首都師范2014年高等代數(shù)真題解析

首都師范大學(xué)2014年高等代數(shù)解（15分求一個(gè)3次多項(xiàng)式f(x)，使得f(x)x21的余式是3x4x2x1的余式3x【解答f(x)(axb)(x2x1)3x5(axb)(x21)ax2(b3)x(axb)(x21)a(x211)(b3)x(axab)(x21)(b3)x5f(x)x(x2x1)3x5x3x24x（15分求行列1100010001000001【解答

1D11a1；D21a1a1a2Dn(1an)Dn1anDnDn1an(Dn1Dn2)Dn1Dn2an1(Dn2Dn3累

D3D2a3(D2D1 DD(1)n2(DD)a(1)n2aaa(1)n2 n1

1

innDnDn1(1)n2ai iDn1Dn21)n3ai iD3D2(1)32 i

nDDaaaaaaa(1)n2n 12 123 n2

n j2 Dn1a1a1a2a1a2a3a1a2a3a4 ai1 ai j1 （15分求下列100個(gè)變元的方程

x1x2x3x 2x3x4xx3x4x5【解答將相鄰的方程組兩兩相加，得

x98x99x100x99x1001x1x4x71)k 3kx2x5x81)k x981k3kx3x6x91)kx3k3x99k即x3k11)kxk1x3k21)kx21)k1kx3x2x11x1mR

(1)k

n3k1,k n3k2,k(1)k1(1 n3k3,k（15分 bM2階實(shí)方陣組成的線性空間，B

2

義映射fMM

b4fAABBA(AMff下的矩陣【解答

00

0,0

1,0

0,0

11X,YMkRf(kXY)(kXY)BB(kXY)k(XBBX)(YBBY)k(X)f(YX,Ykff(A)ABBAvec(f(A))vec(ABBA)(BTI)vec(X)(ITB)vec(X)(BTIITB)vec(X0f在基0

0,0

1,0

0,0

1下的矩陣1

0

0 BTIITB b 0

b b33

0 b b b 2 2（15分

b4

b4 0x1 設(shè)f(x1x2x3(x1,x2x3Ax2為三元實(shí)二次型（A為三階實(shí)對稱矩陣）B為三維x3 幾里得空間V中的單位球面 aa

fB上的最大值為2a3

【解答xTBxaxTxxBa對應(yīng)的特征向量時(shí)，取得等號。事實(shí)上，aEB為半正定矩陣，故對任n維列向量x，有xT(aEB)xaxTxxTBxxTBxaxTx。xTBxaxTx當(dāng)且僅當(dāng)xT(aEB)x0，由于aEB為半正定矩陣，故當(dāng)且僅當(dāng)(aEB)x0，即xB的特征值a對應(yīng)的特征向量。正交，則Aw與V正交。（15分A為半正定對稱矩陣。證明trA)0，并且trA)0當(dāng)且A0時(shí)成【解答AA的特征值均非負(fù)，故trA0，并且trA0A的特征值都是0，即A0時(shí)成立。（15分設(shè)A為78實(shí)矩陣。記AT為A的轉(zhuǎn)置陣。證明ATA是半正定對稱陣，但不是正定的【解答ATA)TATAT)TATAATA8xxTATAxAx)TAx0，由xATArATA)rA)78ATA不可逆，故不是正定的（15分Anf(x)fA)(f(xA(x))1（A(x)A的特征多項(xiàng)式【解答充分性：若(f(xA(x))1，則存在u(xv(xR[x，使得u(xf(xv(x)A(x1，uA)fAvA)AA)uA)fA)1fA)為可逆陣。fA為可逆陣。記f(xA(x))d(xf(xd(xf1(x于是d(A)不可逆， ！故d(x)1，即(f(x),A(x))1（15分

1設(shè)3階正定對稱方陣A的特征值為6,3,3，而1是特征值6的特征向量，求1【解答A的特征值3對應(yīng)的特征向量即方程(1,1,1)x0的非零解，求之，可得兩個(gè)正交的解 11

6 ，將三個(gè)特征向量單位化，則P ，則P為正交矩陣1,1

2 60

2 PTAP

，因

A