第15章物理-15-08量子力學簡介

微觀粒子具有波粒二象性又遵循不確定關(guān)系，因此不能用經(jīng)典的方法（以及）來描述和研究，那么考慮到微觀粒子具有波動性,1924年德布羅意首先提出用物質(zhì)波函數(shù)來描述微觀粒子的運動狀態(tài).一波函數(shù)概率密度1）經(jīng)典的波與波函數(shù)

機械波

經(jīng)典波為實函數(shù)經(jīng)典概念中粒子及波的意義

電子既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！边@個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？2）量子力學波函數(shù)（復函數(shù)）微觀粒子的波粒二象性

自由粒子能量和動量是確定的，其德布羅意頻率和波長均不變，可認為它是一平面單色波.根據(jù)不確定原理，粒子在

x方向上的位置完全不確定.

自由粒子平面波函數(shù)描述微觀粒子的運動狀態(tài)的物理量

某一時刻出現(xiàn)在某點附近在體積元中的粒子的概率為

歸一化條件(束縛態(tài))

某一時刻在整個空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為3）波函數(shù)的統(tǒng)計意義概率密度表示在某處單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率.正實數(shù)二薛定諤方程（1925年）

自由粒子薛定諤方程的建立上式取x

的二階偏導數(shù)和t的一階偏導數(shù)得自由粒子一維運動自由粒子的含時薛定諤方程自由粒子平面波函數(shù)一維運動粒子的含時薛定諤方程若粒子在勢能為的勢場中運動質(zhì)量為m

的粒子在勢場中運動的波函數(shù)

粒子在恒定勢場中的運動

其中（仍稱波函數(shù)）

可證明概率穩(wěn)定分布

在三維勢場中運動粒子的定態(tài)薛定諤方程拉普拉斯算子定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)在勢場中一維運動粒子的定態(tài)薛定諤方程

波函數(shù)的標準條件：單值的，有限的和連續(xù)的.1）

可歸一化;2）和連續(xù);3）為有限的、單值函數(shù).1）勢能Ep、能量E

不隨時間變化；2）概率密度不隨時間變化.定態(tài)波函數(shù)性質(zhì)一維定態(tài)薛定諤方程的應用（1）微觀粒子運動所遵循的運動規(guī)律（2）求解程序定態(tài)方程Ep(x)形式

通解(含待定常數(shù))確定常數(shù)標準條件邊界條件空間概率量子化(能級)三一維勢阱問題粒子勢能滿足的邊界條件1）是固體物理金屬中自由電子的簡化模型；

2）數(shù)學運算簡單，量子力學的基本概念、原理在其中以簡潔的形式表示出來.意義在勢場中一維運動粒子的定態(tài)薛定諤方程

波函數(shù)的標準條件：單值、有限和連續(xù).量子數(shù)

基態(tài)能量

激發(fā)態(tài)能量

一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的.

歸一化條件量子數(shù)

概率密度

能量

波動方程

波函數(shù)

量子數(shù)討論:（2）用駐波法(舊量子論)討論能量問題勢阱中粒子兩端固定弦駐波考慮波動性簡正模式物質(zhì)波（1）“平均化”→經(jīng)典情況例1試求一維無限深勢阱中粒子概率密度最大值的位置。解：粒子的概率密度n=1,2,3,…因為在阱內(nèi)(0<x<a)，只有得當n=1,N=0最大值位置當n=2,N=0,1最大值位置當n=3,N=0,1,2最大值位置52.例2已知勢阱中粒子處于第二激發(fā)態(tài)，求(1)粒子出現(xiàn)概率最大值的位置及概率的值.(2)0—a/3區(qū)間粒子出現(xiàn)的概率.解:(1)(如未歸一化,首先應歸一化,確定常數(shù)A)第二激發(fā)態(tài)n

=

3求極值得對應概率為2

/

a(2)0—a/3區(qū)間概率已知歸一化函數(shù)四對應原理

勢阱中相鄰能級之差能量

當很大時，，量子效應不明顯，能量可視為連續(xù)變化，此即為經(jīng)典對應.量子力學宏觀條件經(jīng)典力學相對論力學v<<c經(jīng)典力學另新舊兩種理論極限條件趨于一致啟示：新理論是否正確—對應原理檢驗

能級相對間隔當時，，能量視為連續(xù)變化.對應原理：當量子數(shù)很大時，量子力學與經(jīng)典力學的結(jié)論將趨于一致；經(jīng)典力學是量子力學在高量子數(shù)條件下的近似結(jié)果。例2

電子在

的勢阱中.（近似于連續(xù)）當時,（能量分立）五一維方勢壘隧道效應

一維方勢壘粒子的能量隧道效應

從左方射入的粒子，在各區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)寫出定態(tài)薛定諤方程：區(qū)域Ⅰ

區(qū)域Ⅱ

區(qū)域Ⅲ

可以解得ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ可以解得：因為透射波，無反射波，故C'

=0再由標準條件可求得其它5個系數(shù)ⅠⅡⅢ

討論：----隧道效應在粒子總能量低于勢壘壁高時，粒子有一定的概率穿過勢壘

重大意義：隧道效應→STM（掃描隧道顯微鏡）→納米科學，生命科學。ⅠⅡⅢ1981年賓尼希和羅雷爾利用電子的隧道效應制成了掃描遂穿顯微鏡(STM),可觀測固體表面原子排列的狀況.1986年賓尼希又研制了原子力顯微鏡.

應用

圖像可放大到1億倍，橫向分辨率為0.6-1.2nm，縱向分辨率為0.001nm，最突出的優(yōu)點是不損壞樣品。掃描隧道顯微鏡（STM）的基本原理是利用量子理論中的隧道效應，將原子線度的極細探針和被研究物質(zhì)的表面作為兩個電極，當樣品與針尖的距離非常接近時（通常小于1nm），在外加電場的作用下，電子會穿越兩個電極之間的勢壘流向另一個電極，這種效應即是隧道效應。利用電子線路控制隧道電流的恒定，并用壓電陶瓷材料控制針尖在樣品表面的掃描，將針尖在樣品表面掃描運動時的軌跡直接在熒光屏或記錄紙上顯示出來。量子阱48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.碘原子在鉑晶體上的吸附硅表面的硅原子排列砷化鉀表面的砷原子排列觀看原子石墨晶體表面原子的STM照片一維諧振子的勢能函數(shù)為，其中m為諧振子的質(zhì)量。若t=0時，諧振子的波函數(shù)為，其中，而a為常數(shù)。