單縫衍射的matlab分析報告

.PAGE.單縫衍射的MATLAB分析學院：精密儀器與光電子工程學院專業(yè)：生物醫(yī)學工程__1班__單縫衍射的MATLAB分析摘要:在光的衍射概述和發(fā)展歷史的基礎(chǔ)上,說明了單縫衍射的圖樣特點,介紹了夫瑯禾費衍射和菲涅耳衍射,幾種實現(xiàn)夫瑯禾費衍射的方法和原理及光強、條紋分布特點。并利用衍射公式的近似對基爾霍夫衍射公式進行了推導,從理論上得出了夫瑯禾費單縫衍射的光強公式,利用Matlab軟件進行了光強分布的圖樣仿真,并用實驗采集到的圖樣對理論和仿真的結(jié)論進行了驗證,計算結(jié)果與實驗結(jié)果得到了很好的吻合。關(guān)鍵字：單縫衍射夫瑯禾費單縫衍射光強分布條紋分布一、光的衍射概述1.光的衍射現(xiàn)象物理光學中,光的衍射現(xiàn)象是指光波在空間傳播遇到障礙時,其傳播方向會偏離直線傳播,彎入到障礙物的幾何陰影中,并呈現(xiàn)光強的不均勻分布的現(xiàn)象。通常將觀察屏上的不均勻的光強分布稱為衍射圖樣。光的衍射是光的波動性的主要標志之一。光波遇到障礙物以后會或多或少地偏離幾何光學傳播定律的現(xiàn)象。幾何光學表明,光在均勻媒質(zhì)中按直線定律傳播,光在兩種媒質(zhì)的分界面按反射定律和折射定律傳播。但是,光是一種電磁波,當一束光通過有孔的屏障以后,其強度可以波及到按直線傳播定律所劃定的幾何陰影區(qū)內(nèi),也使得幾何照明區(qū)內(nèi)出現(xiàn)某些暗斑或暗紋。1.1衍射現(xiàn)象的基本問題1.已知照明光場和衍射屏的特征,求屏幕上衍射光場的分布；2.已知衍射屏及屏幕上衍射光場的發(fā)布,去探索照明光場的某些特性；3.已知照明光場及屏幕上所需的衍射光場發(fā)布,設(shè)計、計算衍射屏的結(jié)構(gòu)和制造衍射光學元件。1.2衍射現(xiàn)象的分類根據(jù)光源、衍射物〔衍射屏和衍射場〔觀察屏三者之間的位置確定1．夫瑯和費衍射：<遠場衍射>光源和衍射場都在衍射物無限遠處的衍射。2．菲涅耳衍射：〔近場衍射光源和衍射場或二者之一到衍射物的距離比較小時的衍射。1.3衍射現(xiàn)象及單縫衍射圖樣讓一個足夠亮的點光源S發(fā)出的光透過一個圓孔∑,照射到屏幕K上,并且逐漸改變圓孔的大小,就會發(fā)現(xiàn)：當圓孔足夠大時,在屏幕上看到一個均勻光斑,光斑的大小就是圓孔的幾何投影,隨著圓孔逐漸減小,起初光斑也相應(yīng)的變小,而后光斑開始模糊,并且在圓斑外面產(chǎn)生若干圍繞圓斑的同心圓環(huán),當使用單色光源時,是一組明暗相見的同心環(huán)帶,當使用白色光源時,是一組色彩相間的彩色環(huán)帶；此后再使圓孔變小,光斑及圓環(huán)不跟著變小,反而會增大起來。單色紅光衍射圖樣白光衍射圖樣1.4衍射的應(yīng)用光的衍射決定光學儀器的分辨本領(lǐng)；氣體或液體中的大量懸浮粒子對光的散射,衍射也起重要的作用。衍射應(yīng)用大致可以概括為以下四個方面：1、光譜分析：如衍射光柵光譜儀。2、結(jié)構(gòu)分析:衍射圖樣對精細結(jié)構(gòu)有一種相當敏感的"放大"作用,故而利用圖樣分析結(jié)構(gòu)。如X射線結(jié)構(gòu)學。3、成像:在相干光成像系統(tǒng)中,引進兩次衍射成像概念,由此發(fā)展成為空間濾波技術(shù)和光學信息處理。如光瞳衍射導出成像儀器的分辨本領(lǐng)。4、波陣面再現(xiàn):一種全新的兩步無透鏡成像法,也稱為波陣面再現(xiàn)術(shù),這是全息術(shù)原理中的重要一步。2.衍射現(xiàn)象的發(fā)展過程大約1818年前,一直沒有人注意到有可能根據(jù)波動理論說明衍射效應(yīng)。1818年,菲涅耳的著作問世。他在論文中證明,應(yīng)用慧更斯作圖法,結(jié)合干涉原理,能夠解釋衍射現(xiàn)象。菲涅耳的分析后來由基而霍夫在1882年給出了完善的數(shù)學描述。衍射問題是光學中遇到的最為困難的問題之一。在衍射理論中,那種在某種意義上可以認為是嚴格的解,是很少有的。直至1896年,才由索末菲給出了第一個解。他在一篇重要論文中討論了一個完全導電的半無限平面屏對平面波的衍射。此后,對少數(shù)其它衍射問題〔二維也求得了嚴格解。由于在數(shù)學上的困難,在大多數(shù)有實際意義情況下,必須采用近似方法。這些方法中惠更斯－菲涅耳理論是最富成效的,它適用于處理光學儀器中所遇到的大多數(shù)光學衍射問題。二、單縫衍射原理1.惠更斯—菲涅耳原理最早成功地用波動理論解釋衍射現(xiàn)象的是菲涅耳,他將惠更斯原理用光的干涉理論加以補充,并予以發(fā)展?；莞乖硎敲枋霾▌觽鞑ミ^程的一個重要原理,其主要內(nèi)容是：如圖2-1所示的波源S,在某一時刻所產(chǎn)生波的波陣面為∑,則∑面上的每一點都可以看作是一個次波源,它們發(fā)出球面次波,其后某一時刻的波陣面∑＇即是該時刻這些球面次波的包絡(luò)面,波陣面的法線面的法線方向就是該波的傳播方向?；莞乖砟軌蚝芎玫亟忉尮獾闹本€傳播,光的反射和折射方向,但不能說明衍射過程及其強度分布。菲涅耳在研究了光的干涉現(xiàn)象后,考慮到次波來自于同一光源,應(yīng)該相干,因而波陣面∑＇上每一點的光振動應(yīng)該是在光源和該點之間任一波面上的各點發(fā)出的次波場疊加的結(jié)果。這就是惠更斯—菲涅耳原理。利用惠更斯—菲涅耳原理可以解釋衍射現(xiàn)象：在任意給定的時刻,任一波面上的點都起著次波波源的作用,它們各自發(fā)出球面次波,障礙物以外任意點上的光強分布,即是沒有被阻擋的各個次波源發(fā)出的次波在該點相干疊加的結(jié)果。根據(jù)惠更斯—菲涅耳原理,圖2-2所示的一個單色光源S對于空間任意點P的作用,可以看作是S和P之間任一波面∑上各點發(fā)出的次波在P點相干疊加的結(jié)果。假設(shè)波面Σ上任意點Q的光場復振幅為,在Q點取一個面元dδ,則dδ面元上的次波源對P點光場的貢獻為：式中,C是比例系數(shù)；,稱為傾斜因子,它是與元波面法線和的夾角〔稱為衍射角有關(guān)的量,按照菲涅耳的假設(shè)：當時,K有最大值；隨著的增大,K迅速減??；當時K＝0。因此,途中波面∑上只有范圍內(nèi)的部分對P點光振動有貢獻。所以P點的光場復振幅為：這就是惠更斯－菲涅耳原理的數(shù)學表達式,稱為惠更斯－菲涅耳公式。當S是點光源時,Q點的光場復振幅為：式中,R是光源到Q點的距離。在這種情況下,可以從積分號中提出來,但是由于的具體形式未知,不可能由<2-1>式確切地確定值。因此,從理論上來講,這個原理是不夠完善的。2.實現(xiàn)夫瑯禾費衍射的幾種方法無論是在實驗室中或者別的什么地方,都不可能將光源和衍射場放在無限遠,實際接收夫瑯禾費衍射的裝置有以下四種：1.焦面接收裝置〔以單縫衍射為例,下同把點光源S放在凸透鏡的前焦平面上,在凸透鏡的后焦平面上接收衍射場,見圖2-5。SSDL1L2圖2-5焦面接收裝置DDZ圖2-6遠場接收裝置2、遠場接收裝置當滿足遠場條件時,狹縫前后也可以不用透鏡,而直接獲得夫瑯禾費衍射圖樣。遠場條件是：①光源離狹縫很遠,即,其中,R是光源到狹縫的距離,為狹縫寬度的一半；②接收場距狹縫足夠遠,即,其中,z為衍射場距狹縫的距離。觀察點P在的條件下,只要求其滿足傍軸條件即可,而這一般都是滿足的。圖2-6為遠場接收光路,假設(shè)一束平行光垂直入射到狹縫上。3、象面接收裝置〔一衍射屏處于透鏡的后方,如圖2-7所示。S在光軸上,代表點光源的象面,為S的象點。理論上已經(jīng)證明了面上呈現(xiàn)的圖樣為夫瑯禾費衍射圖樣,即屏上任一點的復振幅與角度的函數(shù)關(guān)系符合夫瑯禾費衍射的積分形式。DDZS圖2-7象面接收裝置〔一SSDL圖2-8象面接收裝置〔二4、象面接收裝置〔二衍射屏處于透鏡的前方,如圖2-8所示。點是場點的共軛點,S也在光軸上。如果光路逆轉(zhuǎn)自右向左,變?yōu)辄c光源,衍射屏便處于透鏡的后方了,面上的衍射圖樣就同象面接收裝置〔一面上的情況,相應(yīng)地取代z,所以實際呈現(xiàn)在圖2-8的面上的衍射圖樣可由物面上設(shè)想的共軛衍射圖樣導出,二者為物象關(guān)系。3.夫瑯禾費衍射光強強度的計算現(xiàn)在我們用惠更新-菲涅耳原理來解釋上述現(xiàn)象。如圖2-13所示。為了清楚起見,圖中狹縫的寬度已經(jīng)放大。平行光束垂直于縫的平面入射時,波面和縫平面重合〔垂直于圖面。將縫的面積分為一組平行于縫長的窄帶,從每一條這樣的窄帶發(fā)出次波。其振幅正比于窄帶的寬度,設(shè)光波的初位相為零,b為縫的寬度,,而寬度的窄條上次波的振幅為,則狹縫處各窄帶所發(fā)次波的振動可用下式表示：這些次波都可認為是球面波,各自向前傳播?，F(xiàn)在,首先對其中沿圖面與原入射方向成θ角〔稱為衍射角的方向傳播的所有各次波進行研究。在入射光束的平面波面BB’上各次波的位相都相等,通過透鏡后在焦平面FF上的同一點P處疊加。要計算P點的合振幅,必須考慮到各次波的位相關(guān)系,這取決于由各窄帶到P點的光程如何?，F(xiàn)在作平面BD垂直于衍射方向,根據(jù)BD面上各點的位相分布情況即可決定在P點相遇的各次波的位相關(guān)系。我們知道,從平面BD上各點沿衍射方向通過透鏡而達到P點的光程都相等。這就只要算出從平面到平面BD的各平行直線段之間的光程差就可以了。為沿著衍射角θ進行的任一條路程,令=x,則,這就是從M和從B兩點所發(fā)次波沿平行于MN方向到達平面BD時的光程差。得BD面上N點的光振動的表達式為或其復振幅為：為簡化計算起見,上式中假設(shè)各次波到達P點時有相同的振幅〔不考慮振幅與光程與反比的關(guān)系以及華僑因數(shù)。根據(jù)惠更斯—菲涅耳原理,將上式對整個縫寬〔從x=0到x=b積分。最后可得沿著衍射角θ方向傳播的所有次波在觀察點P疊加起來的合振幅：令,通常稱為u的函數(shù),并寫成,故P點的光強為4.夫瑯禾費衍射圖樣的光強分布當光屏放置在透鏡L2的焦平面上時,屏上出現(xiàn)衍射花樣,光強的分布可由上式?jīng)Q定。不同的衍射角θ對應(yīng)于光屏上不同的觀察點。首先來決定衍射花樣中光強最大值和最小值的位置。即求出滿足光強的一階導數(shù)為零的那些點：由此得分別解以上兩式,可得出所有的極值點。1、單縫衍射中央最大值的位置：由,解得滿足的一些衍射方向,即<中間最大值的位置>,也就是在焦點P0處,,光強為最大。這里,疊加的各個次波位相差為零,所以振幅疊加互相加強。2、單縫衍射最小值的位置：由,解得滿足的一些衍射方向,即〔最小值位置時,AP為零,屏上這些點是暗的。三、光強分布和條紋分布分析1.基爾霍夫衍射公式的近似對于一些極簡單的衍射問題,也因為被積函數(shù)形式復雜而得不到解析形式的積分結(jié)果。為此,必須根據(jù)實際條件進一步做近似處理。1.1傍軸近似在一般的光學系統(tǒng)中,對成像起主要作用的是那些與光學系統(tǒng)光軸夾角極小的傍軸光線。對于傍軸光線,如圖3-3開孔的線度和觀察屏上的考察范圍都遠小于開孔到觀察屏的距離。因此,下面的兩個近似條件都成立：,于是；。于是,〔3-11可以化簡為指數(shù)中的r未用代替,這是因為指數(shù)中r所影響的是次波場的相位,r的微小變化都會引起相位的很大變化。yxΣQrPO圖3-3孔徑的衍射1.2距離近似根據(jù)衍射現(xiàn)象,離衍射孔不同距離處,衍射圖樣是不同的。一種是菲涅耳衍射或近場衍射,指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為有限遠,或其中之一是有限遠的情形；另一種是夫瑯禾費衍射或遠場衍射,指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為無限遠的情形。菲涅耳近似如圖3-3所示,設(shè),則由幾何關(guān)系有因為在指數(shù)上的相位因子決定了函數(shù)的周期性,每當相位因子改變時,指數(shù)函數(shù)反號,這種變化是不可忽略的,相位因子中只有遠小于的項才可忽略。于是,當大到滿足時,上式第三項及以后的各項都可略去,即為這一近似稱為菲涅耳近似,在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫菲涅耳衍射。在菲涅耳近似下,P點的光場復振幅為2、夫瑯禾費近似當觀察屏離孔的距離很大,滿足時這一近似稱為夫瑯禾費近似,在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫夫瑯禾費衍射。在夫瑯禾費近似下,P點的光場復振幅為：2.夫瑯禾費單縫衍射光強分布如果只考慮單色平行光垂直入射到開孔平面上的的夫瑯禾費衍射,則通常采用圖3-4所示的夫瑯禾費衍射裝置。單色點光源放置在透鏡的前焦平面上,所產(chǎn)生的平行光垂直入射開孔Σ,由開孔的衍射,在透鏡的后焦平面上可以觀察到開孔Σ的夫瑯禾費衍射圖樣,后焦平面上的各點的光場復振幅由〔3-19式給出。ffPMC圖3-4夫瑯禾費衍射裝置若開孔面上有均勻的光場分布,令。又因為透鏡貼近孔徑,。所以后焦平面上的光場復振幅可為,對于夫瑯禾費單縫衍射,水平縫寬為a,垂直縫寬為b,則,沿y方向的衍射效應(yīng)不明顯,只在x方向有亮暗變化的衍射圖樣。由〔3-20式,衍射屏上P點的光場復振幅為式中是觀察屏中心點處光場復振幅。相應(yīng)P點的光強度為式中,,。在衍射理論中,通常稱為單縫衍射因子,為中央明紋中心處光強度,為單縫邊緣光線與中心光線的相位差。根據(jù)〔3-22式可的單縫衍射的光強分布特征： 在中央P點,,我們使為一很小的趨于零的角,對求極限,則,,為中央主極大光強。在時,振幅,光強為暗紋的光強。當時,同理有為一級次極大光強。當時,同理有為二級次極大光強。當時,同理有為三級次極大光強。3.夫瑯禾費單縫衍射光強分布3.1光強分布的極值點當光屏放置在透鏡L2的焦平面上時,屏上出現(xiàn)衍射花樣,光強的分布可由〔3-22式?jīng)Q定,也就是說,衍射光場在P點的強度大小主要由因子或決定。不同的衍射角θ對應(yīng)于光屏上不同的觀察點。當時,該點光強度取最大值：,稱為主極大值；當或時,該點強度取極小值：；相鄰兩個極小值之間存在一個極大值,由于因子,該極大值的強度總是小于主極大值,故稱之為次極大值。求出滿足光強的一階導數(shù)為零的那些點：解得于是得到夫瑯禾費單縫衍射的次極大值位置滿足關(guān)系為：。對于這一超越方程其根為對應(yīng)的值為3.2條紋的角寬度和線寬度1.暗紋的角寬度暗紋出現(xiàn)的位置在的地方,對應(yīng)的值為任何兩相鄰暗紋間的衍射角的差值為,即暗紋是以點為中心等間隔左右對稱分布的。2.亮紋的角寬度和線寬度以相鄰暗紋的焦距離作為亮紋的角寬度。在傍軸條件下,即很小時,暗紋的衍射角位置簡化為,。中央主極大明紋寬度由的暗紋的衍射角所確定,則主極大亮紋角寬度和線寬度分別為,〔1在兩相鄰暗紋間存在的次極明紋,其角寬度和線寬度分別為,〔23.3條紋分布的影響因素從以上結(jié)論可以看出,夫瑯禾費單縫衍射圖樣的強度隨衍射角度按著函數(shù)關(guān)系變化；相鄰暗條紋中心的角間距相等,因而所有次極大值亮紋的角寬度相等,但主極大值亮紋的角寬度為次極大值的兩倍；相鄰次極大值亮紋中心不等間距,隨著衍射級次的增大,相鄰次極大值亮紋中心的間距趨于恒定。由〔1和〔2式可以看出,條紋分布的影響因素有：狹縫的寬度對條紋分布的影響對于給定的波長,亮紋的寬度是與狹縫的寬度成反比的,在波前上對光束限制越大,也就是縫寬越小的時候,衍射場越彌散,衍射圖樣鋪開的越寬；反之,當縫寬很大,光束幾乎自由傳播時,,這表明衍射場基本上集中在沿直線傳播的原方向上,在透鏡焦面上衍射圖樣收縮為幾何光學像點。入射光的波長對條紋分布的影響在保持縫寬不變的條件下,波長越長,衍射效應(yīng)越明顯；波長越短,衍射效應(yīng)越可忽略；但是,實際中,由于波長的數(shù)量級比較小,所以對衍射條紋的影響不是非常明顯。接收屏的距離對條紋分布的影響當其他條件不變的情況下,若接收屏沿軸向向前移動時,接收屏上的條紋間距變小,衍射圖樣展開范圍減??；若沿軸向向后移動,接收屏上的條紋間距變大,衍射圖樣展開范圍也增大。單縫衍射的實驗?zāi)M根據(jù)理論的推導,利用衍射積分法對單縫夫瑯禾費衍射進行Matlab仿真。衍射積分法是由衍射積分算出接收屏上的光強分布,然后根據(jù)該分布調(diào)制色彩作圖,從而得到衍射圖案。1.夫瑯禾費單縫衍射程序和圖樣夫瑯禾費單縫衍射的仿真程序：波長500nm,縫寬1mm,屏距1m。clearlam=500e-9;a=1e-3;D=1;ym=3*lam*D/a;ny=51;ys=linspace<-ym,ym,ny>;np=51;yp=linspace<0,a,np>;fori=1:nysinphi=ys<i>/D;alpha=2*pi*yp*sinphi/lam;sumcos=sum<cos<alpha>>;sumsin=sum<sin<alpha>>;B<i,:>=<sumcos^2+sumsin^2>/np^2;endN=255;Br=<B/max<B>>*N;subplot<1,2,1>image<ym,ys,Br>;colormap<gray<N>>;subplot<1,2,2>plot<B,ys>;2.不同縫寬條紋光強分布的程序和圖樣當入射光波長為710.nm,狹縫到接收屏的距離為1m,狹縫的縫寬分別為0.5mm,0.1mm,0.05mm,進行仿真：clear;%

清除標量

l=710e-9;%

紅光波長

d=[0.5,0.1,0.05]*1e-3;%

設(shè)置縫寬矩陣n=-1:0.0001:1;%

自變量向量

fai=n*pi/180;%

角度向量

[FAI,D]=meshgrid<fai,d>;%

繪制三維網(wǎng)格,建立矩陣

u=2*pi*D.*sin<FAI>/l;%

中間變量

u<u==0>=eps;%

若零改為小量

i=<sin<u>./u>.^2;%

光強

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創(chuàng)建圖形窗口

plot<fai,i,'-','LineWidth',2>

%

畫曲線

title<'單縫夫瑯禾費衍射不同縫寬的光強曲線','FontSize',19,'Fontname','黑體'>%標題

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