4第四章 第五章 極限定理

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章極限定理一、填空題TOC\o"1-5"\h\z1、設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為叮均方差為.>0，貝IJ當(dāng)a= ，b二 時(shí),2、設(shè)X與Y獨(dú)立，且EX=EY=0,DX=DY=1，貝UE(X+2Y)2二 。3、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為f(x)=[aX+b 0<X<1且dx=丄，[0 其他 18貝0a= ，b= ，EX= 。4、一顆均勻骰子重復(fù)擲10次，貝10次中點(diǎn)數(shù)3平均出現(xiàn)的次數(shù)為，最可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3的次數(shù)為5、設(shè)隨機(jī)變量X服從一區(qū)間上的均勻分布，且 ex=3DX=1，則X的密度函數(shù)， 3為 。P(X=2)= 。6、 設(shè)隨機(jī)變量x?b(n,p),EX=2.4,DX=1.44,貝Un= ，p= 。7、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，Y服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，貝E(2X2+3Y)二_。8、 從廢品率為5%的一大批產(chǎn)品每次取一個產(chǎn)品，直到取到廢品為止，平均要取個產(chǎn)品。TOC\o"1-5"\h\z9、設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，且x?U(0,2),Y?e(3)，則E(XY)= 。10、設(shè)X,X，…X相互獨(dú)立，且p(X=k)=丄e-1(k=0,1,2…;i=1,2,…,100)12 100 i k!則p(YX<120)沁 。i=111、 已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)= e-x2+2x-1(-a<x< )，兀貝E(X)= ,D(X)= 。12、設(shè)X?U(0,6),X?N(0,22),X?e(3)，貝0D(X+2X—3X)=1 2 3 1 2 31X>014、設(shè)隨機(jī)變量X?U(-1,2)，則隨機(jī)變量Y”0X二0，則D(Y)-1X<015、若隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=ABk(k=0,1,2,…)k!16、設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中次數(shù)，每次命中的概率為0.4，則E(X2)二 。二、選擇題】、設(shè)X?e(1)，則E(X+e-x)為( )①3/2②1③5/3④3/42、已知隨機(jī)變量x，Y的方差DX,DY存在，且DX豐0,DY豐0,E(XY)二(EX)(EY)，則下列一定成立的是()①X①X與Y—定獨(dú)立②X與Y一定不相關(guān)③D(XY)二(DX)(DY) ④D(X-Y)二DX-DY3、設(shè)X的分布律為P(X二x)二p，如果( )，則尿不一定存在。kkk=1,2,…n ②k=1,2,…,區(qū)xp收斂kkk=1③k=1,2,…,x>0,藝xp收斂④k=1,2,…,x<0,藝xp收斂k kkk=1kkkk=14、設(shè)隨機(jī)變量X的方差DX存在,a,b為常數(shù)，則D(aX+b)=()①aDX+b ②a2DX+b③a2DX④aDX5、設(shè)X為隨機(jī)變量，D(10X)=10，則DX=<)① 丄 ② 1③10④100106、已知隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從POISSON分布，又知EX=2,EY=3,則E(X+Y)2=( )① 51 ② 10 ③ 25 ④ 30

8、9、10、11、①(4)—①(2)①(-4)—①(-2)④①(2)—①8、9、10、11、①(4)—①(2)①(-4)—①(-2)④①(2)—①(4)設(shè)隨機(jī)變量X?N(2,22)，則D(丄X)二(2212設(shè)隨機(jī)變量x服從指數(shù)分布，且DX=0.25，則X的密度函數(shù)為f(x)=2e-2x x>0 11e-2x x>0 J4e-4x0 x<0 |20 x<0 [0設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)-1i

e090x>0x<0④x>0|40x<0則錯誤的是(E(X)=0 ②9>0③P(-1<X<1)二1-e-0設(shè)隨機(jī)變量x,Y滿足D(X+Y)=D(X-Y)，④分布函數(shù)f(X)二1-e-0則正面正確的是(①X,Y相互獨(dú)立②X,Y不相關(guān)③D(Y)=0④ D(X)D(Y)=012、設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為F(x)-0

x31x<00<x<1則E(X)=(x>1①fx4dx②f3x3dx③fx4dx+fxdx0001則其中患病13、有一群人受某種疾病感染的占20%，現(xiàn)從他們中隨機(jī)抽取50人則其中患病人數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差是( )①25和8②10和2.8③25和64④10和814、 設(shè)隨機(jī)變量x,X,X均服從區(qū)間(0，2)上的均勻分布，則e(3X—X+2X)=1 2 3 1 2 3①1②3③4④1215、設(shè)x,x，…,X，…為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若( )時(shí)，則｛x｝服從12nn切貝曉夫大數(shù)定律。①X的分布律的是P(Xi①X的分布律的是P(Xii1=k)=—-(k=0,1,2,…)

ek!②X的分布律的是P(X=k)=ii時(shí))(k=1,2，…)③X的密度函數(shù)為if(③X的密度函數(shù)為if(x)=兀(1+X2)(一8<X<+8)④X的密度函數(shù)為ix>1x<116、設(shè)x,x，…X獨(dú)立同分布，且服從參數(shù)為1九的指數(shù)分布，則下列結(jié)論正確的是12n()LimP<ns九工X一ni—JLimP<ns九工X一ni—J<nLimP<ns丫X-ni、<x>=①(x)工X一niLimP<4ns、<x>=0(x)、<x>=①(x)17、設(shè)X，X，…，X ，…為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，121000TOC\o"1-5"\h\z且X?b(1,p)(i二1,2,-1000)，則下列中不正確的是( )i①一^密X沁p ②SX?b(1000,p) ③P(a<SX<b)q①(b)―①(a)1000i i ii=1 i=1 i=1P(a<S00X<b)q0(b—1000P)-0(a一1000p).=i 、，'1000pq \fl000pq三、計(jì)算題1、 設(shè)隨機(jī)變量x和Y相互獨(dú)立且均服從N(01)，求|X—Y|的數(shù)學(xué)期望。辺2、 設(shè)球的直徑(單位：mm)X?u(i0,ii)，求球的體積的數(shù)學(xué)期望。3、 已知X?N(1,32),Y?N(0,42),卩打=一0.5，設(shè)Z=脣+Y/，求Z的數(shù)學(xué)期望和方差及X與Z的相關(guān)系數(shù)。4、 某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，今隨機(jī)抽查100個索賠戶，求其中被盜索賠戶不少于14戶但也不多于30戶的概率。5、 甲乙兩隊(duì)比賽，若有一隊(duì)先勝四場，則比賽結(jié)束，假設(shè)每次比賽甲隊(duì)獲勝的概率為0.6，求比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望。6、某城市的市民在一年內(nèi)遭受交通事故的概率為千分之一。為此，一家保險(xiǎn)公司決定在這個城市新開一種交通事故險(xiǎn)，每個投保人每年交付保險(xiǎn)費(fèi)18元，一旦發(fā)生事故，將得到1萬元的賠償。經(jīng)調(diào)查，預(yù)計(jì)有10萬人購買這種險(xiǎn)種。假設(shè)其他成本共40萬元求(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少？(2)平均利潤為多少？7、 設(shè)隨機(jī)變量X有有限期望EX及方差dx力2，試用切貝謝夫不等式估計(jì)P(EX-3g<X<EX+3g｝的值。8、 設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5,試用切貝謝夫不等式估計(jì)概率尸｛x-ex|>5｝的值。9、 某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有120個終端，各終端使用與否相互獨(dú)立，如果每個終端有20%的時(shí)間在使用,求使用終端個數(shù)在30個至50個之間的概率。10、 一系統(tǒng)由100個相互獨(dú)立的部件組成,在系統(tǒng)運(yùn)行期間部件損壞的概率為0.05,而系統(tǒng)只有在損壞的部件不多于10個時(shí)才能正常運(yùn)行,求系統(tǒng)的可靠度。11、 某電站供應(yīng)一萬戶用電,假設(shè)用電高峰時(shí),每戶用電的概率為0.9,利用中心極限定理計(jì)算：同時(shí)用電戶數(shù)在9030戶以上的概率；若每戶用電200瓦,問電站至少應(yīng)具有多大的發(fā)電量,才能以95%的概率保證供電12、 對次品率為0.05的一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查,如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個,則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格,那么應(yīng)檢查多少個產(chǎn)品,才能使這批產(chǎn)品被認(rèn)為是不合格的概率(可信度)達(dá)到90%。13、 據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機(jī)地取16只,設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的,求這16只元件的壽命的和大于1920小時(shí)的概率。14、某廠產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布，其概率密度為f(t)e-4xt>0，工廠規(guī)定，八)4 t<0售出的產(chǎn)品若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換。若工廠售出1個產(chǎn)品，能獲利120元；調(diào)換1個產(chǎn)品，工廠要花費(fèi)350元，試求工廠出售1個產(chǎn)品的平均獲利。15、 一商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨的數(shù)量x與商品的需求量y相互獨(dú)立，且均服從均勻分布U（10,20）。商店每售出一單位商品可得利潤1000元，若需求量超過進(jìn)貨量，商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品可得利潤500元，試計(jì)算此商店經(jīng)營該各商品每周平均獲利。16、 在一家保險(xiǎn)公司有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006,其家屬可獲得1000元賠償費(fèi)，求（1）保險(xiǎn)公司沒有利潤的概率；（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于60000元的概率。三、證明題1、 設(shè)（X,Y）在單位圓內(nèi)服從均勻分布，試證X與Y不相關(guān)，但不相互獨(dú)立。2、 設(shè)X?N（0,1），則X與Y=1XI不相關(guān)，但不相互獨(dú)立3、 設(shè)X與Y都是0—1分布，試證X與Y不相關(guān)的充分必要條件是X與Y獨(dú)立。4、 證明：取值于［a,b］區(qū)間上的隨機(jī)變量X,必有D（x）<（b—a）245、 設(shè)AB是兩事件，X1若人出現(xiàn)Y=/1若B出現(xiàn)' -1若A不出現(xiàn) ［-1若B不出現(xiàn)證明X與Y獨(dú)立的充分必要條件是AB獨(dú)立。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章極限定理一、填空題1、a=上,b=±丄2、54、5、8、ab—+——4 3a+b=12/a—+—14、5、8、ab—+——4 3a+b=12/a—+—132)b\2Ia=2 2或Ia=—2 1=「[b=0，E(x)=3或Ib=2,E(X)=318平均出現(xiàn)的次數(shù)10/6,最可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3的次數(shù)為1I12xe(2'4) ,P(X=2)=0 6、n=4，p=0.4 7、200x電(2,4)P(X=k)=qk-1p,k=1,2,3p=0.05,E(X)=- 9、3p10、nP(乙X<120)Q①ii=1f120—100]〔10)二①⑵=0.977211、E(X)=1,D(X)=寺12、3-+4x22+9x3213、214、8/915、A=e—a,B=a 16、18.412二、選擇題1、①2、②3、②4、③5、①6、④7、②8、①9、①10、④11、②12、② 13、④ 14、③15、①16、①17、③三、計(jì)算題1、用X—Y~N(0,-)，令Z=X-Y，E1Z廿金就02du=2、3、3 1114 1547,E(V)=-J-兀x3dx=——兀83 8101 1111E(Z)=EX3+EY‘2= -， D(Z) =-DX+-DY+2x-x-Cov(X,Y)=33 9^43 22)Cov(X,Y)=、DX?DYP=—6,Cov(X,Z)=E(XZ)—EX-EZ=0，p=04、XY 4、X為100個索賠戶中被盜索賠戶數(shù)，X?b(100,0.2)所求P(14<X<30)，0.927p=P(A)=0.6,q=P(A)=0.4p=P(A)=0.6,q=P(A)=0.4iiiP(X=k)=Ck-4p4qk—4+Ck—4q4pk—4,k=4,5,6,7;E(X)=工kP(X=k)kk6、X6、X為遭受交通事故的人數(shù)，X~b（100000,0.001），（1）P(X>180—40)=0.00003（2）保險(xiǎn)公司利潤y=140—X,E（Y）=40（萬兀）7、P{EX—3O<X<EX+3O}=P{]XEXI<3O}三1一上二=8/98、P{IX-EXI三25=0?l529、 用中心極限定理X~B(120, 0.2)所求為P{30WXW50}=0.08110、 設(shè)X表示損壞的部件個數(shù)。由X~B(100, 0.05)。所求為P{XW1O}=O.9811、 設(shè)X表示在用電高峰時(shí)，同時(shí)用電的戶數(shù)。所求為P{X>9030}，由X~B(1000