線性代數(shù)考研講義

線性代數(shù)主講人：韓光輝2015考研數(shù)學《線性代數(shù)》基礎班1

第1講

行列式

一、行列式的概念1．

階行列式的定義其中：2

二、行列式的性質

1．行列式與它的轉置行列式相等．2．互換行列式的兩行（列），行列式變號．3推論：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零．3．行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)

，等于用數(shù)乘此行

列式．推論：（1）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到

行列式記號的外面．4推論：（2）行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零．4．如果行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩

個行列式之和，兩個行列式在該行（列）分別取第一個和第二個元素，

其余各行（列）都不變．注：每次只能拆開某一行（列）的元素．55．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)，然后加到另一行

（列）對應的元素上去，行列式的值不變．6．行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘

積之和．6（其中）（其中）

推論：行列式某一行（列）的各元素與另一行（列）對應的元素的

代數(shù)余子式乘積之和等于零．（其中）（其中）

7．拉普拉斯定理：行列式等于某幾行的所有子式與其對應的代數(shù)

余子式乘積的和．7三、克萊姆法則設含有個未知數(shù)的個線性方程的方程組

定理：如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即

8那么，方程組有唯一解：

其中：推論：（1）如果線性方程組無解或者有兩個不同的解，則系數(shù)行列

式必為零.（2）如果齊次線性方程組

有非零解，則系數(shù)行列式必為零.9四、重要公式1.2.10（三角行列式）3.范德蒙行列式11

第2講

矩陣及其運算

一、矩陣的概念1.矩陣：由個數(shù)排成

行列的

數(shù)表，稱之為矩陣，記作：2.幾類特殊矩陣：12（1）方陣：矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣.（2）零矩陣：矩陣

的所有元素都是0，記作：.（3）三角矩陣：主對角線下方的元素全為零的方陣為上三角矩

陣；主對角線上方的元素全為零的方陣為下三角矩陣．（4）對角矩陣：主對角線上元素為任意常數(shù)，而主對角線外的

元素都是零的矩陣，記作：13（5）數(shù)量矩陣：主對角線上元素均相等的對角矩陣，記作：（6）單位矩陣：主對角線上元素均為的數(shù)量矩陣，記作：

（7）相等矩陣：矩陣與的行數(shù)和列數(shù)相同，且對應元素相等，

記作：14二、矩陣的運算1.矩陣的加法：設矩陣

，

，則

.

2.矩陣的減法：設矩陣

，

，則

.3.數(shù)與矩陣相乘：設矩陣

，是一個常數(shù)，則

.4.矩陣與矩陣的乘法：設矩陣

，，則，其中：5.矩陣與矩陣乘法的運算律：（1）結合律：15（2）分配律：備注：，若，則稱為可交換矩陣，特殊地：.（2）設，則不一定為零矩陣；（3）設且，則不一定相等；但當,且，則.（3）方陣的冪：三、矩陣的轉置及其運算律16（1）一般情況下：1.定義：把矩陣

的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣，稱為矩陣

的轉置，記作

.2.矩陣轉置的運算律:

3.對稱矩陣：若，則稱為對稱矩陣.4.反對稱矩陣：若，則稱為反對稱矩陣．四、行列式的乘法定理171.定理：設

和是兩個階方陣，則乘積的行列式等于和

兩個行列式的乘積，即.備注：一般情況下，2.方陣行列式的性質：若和相似，則五、逆矩陣及其運算律181.定義：對于

階矩陣，如果存在階矩陣，使得

，則稱矩陣可逆，記作：.2.逆矩陣的運算律：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）19六、轉置伴隨矩陣1．定義：由行列式

的各個元素的代數(shù)余子式所構成的矩陣

稱為矩陣

的轉置伴隨矩陣．記作：2．伴隨矩陣的運算律：（1）（2）（3）（4）（5）（6）20七、分塊矩陣的運算法則1.2.3.備注：各元素矩陣的加減法和乘法需滿足一般矩陣的運算條件.21其中，4.其中，5.6.227.八、矩陣的初等變換與初等矩陣1．初等變換：下面三種變換稱為矩陣的初等變換（1）交換矩陣的兩行（列），記作：（2）以數(shù)乘某一行（列）的所有元素，記作：（3）某一行（列）的所有元素的加到另一行（列）的對應元素上，記作：232．矩陣

與等價：把矩陣經過初等變換變成矩陣，

記作：

.3．初等矩陣：單位矩陣經過一次初等變換所得到的矩陣．24說明：（1）初等矩陣的逆陣：（3）對矩陣進行一次初等行（列）變換，相當于左（右）乘一個對應的初等矩陣.25例如：說明：對進行一次初等行變換相當于左乘一個初等矩陣.26說明：對進行一次初等列變換相當于右乘一個初等矩陣.274．利用初等變換求逆矩陣定理2.方陣

可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣，使得.定理3.若方陣可逆，則可經過有限次初等行變換化為單位矩陣定理1.方陣可逆的充分必要條件是：，即：.定理3的另一種形式：28求逆陣的初等變換法：例：已知矩陣：，求其逆陣.解：2930因此，得到：31第3講維向量一、維向量的概念與運算1.維向量：個數(shù)構成的有序數(shù)組，記作：2.向量的運算：設與（1）向量的加法：（2）向量的數(shù)乘：（3）向量的內積：323.向量的長度（模）：的充分必要條件是二、線性組合與線性表示1.線性組合：設向量組，對于任意實數(shù)，則把稱為向量組的線性組合.2.線性表示：設向量組及向量，如果存在一組實數(shù)，使得，則稱向量是的線性組合．333.向量組等價：設向量組與如果中的每一個向量都可以由中的向量線性表示，同時，中的每一個向量都可以由中的向量線性表示，則稱兩向量組是等價的，記作：三、線性相關與線性無關1.線性相關：對于維向量，如果存在一組不全為零的實數(shù)，使得，則稱線性相關．注意：任意一個含有零向量的向量組都是線性相關的.342.線性無關：對于維向量，只有在時，才能使得，則稱無關．線性3.有關線性相關性的幾個重要定理：定理1.向量組線性相關的充分必要條件是其中某一個向向量可以由其余個向量線性表示．定理2.部分相關，則整體相關；整體無關，則部分無關.定理3.設向量組線性無關，而線性相關，則可以由線性表示，并且表示唯一．35定理4.如果向量組可以由向量組線性表示，且向量組線性無關，則.推論：（1）如果向量組可以由向量組線性表示，且，則向量組線性相關.

（2）兩個等價的線性無關的向量組所含向量個數(shù)相等.個維向量的向量組一定線性相關．（3）含有定理5.個維向量構成的向量組線性相關的充分必要條件是36定理6.向量組線性相關的充分必要條件是．

四、向量組的秩1.極大線性無關組：如果向量組中的部分向量組滿足以下條件：

（1）線性無關．

（2）向量組中任意個向量都線性相關．

則稱是極大線性無關組.注意：向量組的極大線性無關組不唯一.372.向量組的秩：向量組的極大線性無關組中所含向量的個數(shù)，稱為．向量組的秩，記作：3.向量組的秩的性質：（1）若向量組可以由向量組線性表示，則．

（2）若向量組與等價，則，反之不成立；但若可以由向量組線性表示，且，則向量與等價．向量組組（3）向量組可以由線性表示的充分必要條件

是：．38（4）向量組與等價的充分必要條件是：

五、矩陣的秩階子式：

1.在矩陣中任取行列，由交叉處的元素按原來次序構成的階行列式．2.矩陣的秩：矩陣中不等于零的子式的最高階數(shù)，記作：．

說明：（1）（2）若，則所有高于階的子式都為．

的充分必要條件是：．393.定理：初等變換不改變矩陣的秩．4.定理：矩陣的秩等于它行向量組的秩（行秩），也等于它列向量組的秩（列秩）．5.矩陣秩的性質：（1）．

（2）．（3）若，則

．（4）．（5）若，則．（6）設是階矩陣，則：

．40六、施密特正交化1.正交：若，則稱向量與正交．

2.施密特標準正交化（正交規(guī)范化）：設線性無關，令則向量組是與等價的正交向量組.41再令：，

，則向量組是與等價的正交單位向量組.七、向量空間：（數(shù)學一）1.定義：設為維向量的集合，如果集合非空，且集合對于向量的加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么稱集合為向量空間．2.基：設為向量空間，如果向量，且滿足：（1）線性無關；（2）中任一向量都可由線性表示.則稱向量組為向量空間的一個基.423.維數(shù)：基中所含向量的個數(shù)稱為向量的維數(shù)，記作：.4.坐標：為向量空間的一個基，則設中任一向量可唯一的表示為：，稱為向量關于基的坐標.5.過渡矩陣：為向量空間的兩個基，設與且有：，則矩陣被稱為從基到基的過渡矩陣.備注：過度矩陣一定可逆．436.基變換：為向量關于基的坐標，設為向量關于基的坐標，則稱或為基變換.44第4講線性方程組一、線性方程組的概念：含有個未知數(shù)個方程的線性方程組為

定義：或其中，或：其中，45二、線性方程組解的性質：1.基礎解系：設是方程組解（向量），且滿足（1）線性無關；（2）的任何一個解均可以由線性表示；則稱是方程組的基礎解系.2.解的性質：性質1.若，

是方程組的兩個解，則其線性組合（為任意常數(shù)）仍是的解.性質2.若，是方程組的兩個解，則是方程組的解.46性質3.若是方程組的解，而是方程組的解，則是方程組的解.性質4.若是方程組的基礎解系，是方程組的特解，則是方程組通解；是方程組的通解.三、齊次線性方程組解的判斷定理：定理1.元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是.定理2.元齊次線性方程組只有非零解的充分必要條件是.47定理3.設，則元齊次線性方程組的解集的秩（也稱為解空間的維數(shù)）.四、非齊次線性方程組解的判斷定理：定理1.元非齊次線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即

.在有解的前提下又分為：（1）有唯一解的充分必要條件是；（2）有無窮多解的充分必要條件是；48定理2.元非齊次線性方程組無解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，即.49第5講

矩陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量：定義1.設為和階矩陣，如果存在數(shù)維非零列向量，使得，則把數(shù)稱為矩陣的特征值，非零列向量稱為矩陣對應的特征向量．定義2.行列式稱為矩陣的特征多項式，方程，稱為矩陣的特征方程.二、特征值與特征向量的性質：50性質1.設階矩陣的特征值為，則，.性質2.設為矩陣對應的特征向量，則也是矩陣對應的特征向量.性質3.是矩陣的特征值（為正整數(shù)）.性質4.當矩陣可逆時，是的特征值.性質5.是矩陣的特征值.備注：矩陣與有相同的特征值，但特征向量不一定相同.51性質6.的屬于不同特征值的特征向量之間是線性無關的.矩陣三、相似矩陣與矩陣的相似對角化：1.定義：設與是階矩陣，若存在可逆矩陣，使得，則稱是的相似矩陣，或稱與相似；同時，可逆矩陣被稱為把變成的相似變換矩陣.2.相似于對角陣的判斷定理：定理：階矩陣與對角矩陣相似（矩陣可對角化）的充分必要條件是有個線性無關的的特征向量．推論：如果階矩陣的個特征值互不相等，則與對角矩陣相似．523.相似矩陣的性質：性質1.相似矩陣有相同的特征多項式，從而也有相同的特征值.說明：若，且向量為矩陣對應的特征向量，則是矩陣關于同一特征值的特征向量.性質2.與若矩陣相似，則與也相似.性質3.設多項式，且矩陣與相似，則矩陣與矩陣也相似.四、正交矩陣和實對稱矩陣的相似對角化：531.正交矩陣：定義：如果實階矩陣滿足：，那么稱為正交矩陣.性質：（1）正交矩陣保持內積不變；（2）若矩陣稱為正交矩陣，則，且（逆陣也是正交矩陣）；（3）兩個同階正交矩陣的乘積也是正交矩陣；（4）矩陣為正交矩陣的充分必要條件是也為正交矩陣；（5）矩陣為正交矩陣的充分必要條件是它的行（列）向量組是標準正交向量組．542.實對