第6章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

第六章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)6.1數(shù)制與碼制6.2邏輯函數(shù)表示方法及相互轉(zhuǎn)換6.3邏輯函數(shù)公式和運(yùn)算規(guī)則6.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)和變換第六章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)（3）十進(jìn)制數(shù)各數(shù)位的權(quán)是10的冪。任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼與其對(duì)應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開(kāi)式。例如：式中10n稱為十進(jìn)制數(shù)各位的權(quán)。各數(shù)碼在不同的數(shù)位上權(quán)不同，所以代表的數(shù)值不同。6.1數(shù)制和碼制一、數(shù)制1．十進(jìn)制（1）十進(jìn)制數(shù)有十個(gè)數(shù)碼（字符）。十進(jìn)制用0～9十個(gè)字符來(lái)表示，基數(shù)是十。（2）十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則。運(yùn)算規(guī)則：逢十進(jìn)一，即9＋1＝10。2．二進(jìn)制二進(jìn)制乘法：（3）二進(jìn)制數(shù)各數(shù)位的權(quán)是２的冪。（2）二進(jìn)制運(yùn)算規(guī)則。運(yùn)算規(guī)則：逢二進(jìn)一，即1＋1＝10。

（1）二進(jìn)制有二個(gè)數(shù)碼。二進(jìn)制用0和1兩個(gè)數(shù)碼來(lái)表示，基數(shù)是2。二進(jìn)加法：例如：

編碼：用一定位數(shù)的二進(jìn)制代碼表示文字、符號(hào)等信息的過(guò)程。表示十進(jìn)制數(shù)字符號(hào)0~9的四位二進(jìn)制代碼，又稱為BCD碼（BinaryCodedDecimal）幾種常見(jiàn)的BCD代碼：8421碼余

3碼2421碼5211碼余

3循環(huán)碼其他代碼：二、碼制二-十進(jìn)制代碼：ISO碼，ASCII（美國(guó)信息交換標(biāo)準(zhǔn)代碼）0十進(jìn)制數(shù)1234567898421碼余3碼2421(A)碼5211碼余3循環(huán)碼00000001001000110100010101100111100010010011010001010110100010011010101111000000000100100011010010111100110111101111011100000001010001000101010101111000100111001101110111111111001001100111110011101010權(quán)842124215211幾種常見(jiàn)的BCD代碼三、數(shù)制及碼制的轉(zhuǎn)換(1)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)：將二進(jìn)制數(shù)按位權(quán)展開(kāi)后相加(2)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：整數(shù)部分:除2取余法28214余數(shù)20720321211010.812521.625021.250020.5000取整1100.62500.2500小數(shù)部分:乘2取整法若小數(shù)在連乘多次后不為0，一般按照精確度要求(如小數(shù)點(diǎn)后保留n

位)得到n個(gè)對(duì)應(yīng)位的系數(shù)即可。21.00001(3)十進(jìn)制數(shù)與8421BCD代碼間的相互轉(zhuǎn)換：十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成8421代碼：將每個(gè)十進(jìn)制字符用8421BCD碼代替即成。8421代碼轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)：從低位開(kāi)始每四位數(shù)碼劃分為一組，最后不足四位時(shí)在前面添0，然后將每組的四位代碼轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，全部代碼寫(xiě)成十進(jìn)制字符并依次排列即完成轉(zhuǎn)換。

其它進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)成8421代碼：先將其它進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)成十進(jìn)制數(shù)，再進(jìn)行轉(zhuǎn)換。一、邏輯函數(shù)的表示方法1.邏輯函數(shù)第二節(jié)邏輯函數(shù)的表示方法及相互轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)：Y的值由邏輯變量A、B、C的取值決定，則Y為邏輯變量A、B、C的邏輯函數(shù)。在邏輯電路中，邏輯函數(shù)Y是輸出量，邏輯變量A、B、C是輸入量。例如邏輯函數(shù)：。

Y由邏輯變量的三種基本運(yùn)算組成。變量的取值是1

或0

，分別代表兩種對(duì)立的狀態(tài)。原變量和反變量：字母上面無(wú)反號(hào)的稱為原變量，有反號(hào)的叫做反變量。邏輯變量：（1）邏輯表達(dá)式邏輯函數(shù)表達(dá)式是一種用與、或、非等邏輯運(yùn)算組合起來(lái)的運(yùn)算關(guān)系式。2.邏輯函數(shù)的表示方法例如邏輯函數(shù)：真值表

Y

AB011000011011把變量的全部取值組合及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列在表中，這樣的表即是真值表。n個(gè)變量有2n個(gè)取值組合，全部取值組合按二進(jìn)制遞增順序排列。（2）真值表真值表ABCY00000101001110010111011100010111邏輯圖是用邏輯門(mén)符號(hào)畫(huà)出的電路圖。

（3）邏輯圖

已知輸入波形，對(duì)應(yīng)著輸入畫(huà)出相應(yīng)的輸出波形即是波形圖，也叫時(shí)序圖。（4）波形圖。試畫(huà)出其輸出波形。[例6-2]邏輯表達(dá)式其輸入波形如圖所示。Y（5）卡諾圖（略）二、常用邏輯函數(shù)表示方式的相互轉(zhuǎn)換1．根據(jù)邏輯表達(dá)式列出真值表[例6-3]

已知函數(shù)的邏輯表達(dá)式列出相應(yīng)的真值表。000000001010011100101110111YABC11111[例6-4]已知函數(shù)的真值表，寫(xiě)出此邏輯函數(shù)的表達(dá)式。2．根據(jù)真值表寫(xiě)邏輯表達(dá)式000000001010011100101110111YABC11111

每個(gè)Y=1對(duì)應(yīng)寫(xiě)出一個(gè)全部變量的與項(xiàng)，寫(xiě)與項(xiàng)時(shí)，變量A、B、C中取值為0的寫(xiě)成反變量（即字母加非號(hào)），取值為1的寫(xiě)成原變量（即字母不加非號(hào)）。寫(xiě)出的與項(xiàng)相加即得輸出函數(shù)的邏輯表達(dá)式。

包含著全部變量，且每個(gè)變量只出現(xiàn)一次的與項(xiàng)叫最小項(xiàng)，由最小項(xiàng)相加的表達(dá)式叫最小項(xiàng)表達(dá)式。真值表寫(xiě)出來(lái)的表達(dá)式是最小項(xiàng)表達(dá)式（1）最小項(xiàng)的概念：包括所有變量的與項(xiàng)，每個(gè)變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。(

2變量共有

4個(gè)最小項(xiàng))(

4變量共有

16個(gè)最小項(xiàng))(

n變量共有

2n

個(gè)最小項(xiàng))……(

3變量共有

8個(gè)最小項(xiàng))*最小項(xiàng)3．根據(jù)邏輯表達(dá)式畫(huà)出邏輯圖[例6-5]

已知函數(shù)的邏輯表達(dá)式畫(huà)出對(duì)應(yīng)的邏輯圖。ABYC≥1&&1&邏輯圖1

[例6-6]已知函數(shù)的邏輯圖如圖所示，試寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的邏輯表達(dá)式。4．根據(jù)邏輯圖寫(xiě)出邏輯表達(dá)式BA&&&&解：或：0+0=01+0=11+1=1與：0·0=00·1=01·1=1非：2.變量和常量的關(guān)系(變量：A、B、C…)或：A+0=AA+1=1與:A·0=0A·1=A非：第三節(jié)邏輯代數(shù)的公式和運(yùn)算規(guī)則1.常量之間的關(guān)系(常量：0和1)一、邏輯代數(shù)的公式3.與普通代數(shù)相似的定理交換律結(jié)合律分配律[例1]

證明公式[解]方法一：公式法4.邏輯代數(shù)的一些特殊定理同一律A+A=AA·A=A還原律德摩根定理5.其它常用公式

將Y式中“.”換成“+”,“+”換成“.”

“0”換成“1”,“1”換成“0”

原變量換成反變量，反變量換成原變量*二、關(guān)于等式的三個(gè)規(guī)則*1.代入規(guī)則：等式中某一變量都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。例如，已知(用函數(shù)

A+C代替

A)則*2.反演規(guī)則：不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變運(yùn)算順序：括號(hào)乘加注意:例如：已知反演規(guī)則的應(yīng)用：求邏輯函數(shù)的反函數(shù)則

將Y式中“.”換成“+”,“+”換成“.”

“0”換成“1”,“1”換成“0”

原變量換成反變量，反變量換成原變量已知?jiǎng)t運(yùn)算順序：括號(hào)與或不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變解：（1）用兩種方法求解。變換過(guò)程中注意與項(xiàng)變成了或項(xiàng)應(yīng)加上括號(hào)。①第一步中反號(hào)不變，變其下面的內(nèi)容；第二步去中反號(hào)。②直接把中反號(hào)下面的內(nèi)容（）當(dāng)一個(gè)字母，把這個(gè)字母上的反號(hào)去掉。[例6-7]

求（1）的反函數(shù)。（2）的反函數(shù)。②兩種變換方法最終結(jié)果相同，在邏輯化簡(jiǎn)和變換時(shí)經(jīng)常采用變法②。①（2）用兩種方法求解。*3.對(duì)偶規(guī)則：如果兩個(gè)表達(dá)式相等，則它們的對(duì)偶式也一定相等。將Y中“.”換成“+”,“+”換成“.”

“0”換成“1”,“1”換成“0”

例如對(duì)偶規(guī)則的應(yīng)用：證明等式成立0·0=01+1=1運(yùn)算順序：括號(hào)與或1.標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式第四節(jié)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法一、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡(jiǎn)式標(biāo)準(zhǔn)與或式標(biāo)準(zhǔn)與或式就是最小項(xiàng)之和的形式最小項(xiàng)2.邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式最簡(jiǎn)與或式

最簡(jiǎn)與非-與非式核心最簡(jiǎn)與或式是指：①函數(shù)中包含的乘積項(xiàng)最少；②每個(gè)乘積項(xiàng)中包含的變量個(gè)數(shù)最少。最簡(jiǎn)與或式經(jīng)過(guò)公式變換，可得到其它表達(dá)形式，比如變成與非-與非形式。[例1][例2]二、邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法

公式化簡(jiǎn)法：利用邏輯代數(shù)公式和定理，對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)和變換，最終得到最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。1.公式的應(yīng)用[例3][例5][例4]2.

公式和的應(yīng)用3.公式的應(yīng)用[例6][例7]或或[例8][例9]冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)4.

公式的應(yīng)用綜合練習(xí)：[練習(xí)]

用公式法將下列函數(shù)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式。[例6-12]將與或表達(dá)式表達(dá)式，使此函數(shù)可以全部用與非門(mén)來(lái)實(shí)現(xiàn)。*二、邏輯函數(shù)的變換變換為與非-與非解：對(duì)原式取兩次非，原等式不變；應(yīng)用反演律去掉一道大非號(hào)，這時(shí)每個(gè)與項(xiàng)看成一個(gè)字母。變換過(guò)程如下：---與或表達(dá)式---與非-與非表達(dá)式*（一）變量卡諾圖1.二變量卡諾圖(四個(gè)最小項(xiàng))ABAB0101AB0101卡諾圖：按照邏輯相鄰性排列而成的最小項(xiàng)方格圖。邏輯相鄰項(xiàng)：如果兩個(gè)最小項(xiàng)中僅有一個(gè)變量取值不同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)為邏輯相鄰項(xiàng)。*邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法2.三變量卡諾圖八個(gè)最小項(xiàng)ABC01000110111110邏輯不相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰m0m1m2m3m4m5m6m73.四變量的卡諾圖十六個(gè)最小項(xiàng)ABCD0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11幾何相鄰幾何相鄰4.五變量的卡諾圖當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過(guò)六個(gè)以上時(shí)，無(wú)法使用圖形法進(jìn)行化簡(jiǎn)。ABCDE00011110000001011010110111101100m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m13m30m31m29m22m23m21幾何相鄰三十二個(gè)最小項(xiàng)（二）邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1.根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫(huà)出相應(yīng)的卡諾圖；2.將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式；

3.在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上填入1，其余位置填0或不填。[例]ABC010001111011110000（三）卡諾圖中合并最小項(xiàng)的規(guī)律：(1)兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去一個(gè)因子ABC01000111100432ABCD00011110000111101946(2)四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去兩個(gè)因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD02810(3)八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去三個(gè)因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315B02810151394612142n個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去n個(gè)因子總結(jié)：（四）用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)步驟:(1)畫(huà)函數(shù)的卡諾圖(2)合并最小項(xiàng)：畫(huà)包圍圈(3)寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式[例1.2.20]ABCD000111100001111011111111[解]ABCD000111100001111011111111畫(huà)包圍圈的原則：

(1)先圈孤立項(xiàng)，再圈僅有一種合并方式的最小項(xiàng)。

(2)圈越大越好，但圈的個(gè)數(shù)越少越好。

(3)最小項(xiàng)可重復(fù)被圈，但每個(gè)圈中至少有一個(gè)新的最小項(xiàng)。不正確的畫(huà)圈[例][解](1)畫(huà)函數(shù)的卡諾圖ABCD000111100001111011111111(2)合并最小項(xiàng)：畫(huà)包圍圈(3)寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式多余的圈注意：先圈孤立項(xiàng)利用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)利用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)[例][解](1)畫(huà)函數(shù)的卡諾圖ABCD00011110000111101111111111(2)合并最小項(xiàng)：畫(huà)包圍圈(3)寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式[例]用圖形法求反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式[解](1)畫(huà)函數(shù)的卡諾圖ABC010001111011110000(2)合并函數(shù)值為0

的最小項(xiàng)(3)寫(xiě)出Y的反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式（五）具有約束的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)1.約束的概念和約束條件1)約束：輸入變量取值所受的限制例如，邏輯變量A、B、C，分別表示電梯的

升、降、停命令。A=1

表示升，B=1

表示降，C=1

表示停。ABC的可能取值2)約束項(xiàng)：不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)。不可能取值001010100000011101110111（1）約束、約束項(xiàng)、約束條件3)約束條件：000011101110111由約束項(xiàng)相加所構(gòu)成的值為0的邏輯表達(dá)式。約束項(xiàng)：約束條件：或（2）約束條件的表示方法1)在真值表和卡諾圖上用叉號(hào)(╳)表示。例如，上例中

ABC的不可能取值為2.具有約束的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)[例]化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)步驟:(1)畫(huà)函數(shù)的卡諾圖，順序?yàn)椋篈BCD0001111000011110先填1

0111000000(2)合并最小項(xiàng)，畫(huà)圈時(shí)╳

既可以當(dāng)

1

，又可以當(dāng)

0(3)寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式[解]╳[例]

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)約束條件[解](1)畫(huà)函數(shù)的卡諾圖ABCD00011110000111101111(2)合并最小項(xiàng)(3)寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式合并時(shí)，究竟把╳

作為

1

還是作為

0

應(yīng)以得到的包圍圈最大且個(gè)數(shù)最少為原則。包圍圈內(nèi)都是約束項(xiàng)無(wú)意義(如圖所示)。注意：第6章小結(jié)一、數(shù)制和碼制種類基數(shù)位權(quán)應(yīng)用備注十進(jìn)制0910i日常二進(jìn)制0，12i數(shù)字電路2=21八進(jìn)制078i計(jì)算機(jī)程序8=23十六進(jìn)制09，AF16i計(jì)算機(jī)程序16=24各種數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換，特別是十進(jìn)制→二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，要求熟練掌握。

1.數(shù)制：

2.碼制：常用的BCD碼有8421碼、2421碼、5421碼、余3碼等，其中以8421碼使用最廣泛。[練習(xí)]完成下列數(shù)制和碼制之間的相互轉(zhuǎn)換12816421512128641684232