測控-線代第一章行列式

在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組.但是，從許多實踐或理論問題里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當多的未知量，并且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定相等.我們先討論未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相等的特殊情形.在討論這一類線性方程組時，我們引入行列式這個計算工具.第一章行列式內(nèi)容提要

§1二階與三階行列式

§2全排列及其逆序數(shù)

§3n

階行列式的定義

§4行列式的性質(zhì)

§5行列式按行（列）展開

§6克拉默法則行列式的概念.行列式的性質(zhì)及計算.——線性方程組的求解.

行列式是線性代數(shù)的一種工具！學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計算行列式的值.§1

二階與三階行列式我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式.一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當時，該方程組有唯一解求解公式為二元線性方程組請觀察，此公式有何特點？分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定.分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再相減而得.其求解公式為二元線性方程組我們引進新的符號來表示“四個數(shù)分成兩對相乘再相減”.記號數(shù)表表達式稱為由該數(shù)表所確定的二階行列式，即其中，稱為元素.i為行標，表明元素位于第i行；j為列標，表明元素位于第j

列.原則：橫行豎列二階行列式的計算主對角線副對角線即：主對角線上兩元素之積－副對角線上兩元素之積——對角線法則二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為例1求解二元線性方程組解因為所以二、三階行列式定義

設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表原則：橫行豎列引進記號稱為三階行列式.主對角線副對角線二階行列式的對角線法則并不適用！三階行列式的計算——對角線法則注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式.實線上的三個元素的乘積冠正號，虛線上的三個元素的乘積冠負號.例2

計算行列式解按對角線法則，有方程左端解由得例3

求解方程§2

全排列及其逆序數(shù)問題把n個不同的元素排成一列，共有多少種不同的排法？定義把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列.n個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.顯然即n個不同的元素一共有n!種不同的排法.

3個不同的元素一共有3!=6種不同的排法123，132，213，231，312，321對于n個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標準次序.n個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標準次序.定義

當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就稱這兩個元素組成一個逆序.例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考題：還能找到其它逆序嗎？答：2和1，3和1也構(gòu)成逆序.定義排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)通常記為.奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.思考題：符合標準次序的排列是奇排列還是偶排列？答：符合標準次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列.計算排列的逆序數(shù)的方法則此排列的逆序數(shù)為設(shè)是1,2,…,n這n個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標準次序.先看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為；再看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為;……最后看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為;例1：求排列32514的逆序數(shù).解：練習(xí)：求排列453162的逆序數(shù).解：例2：求排列的逆序數(shù).解：§3

n階行列式的定義一、概念的引入規(guī)律：三階行列式共有6項，即3!項．每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．每一項可以寫成（正負號除外），其中是1、2、3的某個排列.當是偶排列時，對應(yīng)的項取正號；當是奇排列時，對應(yīng)的項取負號.所以，三階行列式可以寫成

其中表示對1、2、3的所有排列求和.二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形.二、n階行列式的定義

n

階行列式共有

n!項．每一項都是位于不同行不同列的

n

個元素的乘積．每一項可以寫成（正負號除外），其中是1,2,…,n的某個排列.當是偶排列時，對應(yīng)的項取正號；當是奇排列時，對應(yīng)的項取負號.簡記作，其中為行列式D的(i,j)元注意：當n=1時，一階行列式|a|=a，注意不要與絕對值的記號相混淆.例如：一階行列式.例：寫出四階行列式中含有因子的項.例：計算行列式解：和解：其中四個結(jié)論：(1)對角行列式(2)(3)上三角形行列式（主對角線下側(cè)元素都為0）(4)下三角形行列式（主對角線上側(cè)元素都為0）例

用行列式的定義計算解思考題已知

，求的系數(shù).故的系數(shù)為－1.解含的項有兩項，即對應(yīng)于注

n階行列式也可定義為§4行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.若記，則.記性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即.性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證明根據(jù)行列式的定義，有若記，則行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.驗證于是推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有，所以.

備注：交換第行（列）和第行（列），記作.性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)，等于用數(shù)乘以此行列式.驗證我們以三階行列式為例.記根據(jù)三階行列式的對角線法則，有備注：第行（列）乘以，記作.推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．驗證我們以4階行列式為例.性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,例如：則驗證我們以三階行列式為例.性質(zhì)6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．則驗證我們以三階行列式為例.記備注：以數(shù)乘第行（列）加到第行（列）上，記作.例１二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．解行列式計算的方法之一：任一n階行列式均可以只經(jīng)過行（列）變換化為上（下）三角形行列式例3設(shè)

證明證明對作運算，把化為下三角形行列式設(shè)為對作運算，把化為下三角形行列式設(shè)為對D

的前k行作運算，再對后n

列作運算，把D

化為下三角形行列式故

(行列式中行與列具有同等的地位,凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立).計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個性質(zhì)§5

行列式按行(列)展開對角線法則只適用于二階與三階行列式.本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.一、引言結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示.思考題任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？例如把稱為元素的代數(shù)余子式．在n階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的n－1階行列式叫做元素的余子式，記作.結(jié)論因為行標和列標可唯一標識行列式的元素，所以行列式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式.引理

一個n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如即有又從而下面再討論一般情形.分析當位于第1行第1列時,（根據(jù)性質(zhì)7）我們以4階行列式為例.思考題：能否以代替上述兩次行變換？思考題：能否以代替上述兩次行變換？答：不能.被調(diào)換到第1行，第1列例二、行列式按行（列）展開法則定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即同理可得證明用數(shù)學(xué)歸納法例證明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2時(1)式成立.假設(shè)(1)對于n－1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行減去前行的倍：按照第1列展開，并提出每列的公因子，就有

n?1階范德蒙德行列式推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即分析我們以3階行列式為例.把第1行的元素換成第2行的對應(yīng)元素，則定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即推論行列式任一