復變函數(shù)第一章

復變函數(shù)

第一章復數(shù)與復變函數(shù)第二章解析函數(shù)第三章復變函數(shù)的積分

第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法第五章解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點第六章留數(shù)理論及其應用第七章共形變換

目錄

第一章復數(shù)與復變函數(shù)第一節(jié)復數(shù)第二節(jié)復平面上的點集

第三節(jié)復變函數(shù)第四節(jié)復球面與無窮遠點第一節(jié)復數(shù)3、復數(shù)的模與輻角

模:

復數(shù)可以等同于平面中的向量(從原點到z=x+yi所引向量oz).向量的長度稱為復數(shù)的模,定義為：即性質:(三角不等式)推廣例3:設,試證證明:例4:求復數(shù)的實部,虛部和模.解:例5:設,試證證明:例6注:輻角:向量z與實軸正向之間的夾角稱為復數(shù)z的輻角，定義為：------主值主輻角:例7:求解:非零復數(shù)的三角形式與指數(shù)形式為：-----三角形式------指數(shù)形式------代數(shù)形式例8:把復數(shù)由于例9:將復數(shù)解:解:所以利用復數(shù)的指數(shù)形式作乘除法：則注:4、復數(shù)的乘冪與方根乘冪方根k=0,1,2,…,n-1

可以看到，k=0,1,2,…,n-1時，可得n個不同的值，即z有n個n次方根，其模相同，輻角相差一個常數(shù)，均勻分布于一個圓上。注1:注2:例10解方程解：5、復數(shù)在幾何上的應用(1)曲線的復數(shù)方程例11

試用復數(shù)表示圓的方程:其中，a,b,c,d是實常數(shù)。解：利用

1、平面點集的幾個基本概念2、區(qū)域與約當曲線第二節(jié)復平面上的點集一基本概念:2.聚點:孤立點:外點:內(nèi)點:邊界點:集E的全部邊界點所組成的集合稱為E的邊界，記為3.開集:所有點為內(nèi)點的集合；閉集:或者沒有聚點，或者所有聚點都屬于它；有界集:例4.聚點(極限點)的等價說法二.區(qū)域與Jordan曲線

如果平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域.(1)D是一個開集；(2)D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連結起來.1.區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域,記為

定義1.5定義1.6以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點邊界(1)圓環(huán)域:(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:例2、Jordan曲線連續(xù)曲線C:平面曲線的復數(shù)表示:Jordan曲線(簡單曲線):沒有重點的連續(xù)曲線C稱為Jordan曲線(簡單曲線).換句話說,簡單曲線自身不相交.例解判斷下列曲線是否為簡單曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉Jordan定理

任意一條簡單閉曲線C將復平面唯一地分成三個互不相交的點集.內(nèi)部外部邊界(1)彼此不交(2)E(C)是無界區(qū)域(3)I(C)是有界區(qū)域(4)若簡單折線T的一個端點屬于I(C),另一端點屬于E(C),則T必與C相交.3.曲線長度:定義1.8設連續(xù)弧AB的參數(shù)方程為并且考慮弧AB上對應的點列4光滑曲線:

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.注:按段光滑曲線是可求長的,但簡單曲線不一定可求長.

復平面上的一個區(qū)域D,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于D,就稱為單連通域.一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域5單連通區(qū)域

滿足下列條件的點集是什么,如果是區(qū)域,指出是單連通域還是多連通域?例(1)單連通域.是多連通域.不是區(qū)域.

第三節(jié)復變函數(shù)

1復變函數(shù)的概念

2極限與連續(xù)例1解解：這一映射可以看作是下列兩個映射的復合：是關于實軸的對稱映射，而映射例2：考慮映射把都作在同一個復平面上。顯然，映射把z映射成

,其輻角與z的輻角相同，模為滿足我們把中心在原點、半徑為1的圓稱為單位圓。于是，映射

稱為關于單位圓的對稱映射，對應的點稱為關于單位圓的互相對稱點。w=1/z把原點以外的任何點映射為另外一個點。把z及w表示在不同的擴充復平面，并規(guī)定

則我們得到一個擴充z平面到擴充w平面的一個雙射。定理1.2證明2.復變函數(shù)極限與其實部和虛部極限關系:例3證(一)根據(jù)定理1.2可知,證(二)例4證根據(jù)定理1.2可知,3復變函數(shù)的連續(xù)性定理1.3定義1.17例54復變函數(shù)連續(xù)的性質定理1.7定義1.18

1復球面2擴充復球面上的幾個概念第四節(jié)復球面與無窮遠點二.擴充復平面上的幾個概念1無窮遠點的鄰域:無窮遠點的去心鄰域:注2在擴充復平面上單連通區(qū)域:解例1注考慮一個無界區(qū)域是否為單連通,應看在通常的復平面上還是擴充復平面上3廣義極限與廣義連續(xù)廣義極限廣義連續(xù)例2證明由于典型例題

其幾何意義是三角形任意一邊的長不小于其它兩邊邊長之差的絕對值.解解解例6

滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解

是實數(shù)軸,不是區(qū)域.

是以為界的帶形單連通區(qū)域.解

是以為焦點,以3為半長軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.