三角形中位線定理知識點-例題-習(xí)題

第二十三講三角形中位線定理【要點梳理】要點一、三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.要點詮釋：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長一?……，1 1為原三角形周長的大，每個小三角形的面積為原三角形面積的二.2 4（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.要點二、順次連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀順次連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.【典型例題】類型一、三角形的中位線例1、如圖，已知P、R分別是長方形ABCD的邊BC、CD上的點，E、F分別是PA、PR的中點，點P在BC上從B向C移動，點R不動，那么下列結(jié)論成立的是（）A.線段EF的長逐漸增大 B.線段EF的長逐漸變小C.線段EF的長不變 D.無法確定【答案】C;【解析】連AR,由E、F分別為PA,PR的中點知EF為工PAR的中位線，則EF1AR,而AR長不變，故EF大小不變.【總結(jié)升華】當(dāng)條件中含有中點的時候，要將它與中位線聯(lián)系起來，進行聯(lián)想，必要時添加輔助線，構(gòu)造中位線圖形．舉一反三：【變式】在^ABC中，中線BE、CF交于點O,M、N分別是BO、CO中點，則四邊形MNEF是什么特殊四邊形？并說明理由．【答案】5；解：四邊形MNEF是平行四邊形.理由如下：?「BE、CF是中線，，E、F分別是AC、AB的中點，AEF是^ABC的中位線，?，?EF〃BC且EF=|bC,「M、N分別是BO、CO中點，AMN是^OBC的中位線，?，?MN〃BC且MN寺C,.??EF〃MN且EF=MN,???四邊形MNEF是平行四邊形.例2、如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點，BF平分NABC,交DE于點F,若BC=6,則DF的長是（ ）A.2 B.3 C.5 D.42【思路點撥】利用中位線定理，得到DE〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得NEDC=NABC,再利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角外角的關(guān)系，得到DF=DB,進而求出DF的長.【答案解析】解：在△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點.??DE〃ABAZEDC=ZABC「BF平分NABCAZEDC=2ZFBD在^BDF中，NEDC=NFBD+NBFD.??NDBF=NDFB11AFD=BD=-BC=-x6=3.22【總結(jié)升華】三角形的中位線平行于第三邊，當(dāng)出現(xiàn)角平分線，平行線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．例3、如圖所示，在△ABC中，M為BC的中點，AD為NBAC的平分線，BDXAD于D,AB=12,AC=18,求MD的長.

【思路點撥】本題中所求線段【思路點撥】本題中所求線段MD與已知線段AB、AC之間沒有什么聯(lián)系，但由M為BC的中點聯(lián)想到中位線，另有AD為角平分線和垂線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”構(gòu)造等腰三角形ABN,D為BN的中點，DM即為中位線，不難求出MD的長度.【答案與解析】??,AD為NBAC的角平分線，且ADXBN??,AD為NBAC的角平分線，且ADXBN,口ZBAD=ZNAD,ZADB=ZADN=90°,在^ABD和^AND中，/BAD=/NAD4AD=AD/ADB=/ADN.△ABDSAND(ASA)AN=AB=12,BD=DN.AC=AC=18,.NC=AC-AN=18-12=6:D、M分別為BN、BC的中點，1 1二???DM=-CN=—x6=3.2 2【總結(jié)升華】當(dāng)條件中含有中點的時候,可以將它與等腰三角形的“三線合一”、三角形的中線、中位線等聯(lián)系起來,進行聯(lián)想,必要時添加輔助線,構(gòu)造中位線等圖形．舉一反三：【變式】（2015春?泗洪縣校級期中）如圖，BE,CF是^ABC的角平分線，ANXBE于N,AMXCF于M,M,求證：MN〃BC.【答案】證明：延長AN、AM分別交BC于點D、G.VBE為NABC的角平分線，BEXAG,AZBAG=ZBGA,??.△ABG為等腰三角形，?'.BN也為等腰三角形的中線，即AN=GN.同理AM=DM,?MN為工ADG的中位線，?MN〃BC.例4、(1)如圖1,在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N,則NBME=NCNE,求證：AB=CD.(提示取BD的中點H,連接FH,HE作輔助線)(2)如圖2,在4ABC中，且O是BC邊的中點，D是AC邊上一點，E是AD的中點，直線OE交BA的延長線于點G,若AB=DC=5,NOEC=60°,求OE的長度.【思路點撥】(1)連結(jié)BD,取DB的中點H,連結(jié)EH、FH,證明出EH〃AB,EH、AB,FH〃CD,FH=^CD,證出HE=HF,進而證出AB=CD；(2)連結(jié)BD,取DB的中點H,連結(jié)EH、OH,證明出EH=OH,可證明證出△OEH是等邊三角形，進而求出OE=1.【答案與解析】(1)證明：連結(jié)BD,取DB的中點H,連結(jié)EH、FH.?「E、F分別是BC、AD的中點，?EH〃AB,EH=|aB,FH〃CD,FH=|cD,VZBME=ZCNE,?HE=HF,?AB=CD；

(2)解：連結(jié)BD,取DB的中點H,連結(jié)EH、OH,VAB=CD,.??HO=HE,AZHOE=ZHEO,VZOEC=60°,.??NHEO=NAGO=60°,...△OEH是等邊三角形，VAB=DC=5,出的思路，作出輔助線，有一定難度.舉一反三：【變式】如圖，AB〃CD,E,F分別為AC,BD的中點，若AB=5,CD=3,則EF的長是（ ）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D；解：連接DE并延長交AB于H,A 口A 口B5 第二十三講三角形中位線定理.??DE=HE,DC=AH,F是BD中點，，.EF是^DHB的中位線，.??EF=1BH,2??BH=AB-AH=AB-DC=2,??EF=1.類型二、中點四邊形例5、如圖，點O是^ABC外一點，連接OB、OC,線段AB、OB、OC、AC的中點分別為D、E、F、G,連接DE、EF、FG、GD.(1)判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由；(2)若M為EF的中點，OM=2,NOBC和NOCB互余，求線段DG的長.【答案與解析】解：(1)四邊形DEFG是平行四邊形，理由是：V線段AB、OB、OC、AC的中點分別為D、E、F、G,，?EF〃BC,EF=1-BC,DG,BC,DG〃BC,.??EF〃DG,EF=DG,??四邊形DEFG是平行四邊形；(2)VZOBC和NOCB互余，AZOBC+ZOCB=90°,AZBOC=180°-90°=90°,M為EF的中點，OM=2,.??EF=2OA=4,EF=DG,??DG=4.【總結(jié)升華】本題考查了中點四邊形形狀的判定,主要是利用中位線定理得出一組對邊平行且相等,從而判定是平行四邊形..已知4ABC的各邊長度分別為3cm,4cm,5cm則連結(jié)各邊中點的三角形的周長為.如圖，點D、E、F分別為△ABC三邊的中點若^DEF的周長為10,則4ABC的周長為（ ）510.已知4ABC的各邊長度分別為3cm,4cm,5cm則連結(jié)各邊中點的三角形的周長為.如圖，點D、E、F分別為△ABC三邊的中點若^DEF的周長為10,則4ABC的周長為（ ）51020403.在^ABC中AB=3,BC=4,AC=2,D、E、F分別為AB、BC、AC中點，連接DF、FE,則四邊形DBEF的周長是（579114.如圖，△ABC的中線BD、CE交于點O,連接0人，點G、F分別為OC、OB的中點，BC=8,AO=6,則四邊形DEFG的周長為（ ）12141618）（B【鞏固練習(xí)】一.選擇題則圖中陰影部分的面積為（）則圖中陰影部分的面積為（）.如圖所示，在△ABC中，AB=AC,M,N分別是AB,AC的中點，D,E為BC上的點，連接DN、EM,若AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm.如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點.已知兩底的差是6,兩TOC\o"1-5"\h\z腰的和是12,則^EFG的周長是（ ）\o"CurrentDocument"A.8 B.9 C.10 D.12二.填空題.順次連接一個四邊形各邊中點得到的四邊形是\o"CurrentDocument".如圖，E、F分別是口ABCD的兩邊AB、CD的中點，AF交DE于P,BF交CE于Q,則PQ與AB的關(guān)系是 ..如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，對角線AC、BD的長分別為7和9,則四邊形EFGH的周長是.如圖，四邊形ABCD中，NA=90°,AB=3.3,AD=3,點M,N分別為線段BC,AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E,F分別為DM,MN的中點，則EF長度的最大值為.如圖，△ABC的周長為26,點D,E都在邊BC上，NABC的平分線垂直于AE,垂足為Q,NACB的平分線垂直于AD,垂足為P的平分線垂直于AD,垂足為P,若BC=10,則PQ的長.匚第12題第11題.如圖，在△ABC中，NABC和NACB的平分線相交于點O,過點O作EF〃BC交AB于E,交AC于F,過點O作ODLAC于D.下列三個結(jié)論:①NBOC=90°+1NA；2②設(shè)OD=m,AE+AF=n，則S mn；③EF不能成為^ABC的中位線.其中正確的結(jié)論是三.解答題14.已知：在^ABC中，BOAC,動點D繞ABC的頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)，且AD=BC,連接DC.過AB、DC的中點E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點M、N.(1)如圖1,當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時，點N恰好與點F重合，取AC的中點H,連接HE、HF,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論NAMF=NBNE(不需證明)；(2)當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時，ZAMF與NBNE有何數(shù)量關(guān)系？請分別寫出猜想，并任選一種情況證明.15.已知，如圖，在Rt^15.已知，如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,點D為AB中點，連接CD,點E為邊AC上一點，過點E作￡尸〃人8,交CD于點F,連接EB,取EB的中點G,連接DG、FG.(1)求證：EF=CF(2)求證:FGXDG.【答案與解析】一.選擇題.【答案】D；【解析】由中點和中位線定義可得新三角形的各邊長為原三角形各邊長的一半，即可求其周長..【答案】C；【解析】根據(jù)中位線定理可得BC=2DF,AC=2DE,AB=2EF,繼而結(jié)合^DEF的周長為10,可得出△ABC的周長..【答案】B；【解析】???口、E、F分別為AB、BC、AC中點，1 1 3.??DF=—BC=2,DF〃BC,EF=—AB=一，EF〃AB,2 2 2???四邊形DBEF為平行四邊形，3，四邊形DBEF的周長=2(DF+EF)=2x(2+—)=7.2故選B..【答案】B；【解析】解：二石口，CE是^ABC的中線，，?ED〃BC且ED寺C,F是BO的中點，G是CO的中點，，?FG〃BC且FG寺C,，.ED=FG管C=4,同理GD=EF4AO=3,??四邊形DEFG的周長為3+4+3+4=14.故選B..【答案】B；【解析】連接乂N作AFXBC于F.VAB=AC,ABF=CF=1BC=1x8=4,在R3ABF中，AF=、；AB2—BF2=<52—42=3,VM>N分別是AB,AC的中點，...MN是中位線，即平分三角形的高且MN=8^2=4,ANM=1BC=DE,AAMNO^AEDO,O也是ME,ND的中點，，陰影三角形的高是1AF-2=1.5-2=，陰影三角形的高是1AF-2=1.5-2=0.75,???S陰影=4x0.75+2=1.5..【答案】B;【解析】連接AE,延長交CD于H,可證AB=DH,CH=兩底的差，EF是^AHC的中位線，EF=12兩底的差，EG+FG=1兩腰的和，故△EFG的周長是9.2二.二.填空題7.【答案】平行四邊形；.【答案】PQ〃AB,PQ=2AB；【解析】P,Q分別是AF,BF的中點..【答案】16；【解析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出HG4-AC【解析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出HG4-AC,EF4-AC,HE旦-DB2GF旦-BD2進而得出HE=GF=-BD,HG=FE=5AC,即可得出答案.-0.【答案】3；【解析】解：?.?ED=EM,MF=FN,.?.ef=1dn,ADN最大時，EF最大，:N與B重合時DN最大，止匕時DN=DB=A—+AB2=6,AEF的最大值為3.故答案為3．--.【答案】3；【解析】?△ABC的周長是26,BC=10,

.??AB+AC=26-10=16,:NABC的平分線垂直于AE,二在^ABQ和^EBQ中，(ZABQ=ZEBQBQ二EQZaqb=Zeqb.?.△abqsebq.??AQ=EQ,AB=BE,同理，AP=DP,AC=CD,.??DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=16-10=6,VAQ=DP,AP=DP,APQ是^ADE的中位線，1.??PQ=-DE=3.2故答案是：3..【答案】①，③；【解析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解；②根據(jù)△AEF的面積=△AOE的面積+△AOF的面積求解;③若此三角形為等邊三角形，則EF即為中位線.三.解答題.【解析】證明：連接MP,PN,NQ,QM,VAM=MD,BP=PD,APM是^ABD的中位線，1APM#AB,PM=-AB；1同理NQ=-AB,NQ〃AB,APM=NQ,且PM〃NQ.A四邊形MPNQ是平行四邊形.AMN與PQ互相平分..【解析】解：圖1：NAMF=NENB；圖2：NAMF=NENB；圖3：ZAMF+ZENB=