探究問題歸類在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用

探究問題歸類在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用

Summary：歸類是初中生必備的數(shù)學(xué)思想方法之一，也是學(xué)生高效解題的思維支架。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用問題歸類，幫助學(xué)生掌握一類問題的解決思路及方法，可以促成學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的舉一反三與觸類旁通?；诖?，文章結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗，圍繞具體教學(xué)案例，例題講解、課堂檢測、作業(yè)設(shè)計、復(fù)習(xí)課教學(xué)四大方面探究問題歸類在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用路徑，以供參考。Keys：問題歸類；初中；數(shù)學(xué)教學(xué)；探究能力義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)知識的整體性、系統(tǒng)性、實踐性與應(yīng)用性，不僅要以科學(xué)的教學(xué)指導(dǎo)方式幫助學(xué)生學(xué)習(xí)重要知識點(diǎn)，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化與吸收程度，還需要遵循數(shù)學(xué)知識的整體性原則，將分散、碎片的數(shù)學(xué)知識還原至數(shù)學(xué)體系框架內(nèi)，讓學(xué)生意識到可以從不同維度分析數(shù)學(xué)知識、從不同角度探索數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用方法、從不同層次理解數(shù)學(xué)知識，繼而提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平、強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力。因此，在新課標(biāo)導(dǎo)向下，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注重在新課講授與復(fù)習(xí)課教學(xué)中有效應(yīng)用問題歸類，為學(xué)生提供某一類數(shù)學(xué)問題的解決思路在，指導(dǎo)學(xué)生自主探究某一類問題的解決策略，讓學(xué)生將問題內(nèi)隱藏的數(shù)學(xué)思想方法同化或順應(yīng)至自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)，逐步完善學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知體系并達(dá)成“授人以漁”的教學(xué)效果。問題歸類在初中數(shù)學(xué)例題呈現(xiàn)中的有效運(yùn)用理論依據(jù)例題是初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)重要的教學(xué)資源。在傳統(tǒng)的例題教學(xué)模式下，教師傾向于直接教授學(xué)生解答例題的方法，或是提示學(xué)生解題思路，或是提醒學(xué)生分析題干，亦或是直接講授解題步驟。此種教學(xué)方式將學(xué)生置于例題解答的被動地位，可能會導(dǎo)致學(xué)生陷入定式思維，造成學(xué)生解題能力低下的問題。葉圣陶先生曾指出，教材只是教師教學(xué)的依據(jù)，而非全部的教學(xué)資源，若想教得好便需要對教材進(jìn)行合理利用，挖掘教材內(nèi)數(shù)學(xué)知識的生發(fā)點(diǎn)、延伸點(diǎn)，讓學(xué)生從多維度、多角度學(xué)習(xí)、理解與習(xí)練數(shù)學(xué)知識。問題歸類可以滿足上述教材使用要求，教師以教材例題為基礎(chǔ)，運(yùn)用問題歸類思想對例題進(jìn)行變式或創(chuàng)新，進(jìn)一步強(qiáng)化例題對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的考察，提升例題的教育功能，讓學(xué)生從例題及歸類問題的分析與解決中逐步獲得靈動思維，感受數(shù)學(xué)知識的生活使用價值[1]。實踐策略以浙教版九年級上冊數(shù)學(xué)《相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用》新課講授為例，教師可以借助多媒體技術(shù)直觀化呈現(xiàn)例題3及其配圖，以此調(diào)動學(xué)生解答例題的內(nèi)在動因。結(jié)合浙教版初中數(shù)學(xué)教材編寫意圖、課程標(biāo)準(zhǔn)及知識模塊設(shè)計可以發(fā)現(xiàn)，例題3的設(shè)計意圖有三：將數(shù)學(xué)問題置于真實可感、學(xué)生熟悉的生活情境之內(nèi)，調(diào)動學(xué)生頭腦內(nèi)已有圖式并與之產(chǎn)生交互，以此激發(fā)學(xué)生認(rèn)知及思維活動；鍛煉學(xué)生對相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用能力；為學(xué)生提供更加多元的解決現(xiàn)實問題的思路[2]。例題：數(shù)學(xué)興趣小組測校園內(nèi)一棵樹的高，有以下兩種方法：方法1：如圖1，把鏡子放在離樹8m的點(diǎn)E處，沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時恰好在鏡子里看到樹梢定點(diǎn)A，再用皮尺量得DE=2.8m，觀察者目高CD=1.6m。圖1方法2：如圖2，把長為2.40m的標(biāo)桿CD直立在地面上，量得樹影長為2.80m，標(biāo)桿的影長為1.47m。圖2分別根據(jù)上述兩種方法求出樹高。在例題講解中，教師可以采用小組合作教學(xué)模式，請各小組成員分析題干，提煉關(guān)鍵信息，建構(gòu)數(shù)量關(guān)系，并寫出樹高的求解過程。完成后請各小組代表上臺講解解題思路及方法，其余小組對其進(jìn)行補(bǔ)充與完善，以此深化學(xué)生對例題的理解，讓學(xué)生在交互中習(xí)得解決例題的策略。例題講解后，教師結(jié)合學(xué)生實際學(xué)習(xí)成效引入與之同類的數(shù)學(xué)問題：問題1：如圖3所示，距離建筑外墻4m處有一棵樹AB。在某一時刻，垂直于地面的1.2m長的主干A’B’因影子長度B’B長度為2m，請問這棵樹在建筑外墻上影子部分CD的高度為多少？這棵樹的高度為多少？圖

3上述問題與例題的解題原理相同，但所涉及的生活情境與限制條件不同，學(xué)生經(jīng)過例題學(xué)習(xí)后可以順利求解樹AB的高度，但在計算影子CD的長度時遇到困難。教師引導(dǎo)學(xué)生想象將建筑外墻去除，將問題1化歸為例題情形，讓學(xué)生意識到求解CD長度，即求解直角三角形斜邊長度再減掉4m，以此通過問題歸類使得數(shù)學(xué)問題直觀化、簡單化。問

題2：如圖4所示，在斜坡頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點(diǎn)，CD為水平。在陽光照射下影子DE留在斜坡上，已知鐵塔底座寬度CD=12m，DE為18m，小李與小張身高均為1.6m，同一時刻小李與小張分別站位E點(diǎn)與地面上，影子長分別為2m與1m，則塔高AB為？圖4上述問題2是對例題及問題1的進(jìn)一步延伸，融入了斜面問題，難度及復(fù)雜性明顯提升。教師要指導(dǎo)學(xué)生抵達(dá)此類問題的本質(zhì)，找準(zhǔn)其中不變的量與因素，即物體高度與影子長度之間的比值，按照這一思路再適度滲透數(shù)形結(jié)合思想，請學(xué)生將題干內(nèi)的已知條件抽象為圖形，自主構(gòu)造相似三角形，如圖5所示，引導(dǎo)學(xué)生將求塔高抓化為在兩對相似三角形內(nèi)求AB’與BB’長度之和，以此求解問題。這種對例題進(jìn)行歸類拓展的教學(xué)方式，可以開拓學(xué)生解題思路、提高學(xué)生思維品質(zhì)。

圖5問題歸類在初中數(shù)學(xué)課堂檢測中的有效運(yùn)用理論依據(jù)課堂檢測是初中數(shù)學(xué)教學(xué)流程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。對于學(xué)生而言，課堂檢測可以幫助其通過做題鞏固課堂所學(xué)，實現(xiàn)對本節(jié)課數(shù)學(xué)知識的當(dāng)堂內(nèi)化，并且可以激發(fā)學(xué)生反思意識、爭先意識，使學(xué)生認(rèn)識到自身的不足之處與薄弱環(huán)節(jié)，繼而進(jìn)行自我調(diào)試與完善。對于教師而言，課堂檢測結(jié)果可以反映出學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握程度，評價本節(jié)課教學(xué)效果及學(xué)生的學(xué)習(xí)成效，通過對學(xué)生共性及個性問題的著重講解實現(xiàn)一課一結(jié)。但傳統(tǒng)的課堂檢測以“題海戰(zhàn)術(shù)”為主，教師選擇或設(shè)計的課堂練習(xí)題缺乏系統(tǒng)性與整體性，將數(shù)學(xué)知識劃分為相對獨(dú)立的單元，導(dǎo)致學(xué)生難以從整體上認(rèn)知數(shù)學(xué)知識。問題歸類的有效運(yùn)用可以改善課堂檢測現(xiàn)狀，將同一類型的課堂檢測題結(jié)合為有機(jī)整體，幫助學(xué)生夯實數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，獲得數(shù)學(xué)能力的綜合鍛煉[3]。實踐策略以浙教版七年級下冊數(shù)學(xué)“整式的乘法”教學(xué)為例。教師需要對教材內(nèi)的課后練習(xí)題進(jìn)行精挑細(xì)選，結(jié)合本班學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、認(rèn)知水平、學(xué)習(xí)特點(diǎn)等以教材練習(xí)題為基礎(chǔ)廣泛整合形式多樣、融合多重視數(shù)學(xué)思想及解題方法的拓展性課內(nèi)練習(xí)題，讓學(xué)生獲得問題歸類的啟發(fā)，并能夠?qū)π屡f知識進(jìn)行融匯貫通。課內(nèi)練習(xí)1：已知：，，求的值（）；的值（）。上述練習(xí)題來源于教材，是對整式乘法運(yùn)算法則的正向及直接運(yùn)用，學(xué)生對照整式乘法相關(guān)公式、原理等便可以順利解決上述課內(nèi)練習(xí)題。對于該練習(xí)題的歸類拓展，教師可以從“逆向思維”角度入手，遵循由易到難的基本原則，圍繞初中生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)水平及學(xué)習(xí)理解能力，對上述問題進(jìn)行拓展延伸，注重考察學(xué)生逆向思維能力，引導(dǎo)學(xué)生突破思維定式，使學(xué)生可以從不同維度及角度分析并解決數(shù)學(xué)問題。問題1：，，求的值（）。問題1是對教材課后習(xí)題的歸類延伸，所涉及的問題情形與計算步驟更加復(fù)雜，需要學(xué)生耐心細(xì)致的分析提干并計算出得數(shù)，可以強(qiáng)化學(xué)生對整數(shù)乘法運(yùn)算法則的理解與記憶，為后續(xù)的思維拓展及提升奠定堅實、有力的基礎(chǔ)。問題2：已知：，，嘗試運(yùn)用含有a、b的式子表示。問題2滲透了逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生從入手，逆向運(yùn)用整式乘法運(yùn)算法則，將7視作4+3，將4視作2+2，再結(jié)合所學(xué)知識以表示，以b直接表示，最后以b表示。問題3：已知：，求的值。問題3看似復(fù)雜，實則簡單，教師鼓勵學(xué)生自主解答，引領(lǐng)學(xué)生分析與之間的關(guān)系，便可以達(dá)到解題目標(biāo)。問題歸類在初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計中的有效運(yùn)用理論依據(jù)作業(yè)作為初中數(shù)學(xué)課堂的延伸，具有診斷、學(xué)情分析等多元化功能。教師在作業(yè)設(shè)計中要高度重視減輕學(xué)生的課后作業(yè)負(fù)擔(dān)，保證學(xué)生作業(yè)完成的獨(dú)立性與自主性，讓學(xué)生在完成作業(yè)中鞏固課堂所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。但當(dāng)前作業(yè)設(shè)計中問題歸類意識較為薄弱，試圖以作業(yè)的量引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)成效上質(zhì)的變化。實際上，針對性不足的作業(yè)會導(dǎo)致學(xué)生逆反、厭倦、抵觸、逃避等不良心理，也會造成部分學(xué)生吃不飽、部分學(xué)生難消化，繼而降低作業(yè)設(shè)計的實效性。因此，初中數(shù)學(xué)教師除了在例題講解與課堂檢測中應(yīng)用問題歸類之外，還需要注重問題歸類意識在作業(yè)設(shè)計內(nèi)的有效滲透，通過作業(yè)讓學(xué)生融匯數(shù)學(xué)知識，掌握以數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的方法[4]。實踐策略以浙教版八年級上冊數(shù)學(xué)“平行線的性質(zhì)”作業(yè)設(shè)計為例，教師可以設(shè)計如下體現(xiàn)問題歸類思想的課后作業(yè)：作業(yè)1：當(dāng)AB//CD時，圖4中∠APC與∠PAB，∠PCD之間存在一定的關(guān)系，即∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由為：連接AC……按照此種思路你能找到圖6中∠APC與∠PAB，∠PCD之間的關(guān)系嗎？

圖6教師指導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)，在作業(yè)批改中會發(fā)現(xiàn)多種做輔助線的形式，教師對此進(jìn)行歸類。在作業(yè)講解中分類呈現(xiàn)學(xué)生作輔助線的方法，如構(gòu)建三角形、構(gòu)造平行線等，請學(xué)生思考各種輔助線形式還可以應(yīng)用于哪些數(shù)學(xué)問題中。同時，教師對作業(yè)問題進(jìn)行變式，以進(jìn)一步提升學(xué)生思維品質(zhì)。問題：當(dāng)AB//CD時，可以找出圖7、圖8中∠APC與∠PAB，∠PCD之間的關(guān)系嗎？上述歸類拓展問題通過對點(diǎn)P位置的變化對作業(yè)題進(jìn)行變式，讓學(xué)生初步樹立動點(diǎn)問題思維，拓寬學(xué)生思維空間，讓學(xué)生自主探索動點(diǎn)問題的一般規(guī)律及解題方法。

圖7圖8問題歸類在初中數(shù)學(xué)知識復(fù)習(xí)中的有效運(yùn)用理論依據(jù)初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是對單元或本學(xué)段知識的全面梳理與綜合性復(fù)習(xí)。傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課教學(xué)模式下，教師通常以練習(xí)題作為知識依托的載體，讓學(xué)生做大量練習(xí)題以鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。此種方法枯燥乏味，在教學(xué)方法上缺乏靈活性與趣味性；在教學(xué)成效上缺乏針對性與精準(zhǔn)化；在教學(xué)過程上僵化固定，導(dǎo)致學(xué)生難以把握復(fù)習(xí)要點(diǎn)，不能認(rèn)識到自身的劣勢。因此在問題歸類視域下，教師要以問題歸類突破單元或?qū)W段設(shè)置界限，將各單元數(shù)學(xué)知識結(jié)合為有機(jī)整體，指導(dǎo)學(xué)生從問題解決中掌握通法[5]。實踐策略以浙教版初中數(shù)學(xué)基本圖形應(yīng)用為例。教師可以從教材習(xí)題、例題內(nèi)提煉出如下圖9所示基礎(chǔ)圖形。圖9案例：已知∠ABC+∠C=180°，BD平分∠ABC?！螩BD與∠D相等嗎？為什么？上述問題是角平分線與平行線知識的融匯，該基礎(chǔ)圖形在復(fù)雜幾何圖形問題內(nèi)的應(yīng)用十分廣泛，教師需要結(jié)合初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、中考考察范圍、初中生必備的數(shù)學(xué)能力與品格等對上述基礎(chǔ)圖形的應(yīng)用進(jìn)行分類呈現(xiàn)，讓學(xué)生了解該基礎(chǔ)圖形在題目內(nèi)的主要體現(xiàn)形式，在解題時能夠有意識地應(yīng)用該基礎(chǔ)圖形的一般規(guī)律以突破解題難點(diǎn)。應(yīng)用1：在平行四邊形ABCD中，∠DAB平分線交CD于點(diǎn)E，BC=9，AB=13，則CE=（）。上述應(yīng)用1是基礎(chǔ)圖形在平行四邊形內(nèi)的應(yīng)用，可以直接利用基礎(chǔ)圖形內(nèi)三角形BDE為等腰三角形這一結(jié)論。應(yīng)用2：已知平行四邊形ABCD的周長為32cm，∠DAB的角平分線交CD所在的直線于點(diǎn)E，且DE：EC=3:2，求AB的長。應(yīng)用2是對基礎(chǔ)圖形的進(jìn)一步延伸，所規(guī)定的限制條件更多，但都不會脫離基礎(chǔ)圖形的規(guī)律，教師引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)雜圖形內(nèi)描繪出基礎(chǔ)圖形，將基礎(chǔ)圖形規(guī)律遷移至問題解決中。上述基于基礎(chǔ)圖形應(yīng)用問題的歸類可以讓學(xué)生解題思維更加活躍，提高學(xué)生對題干的分析能力，為學(xué)生提供更加多元的解題方法，并且使學(xué)生形成舉一反三的解題思維，有助于提高學(xué)生解題效率，消除學(xué)生對復(fù)雜問題的畏難心理。結(jié)束語問題歸類是一種以分類為基礎(chǔ)，將數(shù)學(xué)知識整合并還原與具體問題類型內(nèi)的數(shù)學(xué)教學(xué)理念、教學(xué)方法。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師有效應(yīng)用問題歸類，需要根據(jù)例題講解、課堂檢測、作業(yè)設(shè)計及復(fù)習(xí)課教學(xué)的實際需求提煉并分析數(shù)學(xué)問題。同時要積極采用啟發(fā)式、探究式與合作式教學(xué)方法，賦予學(xué)生學(xué)習(xí)新知與解決問題的自主權(quán)，讓學(xué)生以靈動思維參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中。此外，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用問題分類，在日常學(xué)習(xí)及作業(yè)完成中注意積累同類數(shù)學(xué)問題，逐步形成個性化的數(shù)學(xué)知識體系與解題策略，以此充分發(fā)揮問題歸類在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。Reference[1]馬淑麗.