第七章 參數(shù)估計 第八章

第七章參數(shù)估計(一)考核知識點1.點估計2.矩估計法3.極大似然估計法4.單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(二)考核要求1.點估計1.1參數(shù)估計的概念，要求：識記1.2求參數(shù)的矩估計，要求：簡單應用1.3求極大似然估計，要求：簡單應用2.估計量的評價標準2.1矩估計的無偏性，要求：領會2.2估計量的有效性、相合性，要求：領會3.區(qū)間估計3.1置信區(qū)間的概念，要求：領會3.2求單個正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間，要求：簡單應用

現(xiàn)在我們來介紹一類重要的統(tǒng)計推斷問題

參數(shù)估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù).

參數(shù)估計估計廢品率估計新生兒的體重估計湖中魚數(shù)……估計降雨量在參數(shù)估計問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個或幾個參數(shù).這類問題稱為參數(shù)估計.參數(shù)估計問題的一般提法X1,X2,…,Xn要依據(jù)該樣本對參數(shù)作出估計,或估計的某個已知函數(shù).現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本設有一個統(tǒng)計總體,總體的分布函數(shù)為F(x,)，其中為未知參數(shù)(可以是向量).

參數(shù)估計點估計區(qū)間估計（假定身高服從正態(tài)分布）設這5個數(shù)是:1.651.671.681.781.69估計

為1.68，這是點估計.這是區(qū)間估計.估計在區(qū)間[1.57,1.84]內(nèi)，例如我們要估計某隊男生的平均身高.現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，我們的任務是要根據(jù)選出的樣本（5個數(shù)）求出總體均值的估計.而全部信息就由這5個數(shù)組成.7.1.2極大似然法它是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法.它首先是由德國數(shù)學家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學家費希爾

.

費希爾在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).最大似然法的基本思想先看一個簡單例子：一只野兔從前方竄過.是誰打中的呢？某位同學與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測，你會如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應聲倒下.你就會想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率.看來這一槍是獵人射中的.這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想.

最大似然估計原理：當給定樣本X1,X2,…Xn時，定義似然函數(shù)為：設X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本，樣本的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合分布律(離散型)為f(x1,x2,…,xn;).f(x1,x2,…,xn;)這里x1,x2,…,xn

是樣本的觀察值.似然函數(shù)：

最大似然估計法就是用使達到最大值的去估計.稱為的最大似然估計值

.看作參數(shù)的函數(shù)，它可作為將以多大可能產(chǎn)生樣本值x1,x2,…,xn的一種度量.

f(x1,x2,…,xn;)而相應的統(tǒng)計量稱為的最大似然估計量

.兩點說明：

1、求似然函數(shù)L()的最大值點，可以應用微積分中的技巧。由于ln(x)是

x的增函數(shù),lnL()與L()在的同一值處達到它的最大值，假定是一實數(shù)，且lnL()是的一個可微函數(shù)。通過求解方程：可以得到的MLE.若是向量，上述方程必須用方程組代替.

2、用上述求導方法求參數(shù)的MLE有時行不通，這時要用最大似然原則來求.下面舉例說明如何求最大似然估計L(p)=f(x1,x2,…,xn;p)

例5

設X1,X2,…Xn是取自總體X~B(1,p)的一個樣本，求參數(shù)p的最大似然估計量.解：似然函數(shù)為:對數(shù)似然函數(shù)為：對p求導并令其為0，=0得即為p

的最大似然估計值

.從而p

的最大似然估計量為

(4)在最大值點的表達式中,用樣本值代入就得參數(shù)的最大似然估計值

.求最大似然估計(MLE)的一般步驟是：

(1)由總體分布導出樣本的聯(lián)合分布率(或聯(lián)合密度);

(2)把樣本聯(lián)合分布率(或聯(lián)合密度)中自變量看成已知常數(shù),而把參數(shù)看作自變量,得到似然函數(shù)L();

(3)求似然函數(shù)L()

的最大值點(常常轉(zhuǎn)化為求lnL()的最大值點)，即

的MLE;1.(2006-4)設總體X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,其中λ未知,X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本,則λ的矩估計為________.2.(2006-7)設總體X服從泊松分布,即X~P(λ),則參數(shù)λ2的極大似然估計量為__________.3.(2007-4)設總體X具有區(qū)間[0,θ]上的均勻分布(θ>0),x1,x2,…,xn是來自該總體的樣本,則θ的矩估計________.5.(2007-7)設總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布,其中λ為未知參數(shù).X1,X2,…,Xn為來自該總體的一個樣本,則參數(shù)λ的矩估計量為___________.8.(2008-7)假設總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布,0.8、1.3、1.1、0.6、1.2是來自總體X的樣本容量為5的簡單隨機樣本，則λ的矩估計值為_______．7.2點估計的評價標準7.3參數(shù)的區(qū)間估計7.3.2單個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間并設為來自總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差.可得到的置信水平為的置信區(qū)間為第八章假設檢驗（一）考核的知識點1.假設檢驗的基本思想與步驟2.單