數(shù)學(xué)：321-322《直線的方向向量、平面的法向量以及空間線面關(guān)系的判定》課件(新人教A版選修2-1)

3.2.1直線的方向向量研究

從今天開始,我們將進(jìn)一步來(lái)體會(huì)向量這一工具在立體幾何中的應(yīng)用.為了用向量來(lái)研究空間的線面位置關(guān)系，首先我們要用向量來(lái)表示直線和平面的“方向”。那么如何用向量來(lái)刻畫直線和平面的“方向”呢？一、直線的方向向量AB直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量。102點(diǎn)p的位置向量由于垂直于同一平面的直線是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來(lái)刻畫平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量

,那么過(guò)點(diǎn)A,以向量

為法向量的平面是完全確定的.幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有由兩個(gè)三元一次方程組成的方程組的解是不惟一的，為方便起見，取Z=1較合理。其實(shí)平面的法向量不是惟一的。平面的法向量不惟一，合理取值即可。例3.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平面的法向量為，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求滿足的關(guān)系式。解：由題意可得

因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系.那么如何用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小呢？三、平行關(guān)系：例4如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCDEFxyzMN簡(jiǎn)證：因?yàn)榫匦蜛BCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)AB,AD,AF長(zhǎng)分別為3a，3b，3c，則可得各點(diǎn)坐標(biāo)，從而有又平面CDE的一個(gè)法向量是因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)所以MN//平面CDE四、垂直關(guān)系：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn)，求證：D1F例5.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以105例1

例6：如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？

A1B1C1D1ABCD圖1解:如圖1,不妨設(shè)化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，進(jìn)行向量運(yùn)算所以回到圖形問題這個(gè)晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的倍。鞏固性訓(xùn)練11.設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行鞏固性訓(xùn)練21.