二項式定理在數(shù)列求和中地應(yīng)用

實用文案二項式定理在數(shù)列求和中應(yīng)用班級：數(shù)學(xué)1403姓名： 王琪學(xué)號:14404337標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案二項式定理在數(shù)列求和中的應(yīng)用【摘要】本文利用二項式定理和楊輝三角的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合組合不等式，推導(dǎo)出形如anna(a,,)的前n項和的公式,并給出求更高次求和公式的一般方234法?！娟P(guān)鍵詞】 二項式定理 組合數(shù) 方程的根 系數(shù)一、項式定理和楊輝三角介紹：1,二項式定理： (a b)n Cn0anb0 C1nan1b1 Cn2an2b2 Cnranrbr Cnna0bn其中Cnr叫做二項式系數(shù)。2,楊輝三角：二項式定理的應(yīng)用非常廣泛,也很重要,主要表現(xiàn)在兩個方面:一是它所揭示的方法富有啟發(fā)性;二是它與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密.學(xué)習(xí)與掌握它,既有利于培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想和抽象思維的能力,也有利于其今后進一步的學(xué)習(xí).二項式定理在中國被稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”，一般認為是北宋數(shù)學(xué)家賈憲所首創(chuàng).它記載于楊輝的《詳解九章算法》（1261）之中.在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西的著作《算數(shù)之鑰》（1427）中也給出了一個二項式定理系數(shù)表，他所用的計算方法與賈憲的完全相同.在歐洲，德國數(shù)學(xué)家阿皮安努斯在他1527年出版的算數(shù)書的封面上刻有此圖，但一般稱之為“帕斯卡三角形”.因為帕斯卡在1654年也發(fā)現(xiàn)了這個結(jié)果.而在1664年和1665年間，也就是由于瘟疫流行而迫使牛頓從劍橋躲開的前夕，牛頓就開始了二項式定理的研究，值得注意的是，牛頓只處理了二項式的自標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案乘冪是分?jǐn)?shù)或負數(shù)的情況.牛頓第一次提到二項式定理是在1676年6月13日他寫給奧爾登堡轉(zhuǎn)給萊布尼茲的一封信中，此后牛頓對于該定理進行不斷的推理、猜想和證明，最終建立了二項式定理.牛頓在建立了二項式定理以后，馬上就拋棄了他以前用于求積的插值法，而把這個定理當(dāng)做確定曲線下方面積的一個最簡單最直接的方法來使用.隨著時間的推移，二項式定理被越來越多的人運用， 直到今天，二項式定理已經(jīng)是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要部分，也是當(dāng)今高考的難點之一 .二項式定理是在處理有關(guān)兩個元素和的方冪的問題時常?？紤]到的一個重要公式，是組合數(shù)學(xué)中一個基礎(chǔ)而重要的定理，在微積分、概率論、初等數(shù)論等許多數(shù)學(xué)分支中都可見其蹤影.二、二項式的性質(zhì)二項式定理： .理解二項式定理應(yīng)注意：（1）二項式中，a是第一項，b是第二項，順序不能變；（2）展開式中有n 1項(比指數(shù)多1)；（3）Cn0,C1n, ,Cnn是二項式系數(shù)；（4）a的指數(shù)降冪，b的指數(shù)是升冪，兩者的指數(shù)的和等于 n；（5）二項式展開時要注意各項的符號規(guī)律；（6）注意二項式定理的可逆性 .二項式定理除了要注意以上幾點外還具有一些性質(zhì)：性質(zhì)一abn(a的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即CnmCnnm.性質(zhì)二二項式系數(shù)表中，除兩端以外其余位置的數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)之和，CnmCnm1Cnm1.性質(zhì)三abn2n，即的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和等于Cn0Cn1Cnn2n.（令ab1即得，或用集合的子集個數(shù)的兩種計算方法結(jié)果相等來解釋）.性質(zhì)四abn的二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的(標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案二項式系數(shù)的和，即Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1.（令a 1,b 1即得）.三、重要組合恒等式:（1）,Cnr11Cnr1CnrCnr11Cnr1(n1)!(n1)!證明：(r1)!(nr)!r!(n1r)!=(n1)![r(nr)]n!r)!Cnr（證畢）r!(nr)!r!(n（2），CrrCrr1Crr2Cnr1Cnr1(nr)證明（數(shù)學(xué)歸納法）：當(dāng)nr1時上式左邊=1右邊是Crr111，所以是正確的。假設(shè)上式對nk(kr)正確即CrrCrr1Crr2Ckr1Ckr1那么就有CrrCrr1Crr2Ckr1CkrCkr1Ckr再有組合不等式（1）可得CrrCrr1Crr2Ckr1CkrCkr11故綜上所述對于所有大于r的正整數(shù)n（2）式都是成立的。四、一元n次多項式根與系數(shù)的關(guān)系對于多項式xna1xn1a2xn2an1xan0若x1,x2,x3xn是它的n個根則有一下等式成立：()1a1x1x2xn1()2a2x1x2x1x3xn1xn1()iaixkxkxk（所有i個不同的根的乘積的和）12i()na1a2a3an1五、應(yīng)用舉例為了方便應(yīng)用，（2）式也可以寫成CrrCrr1Crr2Crrn1Crrn1(nr)當(dāng)r=1，2，3，4的時候上式也就是：標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案1231n(n)n1!1 11 3 6 n(n 1) n(n 1)(n 2)2! 3!14101()()1()()()3!4!15151n()()()1(n1)()()(n4)4!5!六、歸納總結(jié)n1mnn1m1命題一：kkmk1k1證明：nn1mk1m2m3mnmk1nkm1m2m3mnmk1nnn1m兩式相減有：k1mkm1k1k1nn命題二：1k1由乘法的定義可知：n個1相加的結(jié)果為 n。nnn1命題三：k2k1證明：由二項式定理知：k12k22k1，從而：n12nkk22k1k1k1nnk2nn即：k122k1k1k1k1k1由此可得：標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案nnk12nk2n2k1k1k1k1k1n121nnn1nnn1即：k2k1nk21nn12n1命題四：k16證明：由二項式定理可知：k13k33k231，從而kn13nk33k2k3k1k1k1nk13nnnn即：k33k23k1k1k1k1k1k1由此可得：nnk13nnn3k2k33k1k1k111k1k1nk1n3nn131212n1nn2nk21nn12n1即：k16nnn12命題五：k3k12證明：由二項式定理可知：k14k44k36241，從而kkn4nk44k36k2k4k11k1k1nnnnnn即：k14k44k36k24k1k1k1k1k1k1k1由此可得：標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案nnk14nnnn4k3k46k24k1k1k1k1k1k1k1n14161nn12n14nn1n262nn1n2k3nn1即：k12n411213231命題六：knnk130證明：由二項式定理可知：k15k55410k310k251，從而kknnk15k55k410k310k25k1k1k1nk15nnnnnn即：k55k410k310k25k1k1k1k1k1k1k1k1由此可得：nnk15nnnnn5k4k510k310k25k1k1k1k1k1k1k1k12101nn12n15nn1k15110nn1n2621nn12n13n23n130nkm下面我們討論一般情況下數(shù)列的和，即：k1由二項式定理可知：k1m1Cmm11km1Cmm1kmCmm11km1Cm11kCm01，從nn而有k1m1Cmm11km1Cmm1kmCmm11km1Cm11kCm01k1k1可得：nnnnCmm1kmk1m1km1Cmm11km1Cm11kCm01k1k1k1k1n1m1n1Cmm11km1Cm11kCm01k1即：標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案nn1m1Cmm11km1Cm11kCm011nk1kmCmmk11至此，我們求出了連續(xù)自然數(shù)任意次方的和。推論若多項式f(k)k(k1)(k2)(ka1)他的根分別是k10,k21,k32,aka，1則他的展開式中ka1的系數(shù)是a1(0123a1)(a1)a2a2k1k2k1k3ka1ka同理f'(k)k(1k)(2k)k(2a展開)式中ka2的系數(shù)是：a1'(012