唯一一在一一定程程度上上與不不同投投資者者的風風險偏偏好程程度不不同有有關(guān)。。風險險厭惡惡的投投資者者可能能只能能接受受資產(chǎn)產(chǎn)的下下限價價格，，而風風險喜喜好的的投資資者則則能接接受資資產(chǎn)的的上限限價格格。95謝謝謝1月-2301:21:4701:2101:211月-231月-2301:2101:2101:21:471月-231月-2301:21:472023/1/61:21:479、靜靜夜夜四四無無鄰鄰，，荒荒居居舊舊業(yè)業(yè)貧貧。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、雨中黃黃葉樹，，燈下白白頭人。。。01:21:4801:21:4801:211/6/20231:21:48AM11、以以我我獨獨沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。1月月-2301:21:4801:21Jan-2306-Jan-2312、故人江海別別，幾度隔山山川。