《正態(tài)分布》同步練習(xí) 全省一等獎(jiǎng)

《正態(tài)分布》同步練習(xí)一、填空題1．若P(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(（x－1）2,2)(x∈R)，則下列判斷正確的是________．①有最大值，也有最小值；②有最大值，無(wú)最小值；③無(wú)最大值，有最小值；④無(wú)最大值，也無(wú)最小值．【解析】這是當(dāng)μ＝1，σ＝1時(shí)的正態(tài)分布密度函數(shù)，所以其在x＝1時(shí)取得最大值，無(wú)最小值．【答案】②2．如圖2－6－3所示的是當(dāng)ξ取三個(gè)不同值ξ1，ξ2，ξ3時(shí)的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3按從小到大的順序排列是________．圖2－6－3【解析】圖象越陡峭的，概率分布越集中，σ越小，故σ1<σ2<σ3.【答案】σ1<σ2<σ33．若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________．【解析】由對(duì)稱性，P(X≤μ)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．已知隨機(jī)變量X～N，，則X落在區(qū)間，中的概率是________．【解析】P<X<＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝.【答案】5．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)內(nèi)取值的概率為，則ξ在(0，2)內(nèi)取值的概率為_(kāi)_______．【解析】由對(duì)稱性知，P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝.【答案】6．若隨機(jī)變量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝，則P(ξ≥11)＝________．【解析】由P(9≤ξ≤11)＝且正態(tài)曲線以x＝μ＝10為對(duì)稱軸知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝，即P(10≤ξ≤11)＝，又P(ξ≥10)＝，∴P(ξ≥11)＝－＝.【答案】7．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是(10，eq\f(1,2))，則該隨機(jī)變量的方差等于________．【解析】∵最高點(diǎn)為(10，eq\f(1,2))，∴eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,2)，∴σ2＝eq\f(2,π)，即V(X)＝eq\f(2,π).【答案】eq\f(2,π)8．(2022·山東濰坊檢測(cè))某市進(jìn)行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測(cè)，考試后統(tǒng)計(jì)的所有考生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布．已知數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10%，則數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至120分之間的人數(shù)所占的百分比約為_(kāi)_______．【解析】根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義，可知正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x＝90對(duì)稱，由60分以下的人數(shù)占10%可知120分以上的人數(shù)占10%，所以60分至120分之間的人數(shù)占80%，故90分至120分之間的人數(shù)占40%.【答案】40%二、解答題9．若隨機(jī)變量ξ～N(0，1)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求：(1)P(ξ≤；(2)P(ξ>；(3)P(ξ<－；(4)P(|ξ|<．【解】(1)P(ξ≤＝5；(2)P(ξ>＝1－P(ξ≤＝1－6＝4；(3)P(ξ<－＝P(ξ>＝1－P(ξ≤＝1－5＝5；(4)P(|ξ|＜＝P(－<ξ<＝P(ξ<－P(ξ≤－＝2P(ξ<－1＝2×2－1＝4.10．一建橋工地所需要的鋼筋的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，其中μ＝8，σ＝.質(zhì)檢員在檢查一大批鋼筋的質(zhì)量時(shí)發(fā)現(xiàn)有的鋼筋長(zhǎng)度不到7m．這時(shí)，他應(yīng)該讓鋼筋工繼續(xù)用鋼筋切割機(jī)切割鋼筋，還是讓鋼筋工停止加工，檢查鋼筋切割機(jī)？【解】設(shè)這批鋼筋的長(zhǎng)度為Xm，則X～N(8，，所以鋼筋長(zhǎng)度在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)，即在區(qū)間，內(nèi)的概率為，而質(zhì)檢員在檢查時(shí)發(fā)現(xiàn)有的鋼筋長(zhǎng)度不到7m，即出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為鋼筋切割機(jī)出現(xiàn)了問(wèn)題，應(yīng)停工檢查．11．若某省2022年高考考生成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(500，1002)，現(xiàn)有考生75000名，計(jì)劃招生30000名，試估計(jì)錄取分?jǐn)?shù)線．【解】設(shè)錄取分?jǐn)?shù)線為μ，則分?jǐn)?shù)超過(guò)μ的概率為錄取率．即P(ξ≥μ)＝eq\f(30000,750000)＝.∵ξ～N(500，1002)，∴P(ξ≥μ)＝P(eq\f(ξ－500,100)≥eq\f(μ－500,100))＝1－P(eq\f(ξ－500,100)<eq\f(μ－500,100))