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山東省淄博市周村區(qū)實驗中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.設(shè)為正整數(shù)n(十進制)的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和,比如.記,,則=(
)
A.20
B.4
C.42
D.145參考答案:解析:將記做,于是有
從16開始,是周期為8的周期數(shù)列。故
正確答案為D2.已知,,,則(
)A. B. C. D.參考答案:D【分析】先求得的值,然后計算出的值,由此求得的大小.【詳解】由于,所以,所以,.所以,所以,故選D.【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查利用三角函數(shù)值求角,屬于基礎(chǔ)題.3.等差數(shù)列中,已知前15項的和,則等于(
)A. B.12 C.
D.6參考答案:D略4.若集合,,則A∩B=(
)A. B.{0,1}C.{0,1,2} D.{-2,0,1,2}參考答案:B【分析】根據(jù)題意,利用交集定義直接求解。【詳解】集合,,所以集合?!军c睛】本題主要考查集合交集的運算。5.已知定義域為的偶函數(shù)在上是減函數(shù),且,則不等式
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:A略6.已知函數(shù)f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b),若f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的圖象大致為()A. B. C. D.參考答案:A【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象變換;函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.【分析】根據(jù)題意,易得(x﹣a)(x﹣b)=0的兩根為a、b,又由函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系,可得f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的零點就是a、b,觀察f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的圖象,可得其與x軸的兩個交點分別在區(qū)間(﹣∞,﹣1)與(0,1)上,又由a>b,可得b<﹣1,0<a<1;根據(jù)函數(shù)圖象變化的規(guī)律可得g(x)=aX+b的單調(diào)性即與y軸交點的位置,分析選項可得答案.【解答】解:由二次方程的解法易得(x﹣a)(x﹣b)=0的兩根為a、b;根據(jù)函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系,可得f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的零點就是a、b,即函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標;觀察f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的圖象,可得其與x軸的兩個交點分別在區(qū)間(﹣∞,﹣1)與(0,1)上,又由a>b,可得b<﹣1,0<a<1;在函數(shù)g(x)=ax+b可得,由0<a<1可得其是減函數(shù),又由b<﹣1可得其與y軸交點的坐標在x軸的下方;分析選項可得A符合這兩點,BCD均不滿足;故選A.【點評】本題綜合考查指數(shù)函數(shù)的圖象與函數(shù)零點的定義、性質(zhì);解題的關(guān)鍵在于根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析出a、b的范圍.7.下列說法正確的是()A.一條直線和x軸的正方向所成的角叫該直線的傾斜角B.直線的傾斜角α的取值范圍是:0°≤α≤180°C.任何一條直線都有斜率D.任何一條直線都有傾斜角參考答案:D【考點】直線的傾斜角.【分析】直接由直線的傾斜角的概念和范圍判斷A,B,由特殊角判斷C,則答案可求.【解答】解:對于A:一條直線向上的方向與x軸的正方向所成的角叫做直線的傾斜角,故A不正確;對于B:直線傾斜角的范圍是0°≤α<180°,故B不正確;對于C:傾斜角為90°的直線沒有斜率,故C不正確;對于D:任何一條直線都有傾斜角,但不一定有斜率,故D正確.8.在△ABC中,已知點A(5,-2),B(7,3),且AC邊的中點M在y軸上,BC邊的中點N在x軸上,則直線MN的方程為
A.5x一2y一5=0B.2x一5y一5=0
C.5x-2y+5=0D.2x-5y+5=0參考答案:A9.命題“?x∈R,x2+3x-1≥0”的否定是()A.?x∈R,x2+3x-1<0 B.?x∈R,x2+3x-1≥0C.?x∈R,x2+3x-1≤0
D.?x∈R,x2+3x-1<0參考答案:A解析:由全稱量詞命題的否定的定義可知,該全稱量詞命題的否定為?x∈R,x2+3x-1<0.故選A.10.若點和都在直線上,又點和點,則(
)A.點P和Q都不在直線l上B.點P和Q都在直線l上C.點P在直線l上且Q不在直線l上D.點P不在直線l上且Q在直線l上參考答案:B由題意得:,易得點滿足由方程組得,兩式相加得,即點在直線上,故選B.
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知以x,y為自變量的目標函數(shù)z=kx+y(k>0)的可行域如圖陰影部分(含邊界),且A(1,2),B(0,1),C(,0),D(,0),E(2,1),若使z取最大值時的最優(yōu)解有無窮多個,則k=________.參考答案:112.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則=___________.參考答案:數(shù)列成等差數(shù)列,且
.13.若函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)在區(qū)間x∈[0,1]上的最大值與最小值之和為3,則實數(shù)a的值為
.參考答案:2【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】本題要分兩種情況進行討論:①0<a<1,函數(shù)y=ax在[0,1]上為單調(diào)減函數(shù),根據(jù)函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值和為3,求出a②a>1,函數(shù)y=ax在[0,1]上為單調(diào)增函數(shù),根據(jù)函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值和為3,求出a即可.【解答】解:①當0<a<1時函數(shù)y=ax在[0,1]上為單調(diào)減函數(shù)∴函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值分別為1,a∵函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值和為3∴1+a=3∴a=2(舍)②當a>1時函數(shù)y=ax在[0,1]上為單調(diào)增函數(shù)∴函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值分別為a,1∵函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值和為3∴1+a=3∴a=2故答案為:2.【點評】本題考查了函數(shù)最值的應(yīng)用,但解題的關(guān)鍵要注意對a進行討論,屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)x,y滿足約束條件,則的最小值為______.參考答案:-3【分析】先畫出約束條件所代表的平面區(qū)域,再畫出目標函數(shù)并平移目標函數(shù)確定最優(yōu)解的位置,求出最優(yōu)解代入目標函數(shù)求出最值即可.【詳解】解:先畫出約束條件所代表的平面區(qū)域,如圖中陰影然后畫出目標函數(shù)如圖中過原點虛線所示平移目標函數(shù),在點處取得最小值由,解得所以目標函數(shù)最小值為故答案為:.【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題,平移目標函數(shù)時由目標函數(shù)中前系數(shù)小于0,故向上移越移越小.15.若數(shù)列{an}滿足,則a2017=.參考答案:2【考點】數(shù)列遞推式.【分析】數(shù)列{an}滿足a1=2,an=1﹣,可得an+3=an,利用周期性即可得出.【解答】解:數(shù)列{an}滿足a1=2,an=1﹣,可得a2=1﹣=,a3=1﹣2=﹣1,a4=1﹣(﹣1)=2a5=1﹣=,…,∴an+3=an,數(shù)列的周期為3.∴a2017=a672×3+1=a1=2.故答案為:2【點評】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.16.設(shè)全集為,用含有U、A、B的運算式將右圖中的陰影部分表示為________________.參考答案:17.在銳角△ABC中,若C=2B,則的取值范圍是
。參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.某商品近一個月內(nèi)預(yù)計日銷量y=f(t)(件)與時間t(天)的關(guān)系如圖1所示,單價y=g(t)(萬元/件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示,(,且t為整數(shù))
(1)試寫出f(t)與g(t)的解析式;(2)求此商品日銷售額的最大值?參考答案:解:(1)f(t)=35-t(0≤t≤30,t?Z),……2分,g(t)=6分(2)設(shè)日銷售額L(t)是天數(shù)t的函數(shù),則有L(t)=f(t)·g(t)=
9分當0≤t≤20時,L(t)=,當t=11或12時,L(t)最大值為138萬元。當20<t≤30時,L(t)=在(20,30]是減函數(shù),故L(t)<L(20)=120萬元,12分故0≤t≤30時,當t=11或12時,L(t)最大值為138萬元。
13分答:第11天與第12天的日銷售額最大,最大值為138萬元。
14分
略19.化簡⑴⑵
參考答案:⑴⑵略20.為了解某冷飲店的經(jīng)營狀況,隨機記錄了該店1~5月的月營業(yè)額y(單位:萬元)與月份的數(shù)據(jù),如下表:x12345y1113161520(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程;(2)若在這些樣本點中任取兩點,求恰有一點在回歸直線上的概率.附:回歸直線方程中,,.參考答案:解:(1),,,,所以,于是,所以回歸有線方程為:.(2)用,分別表示所取的兩個樣本點所在的月份,則該試驗的基本事件可以表示為有序?qū)崝?shù)對,于是該試驗的基本事件空間為:,共包含個基本事件,設(shè)“恰有一點在回歸直線上”為事件,則中,共包含個基本事件,所以.
21.(1)證明三倍角的余弦公式:cos3θ=4cos3θ﹣3cosθ;(2)利用等式sin36°=cos54°,求sin18°的值.參考答案:【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;運用誘導(dǎo)公式化簡求值.【分析】(1)將cos3θ化簡為cos(2θ+θ),利用兩角和差的公式和二倍角公式化簡即可證得.(2)利用二倍角公式化簡,和同角三角關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求sin18°的值.【解答】解:(1)cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ﹣sin2θsinθ=(2cos2θ﹣1)cosθ﹣2sin2θcosθ=2cos3θ﹣cosθ﹣2(1﹣cos2θ)cosθ=4cos3θ﹣3cosθ.(2)sin36°=cos54°,
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