2021-2022高中數學第三章空間向量與立體幾何1空間向量及其運算3空間向量的數量積運算1作業(yè)含解析新人教A版選修2-120220309131

PAGEPAGE4空間向量的數量積運算一、基礎過關1．若a，b均為非零向量，則a·b＝|a||b|是a與b共線的 ()A．充分不必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件2．在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F分別是BC，AD的中點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))等于()A．0 B.eq\f(1,2) C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|等于 A.eq\r(97) B．97 C.eq\r(61) D．614．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為 A．30° B．60° C．120° D．150°5．如果e1，e2是兩個夾角為60°的單位向量，則a＝e1＋e2與b＝e1－2e2的夾角為________．6．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為eq\f(π,3)，則|a＋b|＝________.7．在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的長．二、能力提升8．已知a、b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a與b所成的角是 ()A．30° B．45° C．60° D．90°9．正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都為2，E、F分別是AB、A1C1的中點，則EF的長是 (A．2 B.eq\r(3) C.eq\r(5) D.eq\r(7)10．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，則a與b11.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝1，求PB與CD所成的角．12.已知在空間四邊形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求證：OA⊥BC.三、探究與拓展13.如圖所示，如果直線AB與平面α交于點B，且與平面α內的經過點B的三條直線BC、BD、BE所成的角相等．求證：AB⊥平面α.

答案1．A2.D3.C4.C5．120°6.eq\r(7)7．解∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝eq\o(PC,\s\up6(→))2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos120°＝61－12＝49，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝7，即PC＝7.8．C9．C10．60°11．解由題意知|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∵PA⊥平面ABCD，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∵AB⊥AD，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∵AB⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1，又∵|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))||\o(DC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝60°，∴PB與CD所成的角為60°.12．證明∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos∠AOB＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴OA⊥BC.13．證明如圖所示，在直線BC、BD、BE上取|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|.∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(BE,\s\up6(→))所成的角相等，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))－\o(BD,\s\up6(→))＝0，,\o(AB,\s\up6(→))·\o(B