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1
2
2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場(chǎng)的基本規(guī)律2.4媒質(zhì)的電磁特性2.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.6麥克斯韋方程組2.7電磁場(chǎng)的邊界條件本章討論內(nèi)容32.1
電荷守恒定律
電磁場(chǎng)物理模型中的基本物理量可分為源量和場(chǎng)量?jī)纱箢?。電荷電流電?chǎng)磁場(chǎng)(運(yùn)動(dòng))
源量為電荷
和電流
,分別用來(lái)描述產(chǎn)生電磁效應(yīng)的兩類場(chǎng)源。電荷是產(chǎn)生電場(chǎng)的源,電流是產(chǎn)生磁場(chǎng)的源。4本節(jié)內(nèi)容
2.1.1電荷與電荷密度
2.1.2電流與電流密度
2.1.3電荷守恒定律5?
電荷是物質(zhì)基本屬性之一。
?1897年英國(guó)科學(xué)家湯姆遜(J.J.Thomson)在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了電子。
?1907—1913年間,美國(guó)科學(xué)家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實(shí)驗(yàn),精確測(cè)定電子電荷的量值為
e=1.60217733×10-19(單位:C)確認(rèn)了電荷的量子化概念。換句話說,e是最小的電荷,而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。
?宏觀分析時(shí),電荷常是數(shù)以億計(jì)的電子電荷e的集合,故可不考慮其量子化的事實(shí),而認(rèn)為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度61.電荷體密度單位:C/m3
(庫(kù)/米3
)
根據(jù)電荷密度的定義,如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度,則區(qū)域V中的總電荷q為
電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi),用電荷體密度來(lái)描述其分布
理想化實(shí)際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式:
點(diǎn)電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷7
若電荷分布在薄層上,當(dāng)僅考慮薄層外、距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場(chǎng),而不分析和計(jì)算該薄層內(nèi)的電場(chǎng)時(shí),可將該薄層的厚度忽略,認(rèn)為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。
2.電荷面密度單位:C/m2
(庫(kù)/米2)
如果已知某空間曲面S上的電荷面密度,則該曲面上的總電荷q為8
若電荷分布在細(xì)線上,當(dāng)僅考慮細(xì)線外、距細(xì)線的距離要比細(xì)線的直徑大得多處的電場(chǎng),而不分析和計(jì)算線內(nèi)的電場(chǎng)時(shí),可將線的直徑忽略,認(rèn)為電荷是線分布。線分布的電荷可用電荷線密度表示。
3.電荷線密度
如果已知某空間曲線上的電荷線密度,則該曲線上的總電荷q為
單位:C/m(庫(kù)/米)9
對(duì)于總電荷為q
的電荷集中在很小區(qū)域V的情況,當(dāng)不分析和計(jì)算該電荷所在的小區(qū)域中的電場(chǎng),而僅需要分析和計(jì)算電場(chǎng)的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠(yuǎn),即場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于電荷所在的源區(qū)的線度時(shí),小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電荷為q
的點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷的電荷密度表示4.點(diǎn)電荷102.1.2
電流與電流密度說明:電流通常是時(shí)間的函數(shù),不隨時(shí)間變化的電流稱為恒定電流,用I
表示。
存在可以自由移動(dòng)的電荷;
存在電場(chǎng)。單位:A(安)電流方向:正電荷的流動(dòng)方向電流
——電荷的定向運(yùn)動(dòng)而形成,用i表示,其大小定義為:?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過某一橫截面S
的電荷量,即形成電流的條件:11
電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為體電流,用電流密度矢量來(lái)描述。單位:A/m2(安/米2)
。
一般情況下,在空間不同的點(diǎn),電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中,常用體電流、面電流和線電流來(lái)描述電流的分別狀態(tài)。
1.體電流
流過任意曲面S的電流為體電流密度矢量正電荷運(yùn)動(dòng)的方向122.面電流
電荷在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為面電流,用面電流密度矢量來(lái)描述其分布面電流密度矢量d0單位:A/m(安/米)
。通過薄導(dǎo)體層上任意有向曲線
的電流為正電荷運(yùn)動(dòng)的方向132.1.3
電荷守恒定律(電流連續(xù)性方程)電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造,也不能被消滅,只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分,或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體。電流連續(xù)性方程積分形式微分形式流出閉曲面S的電流等于體積V內(nèi)單位時(shí)間所減少的電荷量恒定電流的連續(xù)性方程要維持電流不隨時(shí)間改變,就要求電荷在空間的分布不隨時(shí)間改變,即和不是時(shí)間的函數(shù)。恒定電場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。解:(1)
(2)在球面坐標(biāo)系中(3)由電荷守恒定律得例在球面坐標(biāo)系中,傳導(dǎo)電流密度為
(
),求:(1)通過半徑r=1mm的球面的電流值;(2)在半徑r=1mm的球面上電荷密度的增加率;(3)在半徑r=1mm的球體內(nèi)總電荷的增加率。152.2真空中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律靜電場(chǎng):由靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。重要特征:對(duì)位于電場(chǎng)中的電荷有電場(chǎng)力作用。本節(jié)內(nèi)容
2.2.1庫(kù)侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度
2.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度161.庫(kù)侖(Coulomb)定律(1785年)
真空中靜止點(diǎn)電荷q1對(duì)q2的作用力:
,滿足牛頓第三定律。
大小與兩電荷的電荷量成正比,與兩電荷距離的平方成反比;2.2.1庫(kù)侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度
方向沿q1和q2連線方向,同性電荷相排斥,異性電荷相吸引;說明:17電場(chǎng)力服從疊加定理
真空中的N個(gè)點(diǎn)電荷(分別位于)對(duì)點(diǎn)電荷(位于)的作用力為qq1q2q3q4q5q6q7182.電場(chǎng)強(qiáng)度
空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷(又稱試驗(yàn)電荷)受到的作用力,即如果電荷是連續(xù)分布呢?
根據(jù)上述定義,真空中靜止點(diǎn)電荷q
激發(fā)的電場(chǎng)為——
描述電場(chǎng)分布的基本物理量
電場(chǎng)強(qiáng)度矢量——試驗(yàn)正電荷
19小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)面密度為的面分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度線密度為的線分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度203.幾種典型電荷分布的電場(chǎng)強(qiáng)度(無(wú)限長(zhǎng))(有限長(zhǎng))均勻帶電直線段均勻帶電直線段的電場(chǎng)強(qiáng)度:21在P點(diǎn)產(chǎn)生大小為解:取中點(diǎn)M點(diǎn)為原點(diǎn),并取圓柱坐標(biāo)如圖取電荷元rz當(dāng)導(dǎo)線為無(wú)限長(zhǎng)時(shí),,此時(shí)僅剩下方向的分量。可否考慮使用高斯定理求解無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線的電場(chǎng)強(qiáng)度問題?均勻帶電圓環(huán)解:
取坐標(biāo)系如圖所示,圓環(huán)位于xoy平面,圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,設(shè)電荷線密度為ρl
。所以
均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度:24——電偶極矩+q電偶極子zol-q電偶極子的場(chǎng)圖等位線電場(chǎng)線
電偶極子是由相距很近、帶等值異號(hào)的兩個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng),其遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度為
電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度:解:電偶極子是相距很小距離d的兩個(gè)等值異號(hào)的點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng),采用球坐標(biāo)系,使電偶極子的中心與坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合,并使偶極子軸與Z軸重合。場(chǎng)點(diǎn)P()的電場(chǎng)強(qiáng)度就是+q產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E+和-q產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E-的矢量和。
在球坐標(biāo)系中,場(chǎng)點(diǎn)P()的位置矢量為,兩個(gè)點(diǎn)電荷的位置矢量分別為,根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量疊加原理,得:
在電磁理論中,經(jīng)常研究遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域()的場(chǎng)。此時(shí)另外,電偶極矩為將上式中的應(yīng)用二項(xiàng)式公式展開,并忽略所有包含的二次方和高次方項(xiàng),則有同樣引入電偶極矩,則上式變?yōu)樵谇蜃鴺?biāo)系中則故:28
例2.2.1
計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。
解:如圖所示,環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為a、外半徑為b,電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元
,其位置矢量為,它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場(chǎng)點(diǎn)的位置矢量為,因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于292.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度高斯定理表明:靜電場(chǎng)是有源場(chǎng),電力線起始于正電荷,終止于負(fù)電荷。靜電場(chǎng)的散度(微分形式)1.靜電場(chǎng)散度與高斯定理靜電場(chǎng)的高斯定理(積分形式)環(huán)路定理表明:靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng),是保守場(chǎng),電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)。靜電場(chǎng)的旋度(微分形式)2.靜電場(chǎng)旋度與環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理(積分形式)30
在電場(chǎng)分布具有一定對(duì)稱性的情況下,可以利用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度。
同時(shí)場(chǎng)點(diǎn)要在選取的高斯面上;電場(chǎng)強(qiáng)度E在面上或者面上的局部部分大小相等。3.利用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度具有以下幾種對(duì)稱性的場(chǎng)可用高斯定理求解:
球?qū)ΨQ分布:包括均勻帶電的球面,球體和多層同心球殼等。帶電球殼多層同心球殼均勻帶電球體aOρ031
無(wú)限大平面電荷:如無(wú)限大的均勻帶電平面、平板等。
軸對(duì)稱分布:如無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的直線,圓柱面,圓柱殼等。32
例2.2.2
求真空中均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)分布。已知球體半徑為a
,電荷密度為0。
解:(1)球外某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)(2)求球體內(nèi)一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)ar0rrEa(r≥a)(r<a)由由332.3真空中恒定磁場(chǎng)的基本規(guī)律本節(jié)內(nèi)容
2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度
2.3.2恒定磁場(chǎng)的散度與旋度341.
安培力定律
安培對(duì)電流的磁效應(yīng)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究,在1821—1825年之間,設(shè)計(jì)并完成了電流相互作用的精巧實(shí)驗(yàn),得到了電流相互作用力公式,稱為安培力定律。
實(shí)驗(yàn)表明,真空中的載流回路C1對(duì)載流回路C2的作用力
載流回路C2對(duì)載流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足牛頓第三定律352.磁感應(yīng)強(qiáng)度
電流在其周圍空間中產(chǎn)生磁場(chǎng),描述磁場(chǎng)分布的基本物理量是磁感應(yīng)強(qiáng)度,單位為T(特斯拉)。
磁場(chǎng)的重要特征是對(duì)其中的電流有磁場(chǎng)力的作用,載流回路C1對(duì)載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)回路C2中的電流I2的作用力。
根據(jù)安培力定律,有其中電流I1在電流元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度36任意電流回路C產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度體電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度373.幾種典型電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度
載流直線段的磁感應(yīng)強(qiáng)度:
載流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度:(有限長(zhǎng))(無(wú)限長(zhǎng))載流直線段載流圓環(huán)例求有限長(zhǎng)直線電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:在導(dǎo)線上任取電流元Idz,其方向沿著電流流動(dòng)的方向,即z方向。由比奧—薩伐爾定律,電流元在導(dǎo)線外一點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為其中當(dāng)導(dǎo)線為無(wú)限長(zhǎng)時(shí),1→0,2→
結(jié)
果
分
析
39
,而場(chǎng)點(diǎn)P
的位置矢量為,故得
解:設(shè)圓環(huán)的半徑為a,流過的電流為I。為計(jì)算方便取線電流圓環(huán)位于xOy
平面上,則所求場(chǎng)點(diǎn)為P(0,0,z),如圖所示。采用圓柱坐標(biāo)系,圓環(huán)上的電流元為,其位置矢量為
例2.3.1
計(jì)算線電流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。載流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P(0,0,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為40可見,線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量,這是因?yàn)閳A環(huán)上各對(duì)稱點(diǎn)處的電流元在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向分量相互抵消。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P遠(yuǎn)離圓環(huán),即z
>>
a
時(shí),因,故由于,所以
在圓環(huán)的中心點(diǎn)上,z
=0,磁感應(yīng)強(qiáng)度最大,即412.3.2
恒定磁場(chǎng)的散度和旋度
1.
恒定磁場(chǎng)的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明:恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng),磁感應(yīng)線是無(wú)起點(diǎn)和終點(diǎn)的閉合曲線。恒定場(chǎng)的散度(微分形式)磁通連續(xù)性原理(積分形式)安培環(huán)路定理表明:恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng),是非保守場(chǎng)、電流是磁場(chǎng)的旋渦源。恒定磁場(chǎng)的旋度(微分形式)2.恒定磁場(chǎng)的旋度與安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理(積分形式)42
解:分析場(chǎng)的分布,取安培環(huán)路如圖,則根據(jù)對(duì)稱性,有,故
在磁場(chǎng)分布具有一定對(duì)稱性的情況下,可以利用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。
3.利用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度
例2.3.2
求電流面密度為的無(wú)限大電流薄板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。43
解選用圓柱坐標(biāo)系,則應(yīng)用安培環(huán)路定理,得例2.3.3
求載流無(wú)限長(zhǎng)同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。(同軸電纜的內(nèi)外層電流大小相等、方向相反)取安培環(huán)路,交鏈的電流為44應(yīng)用安培環(huán)路定理,得452.4媒質(zhì)的電磁特性
本節(jié)內(nèi)容
2.4.1
電介質(zhì)的極化電位移矢量
2.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場(chǎng)強(qiáng)度
2.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性
媒質(zhì)對(duì)電磁場(chǎng)的響應(yīng)可分為三種情況:極化、磁化和傳導(dǎo)。
描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為:介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。462.4.1電介質(zhì)的極化電位移矢量1.電介質(zhì)的極化現(xiàn)象
電介質(zhì)的分子分為無(wú)極分子和有極分子。無(wú)極分子有極分子無(wú)外加電場(chǎng)無(wú)極分子有極分子有外加電場(chǎng)E
在電場(chǎng)作用下,介質(zhì)中無(wú)極分子的束縛電荷發(fā)生位移,有極分子的固有電偶極矩的取向趨于電場(chǎng)方向,這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。
無(wú)極分子的極化稱為位移極化,有極分子的極化稱為取向極化。472.極化強(qiáng)度矢量
極化強(qiáng)度矢量
是描述介質(zhì)極化程度的物理量,定義為
——分子的平均電偶極矩
的物理意義:?jiǎn)挝惑w積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。
極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān),其關(guān)系一般比較復(fù)雜。在線性、各向同性的電介質(zhì)中,與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比,即
——電介質(zhì)的電極化率
E48
由于極化,正、負(fù)電荷發(fā)生位移,在電介質(zhì)內(nèi)部可能出現(xiàn)凈余的極化電荷分布,同時(shí)在電介質(zhì)的表面上有面分布的極化電荷。3.極化電荷(1)
極化電荷體密度
在電介質(zhì)內(nèi)任意作一閉合面S,只有電偶極矩穿過S
的分子對(duì)S
內(nèi)的極化電荷有貢獻(xiàn)。由于負(fù)電荷位于斜柱體內(nèi)的電偶極矩才穿過小面元dS
,因此dS對(duì)極化電荷的貢獻(xiàn)為S
所圍的體積內(nèi)的極化電荷為E
S49(2)
極化電荷面密度
緊貼電介質(zhì)表面取如圖所示的閉合曲面,則穿過面積元的極化電荷為故得到電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為504.電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理
介質(zhì)的極化過程包括兩個(gè)方面:外加電場(chǎng)的作用使介質(zhì)極化,產(chǎn)生極化電荷;極化電荷反過來(lái)激發(fā)電場(chǎng),兩者相互制約,并達(dá)到平衡狀態(tài)。無(wú)論是自由電荷,還是極化電荷,它們都激發(fā)電場(chǎng),服從同樣的庫(kù)侖定律和高斯定理。自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結(jié)果
介質(zhì)中的電場(chǎng)應(yīng)該是外加電場(chǎng)和極化電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加,應(yīng)用高斯定理得到:51任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和
小結(jié):靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng),電介質(zhì)中的基本方程為
引入電位移矢量(單位:C/m2)將極化電荷體密度表達(dá)式代入,有則有
其積分形式為
(微分形式),
(積分形式)
52在這種情況下其中稱為介質(zhì)的介電常數(shù),稱為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)(無(wú)量綱)。*
介質(zhì)有多種不同的分類方法,如:均勻和非均勻介質(zhì)各向同性和各向異性介質(zhì)時(shí)變和時(shí)不變介質(zhì)線性和非線性介質(zhì)確定性和隨機(jī)介質(zhì)5.電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系
極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系由介質(zhì)的性質(zhì)決定。對(duì)于線性各向同性介質(zhì),
和
有簡(jiǎn)單的線性關(guān)系532.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場(chǎng)強(qiáng)度1.磁介質(zhì)的磁化
介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)形成分子電流,形成分子磁矩?zé)o外加磁場(chǎng)外加磁場(chǎng)B
在外磁場(chǎng)作用下,分子磁矩定向排列,宏觀上顯示出磁性,這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化。
無(wú)外磁場(chǎng)作用時(shí),分子磁矩不規(guī)則排列,宏觀上不顯磁性。54B2.磁化強(qiáng)度矢量
磁化強(qiáng)度是描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量,定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和,即單位為A/m。553.磁化電流
磁介質(zhì)被磁化后,在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布,稱為磁化電流。
考察穿過任意邊界回路C所圍曲面S的電流。只有分子電流與周界曲線C相交鏈的分子才對(duì)電流有貢獻(xiàn)。與線元dl相交鏈的分子,中心位于如圖所示的斜圓柱內(nèi),所交鏈的電流BC穿過曲面S的磁化電流為(1)磁化電流體密度56由,即得到磁化電流體密度
在緊貼磁介質(zhì)表面取一長(zhǎng)度元dl,與此交鏈的磁化電流為(2)磁化電流面密度則即的切向分量574.磁場(chǎng)強(qiáng)度介質(zhì)中安培環(huán)路定理
分別是傳導(dǎo)電流密度和磁化電流密度。
將極化電荷體密度表達(dá)式代入,有,即
外加磁場(chǎng)使介質(zhì)發(fā)生磁化,磁化導(dǎo)致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度,兩種相互作用達(dá)到平衡,介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)是所有電流源激勵(lì)的結(jié)果:定義磁場(chǎng)強(qiáng)度為:58則得到介質(zhì)中的安培環(huán)路定理為:磁通連續(xù)性定理為小結(jié):恒定磁場(chǎng)是無(wú)源有旋場(chǎng),磁介質(zhì)中的基本方程為
(積分形式)
(微分形式)59其中,稱為介質(zhì)的磁化率(也稱為磁化系數(shù))。這種情況下其中稱為介質(zhì)的磁導(dǎo)率,稱為介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率(無(wú)量綱)。順磁質(zhì)抗磁質(zhì)鐵磁質(zhì)磁介質(zhì)的分類5.磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系
磁化強(qiáng)度
和磁場(chǎng)強(qiáng)度
之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定,對(duì)于線性各向同性介質(zhì),與之間存在簡(jiǎn)單的線性關(guān)系:60磁場(chǎng)強(qiáng)度磁化強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度
例2.4.1
有一磁導(dǎo)率為μ
,半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)磁圓柱,其軸線處有無(wú)限長(zhǎng)的線電流I,圓柱外是空氣(μ0),試求圓柱內(nèi)外的、和的分布。
解磁場(chǎng)為平行平面場(chǎng),且具有軸對(duì)稱性,應(yīng)用安培環(huán)路定理,得612.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性
對(duì)于線性和各向同性導(dǎo)電媒質(zhì),媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度矢量J和電場(chǎng)強(qiáng)度E成正比,表示為這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)稱為媒質(zhì)的電導(dǎo)率,單位是S/m(西/米)。晶格帶電粒子
存在可以自由移動(dòng)帶電粒子的介質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)。在外場(chǎng)作用下,導(dǎo)電媒質(zhì)中將形成定向移動(dòng)電流。
若導(dǎo)電媒質(zhì)中存在外加電場(chǎng),該電場(chǎng)將在導(dǎo)電媒質(zhì)中激勵(lì)起電流
設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為,在其中選取一體積元,方向與外加電場(chǎng)方向一致,如圖所示。
在理想導(dǎo)體()內(nèi),恒定電場(chǎng)為0
恒定電場(chǎng)可以存在于非理想導(dǎo)體內(nèi)
在導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi),恒定電場(chǎng)和的方向相同關(guān)于恒定電場(chǎng)歐姆定律的討論:由歐姆定律:632.5電磁感應(yīng)定律和位移電流
本節(jié)內(nèi)容
2.5.1電磁感應(yīng)定律
2.5.2位移電流
電磁感應(yīng)定律
——揭示時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。
位移電流
——揭示時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)。
重要結(jié)論:在時(shí)變情況下,電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互激勵(lì),形成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。642.5.1電磁感應(yīng)定律1881年法拉第發(fā)現(xiàn),當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí),回路中就會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動(dòng)勢(shì),且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量的變化有密切關(guān)系,由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應(yīng)定律。負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻止磁通量的變化。1.
法拉第電磁感應(yīng)定律的表述
當(dāng)通過導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí),回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小等于磁通量的時(shí)間變化率的負(fù)值,方向是要阻止回路中磁通量的改變,即65
設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S,其單位法向矢量為,則穿過回路的磁通為
ner
B
CS
dlrr
導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流,表明回路中存在感應(yīng)電場(chǎng),回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為因而有66
感應(yīng)電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)所激發(fā)的電場(chǎng)。感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)。
感應(yīng)電場(chǎng)不僅存在于導(dǎo)體回路中,也存在于導(dǎo)體回路之外的空間。對(duì)空間中的任意回路(不一定是導(dǎo)體回路)C,都有
對(duì)感應(yīng)電場(chǎng)的討論:
若空間同時(shí)存在由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),則總電場(chǎng)應(yīng)為與之和,即。由于,故有推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律67相應(yīng)的微分形式為(1)
回路不變,磁場(chǎng)隨時(shí)間變化2.引起回路中磁通變化的幾種情況磁通量的變化由磁場(chǎng)隨時(shí)間變化引起,因此有(2)
導(dǎo)體回路在恒定磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)(3)
回路在時(shí)變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)68
(1),矩形回路靜止;xbaoyx均勻磁場(chǎng)中的矩形環(huán)L
(3),且矩形回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)。
解:(1)均勻磁場(chǎng)
隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化,而回路靜止,因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的,故
例2.5.1
長(zhǎng)為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場(chǎng)
垂直穿過,如圖所示。在以下三種情況下,求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。
(2),矩形回路的寬邊b=常數(shù),但其長(zhǎng)邊因可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)而隨時(shí)間增大;69(3)矩形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由磁場(chǎng)變化以及可滑動(dòng)導(dǎo)體L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,故得(2)均勻磁場(chǎng)
為恒定磁場(chǎng),而回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體以勻速運(yùn)動(dòng),因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)全部是由導(dǎo)體L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,故得或70
(1)線圈靜止時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì);
解:
(1)線圈靜止時(shí),感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由時(shí)變磁場(chǎng)引起,故
(2)線圈以角速度ω
繞x
軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。
例2.5.2
在時(shí)變磁場(chǎng)中,放置有一個(gè)的矩形線圈。初始時(shí)刻,線圈平面的法向單位矢量與成α角,如圖所示。試求:xyzabB時(shí)變磁場(chǎng)中的矩形線圈71
假定時(shí),則在時(shí)刻t時(shí),與y
軸的夾角,故
方法一:利用式計(jì)算
(2)線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí),的指向?qū)㈦S時(shí)間變化。線圈內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可以用兩種方法計(jì)算。72
上式右端第二項(xiàng)與(1)相同,第一項(xiàng)xyzabB時(shí)變磁場(chǎng)中的矩形線圈12234
方法二:利用式計(jì)算。73
在時(shí)變情況下,安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化?有什么變化?即問題:隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng),那么隨時(shí)間變化的電場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)?2.5.2位移電流
靜態(tài)情況下的電場(chǎng)基本方程在非靜態(tài)時(shí)發(fā)生了變化,即
這不僅是方程形式的變化,而是一個(gè)本質(zhì)的變化,其中包含了重要的物理事實(shí),即時(shí)變磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng)。(恒定磁場(chǎng))(時(shí)變場(chǎng))741.全電流定律而由時(shí)變情況下,電荷分布隨時(shí)間變化,由電流連續(xù)性方程有
發(fā)生矛盾在時(shí)變的情況下不適用
解決辦法:對(duì)安培環(huán)路定理進(jìn)行修正由將修正為:矛盾解決時(shí)變電場(chǎng)會(huì)激發(fā)磁場(chǎng)75全電流定律:——
微分形式——
積分形式
全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場(chǎng),變化的電場(chǎng)也可以激發(fā)磁場(chǎng)。它與變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)形成自然界的一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。762.位移電流密度電位移矢量隨時(shí)間的變化率,能像電流一樣產(chǎn)生磁場(chǎng),故稱“位移電流”。注:在絕緣介質(zhì)中,無(wú)傳導(dǎo)電流,但有位移電流。在理想導(dǎo)體中,無(wú)位移電流,但有傳導(dǎo)電流。在一般介質(zhì)中,既有傳導(dǎo)電流,又有位移電流。位移電流只表示電場(chǎng)的變化率,與傳導(dǎo)電流不同,它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步,它揭示了時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)這一重要的物理概念。在時(shí)變電場(chǎng)中,電場(chǎng)變化愈快,產(chǎn)生的位移電流密度也愈大。77
例2.5.3
海水的電導(dǎo)率為4S/m,相對(duì)介電常數(shù)為81,求頻率為1MHz時(shí),位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。
解:設(shè)電場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化,表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導(dǎo)電流的振幅值為故78式中的k為常數(shù)。試求:位移電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度。
例
2.5.4
自由空間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為
解
自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0,故由式,得以橫波為例說明平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。已知O點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式:y表示各質(zhì)點(diǎn)在y方向上的位移,A是振幅,是角頻率或叫圓頻率,為O點(diǎn)在零時(shí)刻的相位。O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)傳到p點(diǎn)需用相位落后,所以p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程:補(bǔ)充:行波方程——右行波和左行波下面要用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述波線上每一質(zhì)點(diǎn)在每一時(shí)刻的位移,這樣的函數(shù)稱為行波的波函數(shù)。也即p點(diǎn)的相位落后于O點(diǎn)相位:這就是右行波的波方程。左行波的波函數(shù):也即p點(diǎn)的相位超前于O點(diǎn)相位:所以p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,也就是左行波的波方程:
p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)傳到O
點(diǎn)需用時(shí)間:82
例2.5.5
銅的電導(dǎo)率、相對(duì)介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為。試證明:在無(wú)線電頻率范圍內(nèi),銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為通常所說的無(wú)線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍,即使擴(kuò)展到極高頻段(f=30~300GHz),從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm
也是很小的,故可忽略銅中的位移電流。
解:銅中存在時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí),位移電流密度為位移電流密度的振幅值為832.6麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組
——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律,是電磁場(chǎng)的基本方程。
本節(jié)內(nèi)容
2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式
2.6.2麥克斯韋方程組的微分形式
2.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系842.6.1麥克斯韋方程組的積分形式852.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程,表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)麥克斯韋第二方程,表明變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)麥克斯韋第三方程表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng),磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程,表明電荷產(chǎn)生電場(chǎng)862.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系
代入麥克斯韋方程組中,有限定形式的麥克斯韋方程(均勻媒質(zhì))各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為87時(shí)變電場(chǎng)的激發(fā)源除了電荷以外,還有變化的磁場(chǎng);而時(shí)變磁場(chǎng)的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外,還有變化的電場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源,相互激發(fā)。時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立,而是相互關(guān)聯(lián),構(gòu)成一個(gè)整體——
電磁場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別是電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。在離開輻射源(如天線)的無(wú)源空間中,電荷密度和電流密度矢量為零,電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā),從而在空間形成電磁振蕩并傳播,這就是電磁波。88在無(wú)源空間中,兩個(gè)旋度方程分別為
可以看到兩個(gè)方程的右邊相差一個(gè)負(fù)號(hào),而正是這個(gè)負(fù)號(hào)使得電場(chǎng)和磁場(chǎng)構(gòu)成一個(gè)相互激勵(lì)又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場(chǎng)減小時(shí),電場(chǎng)的旋渦源為正,電場(chǎng)將增大;而當(dāng)電場(chǎng)增大時(shí),使磁場(chǎng)增大,磁場(chǎng)增大反過來(lái)又使電場(chǎng)減小。89麥克斯韋方程組時(shí)變場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)緩變場(chǎng)迅變場(chǎng)電磁場(chǎng)(EM)準(zhǔn)靜電場(chǎng)(EQS)準(zhǔn)靜磁場(chǎng)(MQS)靜磁場(chǎng)(MS)小結(jié):麥克斯韋方程適用范圍:一切宏觀電磁現(xiàn)象。靜電場(chǎng)(ES)恒定電場(chǎng)(SS)90
解:(1)導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為忽略邊緣效應(yīng)時(shí),間距為d
的兩平行板之間的電場(chǎng)為E=u/d
,則
例
2.6.1
正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個(gè)極板上,如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流相等;(2)求導(dǎo)線附近距離連接導(dǎo)線為r
處的磁場(chǎng)強(qiáng)度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接91與閉合線鉸鏈的只有導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流,故得(2)以r
為半徑作閉合曲線C,由于連接導(dǎo)線本身的軸對(duì)稱性,使得沿閉合線的磁場(chǎng)相等,故式中的S0為極板的面積,而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為92
例2.6.2
在無(wú)源的電介質(zhì)中,若已知電場(chǎng)強(qiáng)度矢量,式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定k與ω
之間所滿足的關(guān)系,并求出與相應(yīng)的其他場(chǎng)矢量。
解:是電磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量,應(yīng)滿足麥克斯韋方程組。因此,利用麥克斯韋方程組可以確定k與ω
之間所滿足的關(guān)系,以及與相應(yīng)的其他場(chǎng)矢量。對(duì)時(shí)間
t積分,得93由以上各個(gè)場(chǎng)矢量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程,將以上得到的H和D代入式942.7電磁場(chǎng)的邊界條件
什么是電磁場(chǎng)的邊界條件?
為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2
如何討論邊界條件?
實(shí)際電磁場(chǎng)問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的,該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場(chǎng)矢量滿足的關(guān)系,是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場(chǎng)的基本屬性。物理:由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變,場(chǎng)在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義,必須采用邊界條件。數(shù)學(xué):麥克斯韋方程組是微分方程組,其解是不確定的,邊界條件起定解的作用。
麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質(zhì)的分界面上仍然適用,由此可導(dǎo)出電磁場(chǎng)矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件。95
本節(jié)內(nèi)容
2.7.1邊界條件一般表達(dá)式
2.7.2兩種常見的情況962.7.1
邊界條件一般表達(dá)式媒質(zhì)1媒質(zhì)2
分界面上的電荷面密度
分界面上的電流面密度97(1)電磁場(chǎng)量的法向邊界條件令Δh→0,則由媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS即
在兩種媒質(zhì)的交界面上任取一點(diǎn)P,作一個(gè)包圍點(diǎn)P的扁平圓柱曲面S,如圖表示。
邊界條件的推證
或或同理,由98(2)電磁場(chǎng)量的切向邊界條件
在介質(zhì)分界面兩側(cè),選取如圖所示的小環(huán)路,令Δh
→0,則由媒質(zhì)1媒質(zhì)2故得或同理得或99兩種理想介質(zhì)分界面上的邊界條件2.7.2兩種常見的情況
在兩種理想介質(zhì)分界面上,通常沒有電荷和電流分布,即JS=0、ρS=0,故
的法向分量連續(xù)
的法向分量連續(xù)
的切向分量連續(xù)
的切向分量連續(xù)媒質(zhì)1媒質(zhì)2
、的法向分量連續(xù)媒質(zhì)1媒質(zhì)2
、的切向分量連續(xù)1002.理想導(dǎo)體表面上的邊界條件
理想導(dǎo)體表面上的邊界條件設(shè)媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體,則E2、D2、H2、B2均為零,故
理想導(dǎo)體:電導(dǎo)率為無(wú)限大的導(dǎo)電媒質(zhì)
特征:電磁場(chǎng)不可能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體表面上的電荷密度等于的法向分量理想導(dǎo)體表面上的法向分量為0理想導(dǎo)體表面上的切向分量為0理想導(dǎo)體表面上的電流密度等于的切向分量101
例2.7.1
z<0的區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為,z
>0區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為。若媒質(zhì)1中的電場(chǎng)強(qiáng)度為媒質(zhì)2中的電場(chǎng)強(qiáng)度為(1)試確定常數(shù)A的值;(2)求磁場(chǎng)強(qiáng)度和;(3)驗(yàn)證和滿足邊界條件。
解:(1)這是兩種電介質(zhì)的分界面,在分界面z=0處,有102利用兩種電介質(zhì)分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)的邊界條件得到將上式對(duì)時(shí)間t積分,得
(2)由,有103可見,在z=0處,磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的,因?yàn)樵诜纸缑嫔希▃=0)不存在面電流。(3)z=0時(shí)同樣,由,得104試問關(guān)于1區(qū)中的和能求得出嗎?
解根據(jù)邊界條件,只能求得邊界面z=0處的和。由,有則得1區(qū)2區(qū)
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