第三章函數(shù)增減性判別與極值

第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極 與函數(shù)的極三章 函數(shù)的增減性的中值理定 函數(shù)的極理數(shù) 函數(shù)的最的-1第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極yyf(yyf(BAoabxyAyf(Boabx中 f(x) f(x)理 定理1（函數(shù)單調(diào)的充分條件）設(shè)函數(shù)yf(理導(dǎo)與在[a,b]上連 在(a,b內(nèi)可導(dǎo)導(dǎo) 如果在(a,b內(nèi)f(x)0，那末函數(shù)yf(x)的應(yīng)[a,b]用(2)如果在(a,b)內(nèi)f(x)0，那末函數(shù)y f(x)[a,b]上單調(diào)減少-2第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極 x1,x2[a,b],且x1x2,應(yīng)用拉氏定理,第 f(章

)f(

)f()(

(

x2 ∵x2x1定 若在(a,b，f(x) 則f()定理導(dǎo) f(x2)f( yf(x)在[a,b]上單調(diào)增加導(dǎo)數(shù) 若在(a,b)，f(x) 則f()應(yīng)2 f(2

)f(

).yfx)在[a,b]上單調(diào)減少-3第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極 討論函數(shù)yexx的單調(diào)性第章 解∵yex1.又∵D:(,).章值中在(）,y0,函數(shù)在(0]上是單調(diào)值定與理在0),y0,函數(shù)[0,+)上是單調(diào)增加與導(dǎo)的數(shù)注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)用號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．的-4第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極三第定義三則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 值界點(diǎn)．與數(shù)應(yīng)理方法:用方程fx)0的根及fx)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)fx),然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的的符號(hào).與數(shù)應(yīng)用-5第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極例2確定函數(shù)fx2x39第12x3的單調(diào)區(qū)間章 ∵D(,章 f(x)6x218x126(x1)(定 解方程f(x)0 x11,x2定

與 當(dāng)x與導(dǎo) 1x2的

f(x)f(x)

在(,1]在[1,2]上單調(diào)減 2x時(shí)f(x)用

在[2,)上單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為(,1]，[2,).單調(diào)減區(qū)間為-6第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極 x2 確定函數(shù)f(x x2三 解∵D(,三

章f(x)中x

(x 當(dāng)x0時(shí),導(dǎo)數(shù)不存在yy導(dǎo) 當(dāng)x0導(dǎo)數(shù) 0x應(yīng)用

fx) 在(,0]上單調(diào)減fx) 在[0,)上單調(diào)增單調(diào)減區(qū)間為(,0]，-7第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.第 例如,yx3,yx00,但在(,)上單調(diào)增加章 當(dāng)x0時(shí),試證xln(1x)成立 理 證設(shè)f(x)xln(1 則f(x)理與

1x ∵f(x)在[0,)上連續(xù),且(0,)可導(dǎo)，f(x)數(shù)應(yīng) ∵f(0)應(yīng)用 xln(1x) 即xln(1-8第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極 證

證明:當(dāng)x0時(shí),sinxx66令F(x)sinxx 則F(x)cosx1 ,F(x)sinx 定 F(x) F(x)在區(qū)間[0,)上是單調(diào)增加的與導(dǎo)因此，當(dāng)x0時(shí)有FxF(00,Fx)數(shù) [0, 上是單調(diào)增加的，因此，當(dāng)x0時(shí)應(yīng) F(x)F(0) sinxx

6-9第四

函數(shù)增減性的判別lnxx20第 三

fx)lnxx2, f(e2)e20,f(1)10,f(e)4 e2中在區(qū)間(1,1);(1,e2e2值定0x1fx0,理

fx導(dǎo)(0,1)是單調(diào)增加的，而當(dāng)x1fx)0.所以f導(dǎo)的在(1,)的

fx) 應(yīng)用

各至多有一個(gè)正根因此方程f(x) -10第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極 函數(shù)的極 yyyyf(aobxyoxyoxyoxyox-11第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極定義設(shè)函數(shù)fx)在區(qū)間(a,b內(nèi)有定義x0是(a,b第三(1)如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域章中點(diǎn)x,除了點(diǎn)x0外,f(x) f(x0)均成立,就稱(chēng)f(x0)中值函數(shù)fx)的一個(gè)極大值x0稱(chēng)為極大值點(diǎn)定0(2)如果存在著點(diǎn)x的一個(gè)鄰域0與導(dǎo)點(diǎn)x,除了點(diǎn)x0外,f(x) f(x0)均成立,就稱(chēng)f(x0)數(shù)的函數(shù)fx)的一個(gè)極小值，x0稱(chēng)為極小值點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極-12第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極 定理2(必要條件

設(shè)fx在點(diǎn)

處具有導(dǎo)數(shù),章0三且在章0

處取得極值,那末必定f

) f(x)0的實(shí)根)叫值函 f(x)的駐點(diǎn)定 f(x)的極值點(diǎn)必定是它的與點(diǎn),但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)數(shù) 例如,yx3,應(yīng)

x0

但x0不是極值點(diǎn) 定理3(第一充分條件

設(shè)函數(shù)fx)在x0處連續(xù),在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),-13第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極(1)

當(dāng)xx0時(shí)

有fx0,而當(dāng)xx0時(shí)第有fx0,

fx)在x0 (2) 章

xx0時(shí),

fx)0而當(dāng)xx0時(shí) f(x)0,則f(x)在中

當(dāng)x定

與xx0時(shí),fx)與理f( 在x0處無(wú)極值與yoxyyoxyox-14yox第四 函數(shù)增減性yoxyoyox值 求極值的步驟值

(不是極值點(diǎn)情形)理 (1)求函數(shù)的定義理導(dǎo) (2)求導(dǎo) f(x);導(dǎo)的 (3)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的用應(yīng)(4)檢查 f(x)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào),判用-15第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極例7求出函數(shù)fxx33x29x5的極值第 f(x)3x26x93(x1)(x第章令f(x) 得駐點(diǎn)xx3f(00f(值值

1,

極大值f(1) 極小值f(3)-16第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極 f(x)x33x29x5圖形如三MmMm-17第四例

函數(shù)增減性的判別2yxx1)3的極值. 定義域?yàn)?,).第章 章

(x

5x x(x 33(x3值中x 時(shí)y x1時(shí)，y不存在值x(,x(,3535(3510y極值32極大值

3 )3

極小值 x 5

-18

第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極2 求出函數(shù)f(x)1(x2)3的極值1第1三 中

(x)2(x2)3

(x 當(dāng)x2時(shí),f(x)不存在定

但函數(shù)fx)在該點(diǎn)連續(xù)與 當(dāng)x與導(dǎo) 當(dāng)x的應(yīng)

f(x)Mf(x)M用f(21為fx)的極大值-19第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極定理4(第二充分條件 設(shè)f(x)在 導(dǎo)數(shù),且f(x0) f(x0)0,那章0 章0

0時(shí),函數(shù)fx在x0處取得極大值;中(2) f(x0)0時(shí),函 f(x) 處取得極小

f(

x)f(x0) 證理

∵f(x0

導(dǎo) f(x0x)f(x0)異導(dǎo)的 當(dāng)x0 有f(x0x)f(x0)的用 當(dāng)x0用

有f

x)f(

)fx)在x0-20第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極例10fxx33x224x20的極值解三 f(x)3x26x243(x4)(x解三1 令f(x) 得駐點(diǎn)1中 ∵f(x)6x定

∵f(4)18 故極大值f(4)與數(shù) f(2)18 故極小值f(2)數(shù)的用 f(x)x33x224x20圖形如用-21第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極mMmM 注意用

fx00時(shí),fx)在點(diǎn)x0處不一定取極值仍用定理-22第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極 函數(shù)的最若函數(shù)fx)在[a,b第三并且至多有有限個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，則fx)在[a,b]章y yoy yobyoa 步驟用 1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)用小,那個(gè)大的就是最大值,那個(gè)小的就是最小值;-23第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最第三

y2x33x212x14的在中上的最大值與最小值值解 ∵f(x)6(x2)(x解理與 f(x)0,得區(qū)間(-3,0)內(nèi)的駐點(diǎn)x12數(shù)應(yīng) f(3)23；f(2)34；f(0)應(yīng)用比較得最大 f(2) 最小 f(0)-24第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極三追擊,速度為2千米/分鐘.問(wèn)我軍摩托車(chē)何時(shí)射擊最好章(相距最近射擊最好）？s(tA0.5s(tA0.5公B值理定系,tB理導(dǎo)與擊至射擊的時(shí)間(分導(dǎo)的數(shù)距函數(shù)s(t的(0.5t)2(0.5t)2(42t用

4公(2求ss(t)的最小值點(diǎn)-25第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極(0.5t)2(0.5t)2(42t

5t

令s(t)三 三 故得我軍從B處發(fā)起追擊后1.5分鐘射擊最好中定 實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意定 (1)建立目標(biāo)函數(shù)導(dǎo) (2)求最值導(dǎo)的 若目標(biāo)函數(shù)只有唯一極值點(diǎn)，（或只有一個(gè)駐的用應(yīng)且經(jīng)分析最值存在）則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最用(或最小)值．-26

第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極 第為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去．當(dāng) 章每月需花費(fèi)20元的整修 中獲得最大收入？值 設(shè)房租為每月x元理 租出去的房子有50

x180

應(yīng) R(x)(x

x180 -27第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極R(x)(x20)68x 10三 R(x)68x(x20)170 10值

10 理 R(x) x350（唯一駐點(diǎn)理與 數(shù) 10890元

10-28第四 函數(shù)增減性的判別與函數(shù)的極14由直線y0，x8及拋物線yx2圍成一個(gè)曲邊三角形，在曲邊yx2上求一點(diǎn),使曲線在該第三點(diǎn)處的切線與直線y0及x8章中值理