計算方法 第1章 誤差

計算方法董麗麗大連海事大學信息工程學院高等學校工科電子類教材28學時：講課22學時、實驗2學時、考試2學時、放假2學時考試：70%實驗：20%平時課堂作業(yè)：10%第一章誤差（2）第二章一元非線性方程的解法（4）第三章線性代數(shù)計算方法（6）第四章插值法（4）第五章數(shù)值積分（2）第六章常微分方程數(shù)值解法（4）目錄第1章誤差§1計算方法的概念、意義及特點§2誤差§3算術運算結果的誤差§4算法的數(shù)值穩(wěn)定性什么是計算方法？用計算機求數(shù)學問題的數(shù)值解的理論和方法工具對象目標計算機的能力：加減乘除算術運算記憶、判斷、交換、存儲科學研究工程技術

§1計算方法的概念、意義及特點理論分析、科學實驗和科學計算(計算的方法)是現(xiàn)代科學的三個組成部分天氣預報航天航空地殼運動地質勘探汽車制造橋梁設計計算機解決實際問題的步驟建立數(shù)學模型選擇數(shù)值方法編寫程序上機計算數(shù)學模型是通過科學實驗或者觀察分析一系列數(shù)據(jù)后，用數(shù)學作為工具近似地描述客觀事物的一種數(shù)學表達式。在數(shù)學模型中，往往包含了若干參量如物體比重、阻力系數(shù)、熱交換系數(shù)等，這些物理參數(shù)通常由實驗儀器測得。選擇數(shù)值方法-1在建立了數(shù)學模型之后，并不能立刻用計算機直接求解，還必須尋找用計算機計算這些數(shù)學模型的數(shù)值方法，即將數(shù)學模型中的連續(xù)變量離散化，轉化成一系列相應的算法步驟，編制出正確的計算程序，再上機計算得出滿意的數(shù)值結果。選擇數(shù)值方法-2算法：從給定的已知量出發(fā)，經(jīng)過有限次四則運算及規(guī)定的運算順序，最后求出未知量的數(shù)值解，這樣構成的完整計算步驟稱為算法。評價算法的標準：計算速度和計算精度，此外，還有計算存貯量等。1:構造計算機能用的算法(1)數(shù)值代數(shù)求解:求解線性方程組的解法（分直接方法和間接方法），求矩陣的特征值與特征向量。(2)數(shù)值逼近：插值和數(shù)值逼近，數(shù)值微分和數(shù)值積分。(3)方程求解：非線性方程、常微分方程、偏微分方程數(shù)值解法。學習內容2:研究算法的計算速度、計算精度和存儲量等

----怎樣計算才能既快又準又省3:數(shù)值穩(wěn)定性

----怎樣計算才可靠?學習內容2、計算速度和存儲量直接計算需要多少次乘法和加法？有沒有更好更快的方法呢？這次需要多少次乘法和加法？直接計算:更好的方法:需乘法n次，加法n次若有k次乘法,則計算次乘法和n次加法秦九韶算法求解一個20階線性方程組按克萊姆(Cramer)法則:用克萊姆法則要進行此運算，如用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。用消元法需3000次乘法運算；3、數(shù)值穩(wěn)定性系數(shù)保留2位小數(shù),方程變?yōu)?x1=1x2=1x3=1計算方法的特點理論性實用性構造算法、分析算法需要堅實的數(shù)學理論和數(shù)學基礎：----逼近、離散化、迭代等----保證算法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性----對算法進行誤差分析構造算法要在計算機上實際可行計算方法的特點應用性實踐性科學、工程技術領域的廣泛需求需要有效地學習和實踐需要大量的數(shù)值實驗掌握編程語言具有編程能力學習方法1.注意掌握各種方法的基本原理2.注意各種方法的構造手法3.重視各種方法的誤差分析4.做一定量的習題，注意上機實踐5.注意與實際問題相聯(lián)系§2誤差1.來源與分類模型誤差觀測誤差

從實際問題建立的數(shù)學模型往往都忽略了許多次要的因素，因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差.

一般數(shù)學問題包含若干參數(shù),他們是通過觀測得到的,受觀測方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差。例設某金屬棒在溫度t時的長度為lt（0℃時金屬棒的長度為

l0），則:

lt≈Lt=l0(1+αt+βt2)

這里l0≡1，α、β為參數(shù)，可估計為

α=0.001253±10-6

β=0.000068±10-6

于是知，lt-Lt為模型誤差，10-6是觀測α、β而產(chǎn)生的誤差，因此為量測誤差。截斷誤差

舍入誤差

在求解過程中，往往以近似替代，化繁為簡，這樣產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差。在計算機上運算時受機器字長的限制，一般必須進行舍入，此時產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。截斷誤差:實際問題數(shù)學模型(數(shù)值)算法編程計算結果抽象：“去偽存真，去粗取精”模型誤差,觀測誤差截斷誤差舍入誤差

絕對誤差

假設某一量的準確值為x，近似值為x*，則x與x*之差的絕對誤差(簡稱誤差)，記為ε(x)，即

ε(x)=x-x*

｜ε(x)｜的大小標志著x*的精確度。一般地，在同一量的不同近似值中，｜ε(x)｜越小，x*的精確度越高。

1.2絕對誤差和絕對誤差限絕對誤差限指定一個適當小的正數(shù)ξ,使得

|ε(x)|=｜x-x*｜≤ξ（x=x*±ξ）ξ為近似值x*的絕對誤差限。教室到寢室的誤差限1m

絕對誤差一般是有量綱的例如測得某一物件的長度為5m，其誤差限為0.01m,通常將準確長度s記為

s=5±0.01

即：準確值在5m左右,但不超過0.01m的誤差限。

相對誤差

1.3相對誤差和相對誤差限把絕對誤差與準確值之比稱為x*的相對誤差。由于準確值x往往是不知道的,因此在實際問題中,常取

1.3相對誤差和相對誤差限相對誤差限存在一個適當小的正數(shù)η,使稱η為近似值x*的相對誤差限。相對誤差比絕對誤差更能反映準確數(shù)與近似數(shù)的差異例:1x=10,x*=11e=-1er=-0.12x=1000,x*=1001e=-1er=-0.001

1.4有效數(shù)字定義：將近似數(shù)x*寫成x*=±10m+1(α1×10-1+α2×10-2+α3×10-3+…+αn×10-n)在工程等實際應用中，對于一個近似值，還引入“有效數(shù)字”的概念，來描述它的準確程度。若其絕對誤差限滿足則稱近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字。這里m為整數(shù),α1、α2、…、αn是0到9中的一個數(shù)字且α1≠0。

1.4有效數(shù)字例如:設x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,問它們分別有幾位有效數(shù)字?故有三位有效數(shù)字故有五位有效數(shù)字故有四位有效數(shù)字

1.4有效數(shù)字

定理1

若已知某近似數(shù)有n位有效數(shù)字，整數(shù)位有m+1位，則可得到近似數(shù)的絕對誤差限為例如,設x*=5367.32有6位有效數(shù)字，由于m=3，n=6，于是有由于n越大，10m-n+1的值越小，所以，有效數(shù)字位越多，絕對誤差限就越小。

定理2

若近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字,則其相對誤差為其中α1≠0是x*的第一位有效數(shù)字。

定理3

近似數(shù)x*，若其相對誤差滿足則x*至少有n位有效數(shù)字。從上面幾個結論可知：有效數(shù)字位數(shù)可刻畫近似數(shù)的精確度；絕對誤差與小數(shù)點后的有效數(shù)字位數(shù)有關；相對誤差與有效數(shù)字的位數(shù)有關?！?算術運算結果的誤差

3.1加減法設x*1、x*2分別為準確值x1、x2的近似值，則由絕對誤差的定義

ε(x1+x2)=(x1+x2)-(x*1+x*2)=ε(x1)+ε(x2)

|ε(x1+x2)|=|ε(x1)+ε(x2)|≤|ε(x1)|+|ε(x2)|絕對誤差絕對誤差限此結論可推廣至有限個近似數(shù)，即:和或差的絕對誤差限不超過各近似數(shù)絕對誤差限之和.相對誤差相對誤差限結論:和的相對誤差限不超過各數(shù)相對誤差限中的最大者.

即:和的相對誤差不增長當|x1|和｜x2｜相差很大，不失一般性，我們假設

|x1|>>|x2|，則x1/(x1+x2)接近于1，而x2/(x1+x2)的絕對值相當小,于是

εr(x1+x2)≈εr(x1)當兩者異號時：

3.2乘、除法設某數(shù)x的近似值為x+ε(x)，絕對誤差ε(x)近似地等于x的微分,即ε(x)≈dx,則兩數(shù)積的絕對誤差為絕對誤差相對誤差

ε(x1x2)≈d(x1x2)=x2dx1+x1dx2乘

3.2乘、除法除絕對誤差相對誤差結論:積的相對誤差等于相對誤差的和,商的相對誤差等于相對誤差的差?！?算法的數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)值方法中參加運算的數(shù)一般是近似值，計算時會出現(xiàn)問題解嚴重失真。原因有二：問題本身的條件很壞，不管用什么方法都無法得到好結果；由于使用的算法不當，產(chǎn)生了數(shù)值不穩(wěn)定。算法的數(shù)值穩(wěn)定性:一個算法如果初始數(shù)據(jù)有誤差，而在計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱此算法是不穩(wěn)定的。例1一元二次方程

x2+2px-q=0

的兩個根分別為當p=-0.5×105,q=-1時,方程的兩個根取11位有效數(shù)字為

x1=99999.999990x2=0.000010000000001

而在字長為8的計算機上直接用上述公式計算的結果為

x1=100000.00x2=0結果x1很好，而x2很不理想。這說明直接用上述公式計算第二個根是不穩(wěn)定的。但是若用根與系數(shù)的關系，因為

x1x2=-q=1

則

x2=1/x1

因此,如果仍用前述方法算出x1，然后用公式計算x2便得到

x1=100000.00x2=0.000010000000該結果是非常好的。這就說明后一種算法有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。

例2計算積分利用分部積分法可得從而有遞推公式表1―10.0916E2=1-2(E1+ε)=(1-2E1-2ε)=1-2E1-2!ε誤差在計算中對以后各項的影響E3=1-3(1-2E1-2!ε)=1-3(1-2E1)+3!εE4=1-4［1-3(1-2E1)+3!ε］

=1-4［1-3(1-2E1)］-4!ε…這樣，計算E9時所產(chǎn)生的誤差約為

9!ε=9!×4.412×10-7≈0.1601誤差的傳播與積累蝴蝶效應如果采用新的算法,把上述遞推關系改寫成從后向前計算，則En中的誤差下降為原來的1/n。所以,

若取n足夠大，誤差逐步減小，其影響愈來愈小。為了得到出發(fā)值，可考慮關系表