一元非參數(shù)回歸-(非參數(shù)統(tǒng)計(jì))

參數(shù)回來與非參數(shù)回來的優(yōu)缺點(diǎn)比較：參數(shù)回來：優(yōu)點(diǎn)：(1).模型形式簡潔明確，僅由一些參數(shù)表達(dá)(2).在經(jīng)濟(jì)中，模型的參數(shù)具有一般都具有明確的經(jīng)濟(jì)含義(3).當(dāng)模型參數(shù)假設(shè)成立，統(tǒng)計(jì)推斷的精度較高，能經(jīng)受實(shí)際檢驗(yàn)(4).模型能夠進(jìn)行外推運(yùn)算(5).模型可以用于小樣本的統(tǒng)計(jì)推斷缺點(diǎn)：(1).回來函數(shù)的形式預(yù)先假定(2).模型限制較多：一般要求樣本滿足某種分布要求，隨機(jī)誤差滿足正態(tài)假設(shè)，說明變量間獨(dú)立，說明變量與隨機(jī)誤差不相關(guān)，等(3)須要對模型的參數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格的檢驗(yàn)推斷，步驟較多(4).模型泛化實(shí)力弱，缺乏穩(wěn)健性，當(dāng)模型假設(shè)不成立，擬合效果不好，須要修正或者甚至更換模型非參數(shù)回來：優(yōu)點(diǎn)：(1)回來函數(shù)形式自由，受約束少，對數(shù)據(jù)的分布一般不做任何要求(2)適應(yīng)實(shí)力強(qiáng)，穩(wěn)健性高，回來模型完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動(3)模型的精度高;(4)對于非線性、非齊次問題，有特殊好的效果缺點(diǎn)：(1)不能進(jìn)行外推運(yùn)算,(2)估計(jì)的收斂速度慢(3)一般只有在大樣本的狀況下才能得到很好的效果，而小樣本的效果較差(4)高維詛咒,光滑參數(shù)的選取一般較困難非參數(shù)回來方法樣條光滑正交回來核回來：N-W估計(jì)、P-C估計(jì)、G-M估計(jì)（9.1）局部多項(xiàng)式回來：線性、多項(xiàng)式（9.2）光滑樣條：光滑樣條、B樣條近鄰回來：k-NN、k近鄰核、對稱近鄰（9.4）正交級數(shù)光滑（9.5）穩(wěn)健回來：LOWESS、L光滑、R光滑、M光滑----------（9.3）局部回來Fourier級數(shù)光滑wavelet光滑處理高維的非參數(shù)方法：多元局部回來、薄片樣條、可加模型、投影尋蹤、回來樹、張量積，等3核函數(shù)K：函數(shù)K(.)滿足:常見的核函數(shù)：Parzen核：Gaussian核：Epanechnikov核：tricube核：為示性函數(shù)4回來模型：(1)模型為隨機(jī)設(shè)計(jì)模型,樣本觀測(Xi,Yi)~iid(2)模型為固定設(shè)計(jì)模型Xi為R中n個試驗(yàn)點(diǎn)列,i=1,2,…,nYi為固定Xi的n次獨(dú)立觀測，i=1,2,…,nm(x)為為一未知函數(shù)，用一些方法來擬合定義：線性光滑(linearsmoother)5光滑參數(shù)的選取風(fēng)險(均方誤差)

(meansquarederror,MSE)志向的狀況是希望選擇合適的光滑參數(shù)h，使得通過樣本數(shù)據(jù)擬合的回來曲線能夠最好的靠近真實(shí)的回來曲線(即達(dá)到風(fēng)險最小)，這里真實(shí)回來函數(shù)m(x)一般是未知的。可能會想到用平均殘差平方和來估計(jì)風(fēng)險R(h)但是這并不是一個好的估計(jì)，會導(dǎo)致過擬合（欠光滑），緣由在于兩次利用了數(shù)據(jù)，一次估計(jì)函數(shù)，一次估計(jì)風(fēng)險。我們選擇的函數(shù)估計(jì)就是使得殘差平方和達(dá)到最小，因此它傾向于低估了風(fēng)險。是

的估計(jì)，h是光滑參數(shù)，稱為帶寬或窗寬6光滑參數(shù)的選取缺一交叉驗(yàn)證方法(leave-one-outcrossvalidation,CV)這里是略去第i個數(shù)據(jù)點(diǎn)后得到的函數(shù)估計(jì)交叉驗(yàn)證的直觀意義：因此：7光滑參數(shù)的選取定理：若那么缺一交叉驗(yàn)證得分

能夠?qū)懗桑哼@里是光滑矩陣L的第i個對角線元素廣義交叉驗(yàn)證(generalizedcross-validation,GCV)其中：為有效自由度8光滑參數(shù)的選取其他標(biāo)準(zhǔn)(1)干脆插入法(DirectPlug-In,DPI)相關(guān)文獻(xiàn)可以參考：

WolfgangH?rdle(1994)，AppliedNonparametricRegression，BerlinJeffreyD.Hart(1997),NonparametricSmoothingandLack-of-FitTests，SpringerSeriesinStatistics李竹渝、魯萬波、龔金國(2007)，經(jīng)濟(jì)、金融計(jì)量學(xué)中的非參數(shù)估計(jì)技術(shù)，科學(xué)出版社，北京

吳喜之譯(2008)，現(xiàn)代非參數(shù)統(tǒng)計(jì)，科學(xué)出版社，北京

(2)罰函數(shù)法(penalizingfunction)(3)單邊交叉驗(yàn)證(OneSidedCrossValidation，OSCV)(4)拇指規(guī)則(RuleOfThumb)99.1.核回來（核光滑）模型N-W估計(jì)是一種簡潔的加權(quán)平均估計(jì)，可以寫成線性光滑：局部回來由Nadaraya(1964)和Watson(1964)分別提出，（1）N-W估計(jì)形式：其中：,為核函數(shù)，為帶寬或窗寬10局部回來(2)G-M估計(jì)由GasserandMüller(1979)提出，形式如下:其中寫成線性光滑的形式:11局部回來核估計(jì)存在邊界效應(yīng)，邊界點(diǎn)的估計(jì)偏差較大,以N-W估計(jì)為例，如下圖12局部回來一般，核函數(shù)的選取并不是很重要，重要的是帶寬的選取13局部回來一般，核函數(shù)的選取并不是很重要，重要的是帶寬的選取14局部回來一般，核函數(shù)的選取并不是很重要，重要的是帶寬的選取可以看到：擬合曲線的光滑度受到光滑參數(shù)h變更的影響15局部回來核估計(jì)的漸近方差核漸近偏差核估計(jì)漸近偏差漸近方差N-W估計(jì)

G-M估計(jì)

其中，h為光滑參數(shù)，f為X的密度函數(shù)，且16局部回來9.2.局部多項(xiàng)式回來多項(xiàng)式的回來模型其中可由最小二乘法估計(jì),即局部多項(xiàng)式回來：對m(x)在u處進(jìn)行p階泰勒綻開，略去p階高階無窮小量，得到m(x)在u處的一個p階多項(xiàng)式近似，即此時，x應(yīng)當(dāng)靠近u，且17局部回來通過最小二乘來估計(jì)系數(shù)留意：是在x的一個鄰域內(nèi)進(jìn)行多項(xiàng)式估計(jì)，因此，最小二乘應(yīng)當(dāng)與x的鄰域有關(guān)局部加權(quán)平方和：使上述問題最小化，可以得到系數(shù)的局部多項(xiàng)式的最小二乘估計(jì)可以很簡潔得到，取p=0時為局部常數(shù)估計(jì)，即N-W核估計(jì)取p=1，為局部線性估計(jì)18局部回來寫成矩陣形式：使上式最小化，可以得到系數(shù)的估計(jì)其中19局部回來得到加權(quán)最小二乘估計(jì)當(dāng)p=1時（局部線性估計(jì)）的漸近偏差和漸近方差其中可以看到局部線性回來的漸近方差和N-W估計(jì)相同，而漸近偏差卻比N-W回來小，說明局部線性多項(xiàng)式可以削減邊界效應(yīng)，局部線性估計(jì)由于N-W估計(jì)20局部回來局部多項(xiàng)式光滑可以很好的削減邊界效應(yīng)21局部回來檢驗(yàn)函數(shù)(Doppler函數(shù))22局部回來運(yùn)用GCV選取最優(yōu)帶寬h=0.017，權(quán)函數(shù)為tricube核函數(shù)23局部回來運(yùn)用GCV選取最優(yōu)帶寬h=0.017，權(quán)函數(shù)為tricube核函數(shù)24局部回來9.4.近鄰光滑(1)k-NN回來(k-nearestneighborregression)其中={i:xi是離x最近的k個觀測值之一}K-NN估計(jì)的漸近偏差和漸近方差：對于隨機(jī)設(shè)計(jì)模型，近鄰估計(jì)寫成線性光滑器的形式權(quán)函數(shù)：25局部回來(1)k-NN回來(k-nearestneighborregression)26局部回來(1)k-NN回來(k-nearestneighborregression)27局部回來(2)k-近鄰核回來K近鄰核估計(jì)的權(quán)重其中R為xi中離x最近的第k個距離，K為核函數(shù)漸近偏差和漸近方差：28局部回來(2)k-近鄰核回來29局部回來(2)k-近鄰核回來30局部回來9.3.穩(wěn)健光滑(1)局部加權(quán)描點(diǎn)光滑(LocallyWeightedScatterplotSmoothing,LOWESS)Step1:在x的鄰域內(nèi)，用一個多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，求出系數(shù){βj}其中wi(x,k)為k-N