自動(dòng)控制原理第四章

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4.1根軌跡法的基本概念4.2根軌跡繪制的基本法則4.3廣義根軌跡4.4系統(tǒng)性能的分析引言由第三章的時(shí)域分析可知，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與其運(yùn)動(dòng)特性是緊密相關(guān)的，如果我們能夠確定閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，那么就可以掌握瞬態(tài)響應(yīng)的基本特征。然而，在沒(méi)有計(jì)算機(jī)之前，求解高次代數(shù)方程是很困難的，為了解決這個(gè)問(wèn)題，1948年伊文斯（W.R.Evans）提出了根軌跡。所謂根軌跡是指當(dāng)系統(tǒng)中某一參數(shù)的數(shù)值從零至無(wú)窮大變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在根平面上所描繪的曲線。應(yīng)用這些曲線可以分析不同參數(shù)情況下的系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程特征，以及進(jìn)一步指出改善系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程品質(zhì)的方向。這種應(yīng)用根軌跡曲線研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的方法，稱為根軌跡法。

在根軌跡法中，最常用的變化參數(shù)是系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K或與之成比例的所謂根軌跡增益K*。有時(shí)也取其他參數(shù)為變化參數(shù)，但用的不多，所以以后不特別指明，變化參數(shù)均為K或K*。用根軌跡法不但可以進(jìn)行系統(tǒng)分析，而且可以進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)，它是經(jīng)典控制理論的基本方法之一。本章主要介紹根軌跡的基本概念、作圖方法，并通過(guò)例題給出用根軌跡分析系統(tǒng)的方法。4.1根軌跡法的基本概念一、根軌跡定義

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某個(gè)參數(shù)由0~∞時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。例1：如圖所示二階系統(tǒng)，試?yán)L制其根軌跡。解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：-jw-2-112-1-2s閉環(huán)特征方程為：特征根為：[討論]：.........當(dāng)K=0時(shí)，s1=0,s2=-2當(dāng)K=0.125時(shí)，s1=-0.13,s2=-1.866當(dāng)K=0.25時(shí)，s1=-0.29,s2=-1.707當(dāng)K=0.5時(shí)，s1=-1,s2=-1當(dāng)K=1時(shí)，s1=-1+j,s2=-1-j當(dāng)K=2.5時(shí)，s1=-1+2j,s2=-1-2j……當(dāng)K=∞時(shí)，s1=-1+j∞,s2=-1-j∞二.根軌跡與系統(tǒng)性能1.穩(wěn)定性根軌跡不會(huì)穿越虛軸進(jìn)入右半s平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定，如果根軌跡越過(guò)虛軸進(jìn)入s右半平面，此時(shí)根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的K值，就是臨界開(kāi)環(huán)增益。jw-2-112-1-2s.........2.穩(wěn)態(tài)性能由坐標(biāo)原點(diǎn)處的極點(diǎn)數(shù)確定系統(tǒng)類(lèi)型；若給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所以屬I(mǎi)型系統(tǒng)3.動(dòng)態(tài)性能K=0→∞時(shí)，根軌跡均在時(shí)s平面的左半部分，系統(tǒng)始終穩(wěn)定；(1)0<K<0.5時(shí)，兩個(gè)負(fù)實(shí)根，過(guò)阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為非周期過(guò)程；(2)K=0.5時(shí)，相同負(fù)實(shí)根，臨界阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)仍為非周期過(guò)程；(4)K>0.5時(shí)，一對(duì)共軛復(fù)根，欠阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過(guò)程。問(wèn)題在于逐點(diǎn)計(jì)算工作量大，若要更有效的繪制根軌跡就必須找出繪根軌跡的規(guī)律…jw-2-112-1-2s.........三、閉環(huán)零極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系典型閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖前向通路傳函：KG*--前向通路根軌跡增益KH*--反饋通路根軌跡增益反饋通路傳函：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：K*--開(kāi)環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益閉環(huán)傳遞函數(shù)為：(1)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。

對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)根軌跡益。(2)閉環(huán)零點(diǎn)由開(kāi)環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路傳遞數(shù)的極點(diǎn)所組成。

對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。(3)閉環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益均有關(guān)。結(jié)論四、根軌跡方程閉環(huán)特征方程：--根軌跡方程五、模值條件方程和相角條件方程根軌跡是系統(tǒng)所有閉環(huán)極點(diǎn)的集合開(kāi)環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)根軌跡增益，由零到無(wú)窮。模值條件：相角條件：注釋?zhuān)?.根軌跡上的點(diǎn)應(yīng)同時(shí)滿足上兩個(gè)方程；2.相角條件方程與K*無(wú)關(guān)，模值方程才與K*相關(guān)；3.模值條件用來(lái)確定對(duì)應(yīng)的K*；4.相角條件是決定根軌跡的充要條件，s平面上一點(diǎn)s1若滿足相角條件即為根軌跡上的一點(diǎn)。p1p2p3θ1θ2θ3ψ0s1zσjω圖4-4繪制根軌跡方法：1.試探法：任選s1點(diǎn)看是否滿足相角條件；2.按基本規(guī)則(如下節(jié)講述)手工繪制；3.用計(jì)算機(jī)繪制。[一些約定]：

在根軌跡圖中，“×”表示開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，“○”表示開(kāi)環(huán)有限值零點(diǎn)。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數(shù)增加的方向?！?”表示根軌跡上的點(diǎn)。4.2根軌跡繪制的基本法則一、繪制根軌跡的基本法則法則1.根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，若n>m，則有n-m條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。K*=0時(shí)必有K*=∞時(shí)必有--起點(diǎn)--終點(diǎn)若n>m，那么剩余的n-m個(gè)終點(diǎn)在哪里？答案：在無(wú)窮遠(yuǎn)處。n-m個(gè)無(wú)限遠(yuǎn)零點(diǎn)法則2.根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性

根軌跡的分支數(shù)與開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)m和有限極點(diǎn)n中的大者相等，它們是連續(xù)的且對(duì)稱于實(shí)軸。根軌跡的分支數(shù)與開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n相等(n>m)，或與開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m相等(n<m)。根軌跡連續(xù)：根軌跡增益是連續(xù)變化導(dǎo)致特征根也連續(xù)變化。實(shí)軸對(duì)稱：特征方程的系數(shù)為實(shí)數(shù)，特征根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。根據(jù)對(duì)稱性，只需做出上半s平面的根軌跡部分，然后利用對(duì)稱性關(guān)系就可以畫(huà)出下半s平面的根軌跡部分。法則3.實(shí)軸上的根軌跡如果實(shí)軸上某一區(qū)段的右邊的實(shí)數(shù)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)段實(shí)軸必是根軌跡。[證明]1.s1點(diǎn)與p3、p4的向量的相角之和q

1+q

2=0°2.s1點(diǎn)與z1、z2的向量的相角之和q

3+q4=0°3.s1點(diǎn)與p2的向量的相角為0°4.s1點(diǎn)與p1的向量的相角為180°s1點(diǎn)滿足根軌跡相角條件，因此[p2,p1]為實(shí)軸上的根軌跡。s2、s3：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點(diǎn)。試驗(yàn)點(diǎn)s1點(diǎn)例1.設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試求實(shí)軸上的根軌跡。解：零極點(diǎn)分布如下：p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2實(shí)軸上根軌跡為：[-1，0]、[-3，-2]和(-∞，-4]jwsoo法則4.根軌跡的漸近線n>m時(shí)：n-m條根軌跡沿著漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。與實(shí)軸的交點(diǎn)：與實(shí)軸的夾角：0000漸近線就是s值很大時(shí)的根軌跡，因此漸近線也一定對(duì)稱于實(shí)軸。(4-22)(4-23)例2.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，試確定根軌跡分支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角。解：根軌跡有3條；起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：p1=0，p2=-1，p3=-5；因無(wú)有限值零點(diǎn)，所以3條根軌跡都趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。與實(shí)軸的交點(diǎn)：與實(shí)軸的夾角：零極點(diǎn)分布和漸近線如圖所示：法則5.根軌跡的分離點(diǎn)與分離角若干根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開(kāi)，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。

分離點(diǎn)在兩極點(diǎn)之間，會(huì)合點(diǎn)在兩零點(diǎn)之間。閉環(huán)特征方程有重根。jw-2-112-1-2s分離點(diǎn)A--分離點(diǎn)B--會(huì)合點(diǎn)分離角：l—進(jìn)入的根軌跡分支數(shù)（1）分離點(diǎn)對(duì)應(yīng)閉環(huán)特征方程的重根若按上式求出的所謂分離點(diǎn)K*<0，則此點(diǎn)不在根軌跡上，不是分離點(diǎn)例3.單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)。解：實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：(-∞,-5][-1,0]顯然，分離點(diǎn)為-0.4725，而-3.5275不是分離點(diǎn)。閉環(huán)特征方程為：(舍去)極值法求取分離點(diǎn)的方法(2)用試探法求解：若系統(tǒng)無(wú)有限零點(diǎn)：例4[例4-1].系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。1.開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)：解：必要條件而非充分條件，也就是說(shuō)它的解不一定是分離點(diǎn)。3.漸近線：2.實(shí)軸上的根軌跡：[-3,-2][-1,0]4.分離點(diǎn)：實(shí)軸區(qū)域[-2,-3]必有一個(gè)根軌跡的分離點(diǎn)d，d滿足分離點(diǎn)方程：解得：法則6.根軌跡的起始角和終止角起始(出射)角θpi

：起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。等于180度的奇數(shù)倍減去所有從其他開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到該極點(diǎn)所引向量的幅角和再加上所有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)到該極點(diǎn)所引向量的幅角和。終止(入射)角jzi：終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。等于180度的奇數(shù)倍減去所有從其他開(kāi)環(huán)零點(diǎn)到該零點(diǎn)所引向量的幅角和再加上所有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到該零點(diǎn)所引向量的幅角和。例5.如圖，試確定根軌跡離開(kāi)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的起始角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-2根據(jù)對(duì)稱性，可知p2點(diǎn)的出射角為：注意：相角要注意符號(hào)：逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；注意矢量的方向。解：tanj1=1j1=45°θ2=90°θ3=135°tanθ4=0.5θ4=26.6°取k=0(考慮到周期性)：θp1=-26.6°θp2=

-θp1=26.6°例6[例4-3].系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。3.漸近線：解：2.實(shí)軸上的根軌跡：1.開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)：n-m=1，只有一條180o漸進(jìn)線。4.分離點(diǎn)：無(wú)分離點(diǎn)。(－∞，-2.5][-1.5，0]-1-2108.5°90°59°37°19°56.5°起始角：5.起始角和終止角：90°121°153°199°63.5°117°終止角：概略根軌跡圖法則7.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡和虛軸相交時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對(duì)共軛虛根，這時(shí)的增益稱為臨界根軌跡增益。交點(diǎn)和臨界根軌跡增益的求法：(1)由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解；(2)令s=jw，代入閉環(huán)特征方程中，使實(shí)、虛部分別為零，求出w和K*。解：方法一例7.，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。K*=0

w=0

舍去(根軌跡的起點(diǎn))

與虛軸的交點(diǎn):閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：s=jw方法二：用勞思穩(wěn)定判據(jù)確定交點(diǎn)的值。勞思表為：s2的輔助方程：K*

=30當(dāng)s1行等于0時(shí)，特征方程可能出現(xiàn)純虛根。即zi為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函零點(diǎn)pj為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函極點(diǎn)sj為系統(tǒng)閉環(huán)傳函極點(diǎn)八、當(dāng)n-m≥2時(shí)：對(duì)于任意的K*閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)。表明：當(dāng)K*變化時(shí)，部分閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上向右移動(dòng)(變大)，則另一些極點(diǎn)必然向左移動(dòng)(變小)。該規(guī)則的作用：(1)定性判斷根軌跡的走向；(2)已知幾個(gè)閉環(huán)根可以求出其他一個(gè)或兩個(gè)根。解：方法一例8.試求根軌跡與虛軸相交時(shí)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)實(shí)數(shù)根。由例7可知，根軌跡與虛軸的交點(diǎn):系統(tǒng)滿足條件n>=m,根據(jù)根之和公式由題目知，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為:小結(jié)需掌握繪制根軌跡的8個(gè)準(zhǔn)則根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)；根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性；實(shí)軸上根軌跡；根軌跡的漸近線；根軌跡的分離點(diǎn)與分離角；根軌跡的起始角和終止角；根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；根之和。1.標(biāo)注開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)(縱、橫坐標(biāo)用相同的比例尺)；2.實(shí)軸上的根軌跡；3.n-m條漸近線；4.根軌跡的起始角和終止角；5.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；6.根軌跡的分離點(diǎn)；結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性、根軌跡的分支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)、根之和等性質(zhì)畫(huà)出根軌跡。根軌跡作圖步驟根軌跡草圖繪制舉例例8[例4-4]（4-52）s1θ1=135°θ2=26.6°θ4=90°θp3=-71.6°圖4-1545°-45°71.6°-71.6°圖4-163.漸近線：例9.開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。4.起始角：1.開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)：2.實(shí)軸上的根軌跡：解：(－∞，0]5.與虛軸的交點(diǎn)：特征方程：s=jω---舍去(起點(diǎn))6.分離點(diǎn)：由圖可知這兩點(diǎn)并不在根軌跡上，所以并非分離點(diǎn)。特征方程：概略根軌跡圖例10圖4-17圖4-17例10給我們以啟示，同樣的方法證明下列情況的二階系統(tǒng)在復(fù)數(shù)平面內(nèi)的根軌跡是圓或圓?。篿）開(kāi)環(huán)傳函有兩個(gè)靠近的實(shí)數(shù)零點(diǎn)和兩個(gè)靠近的實(shí)數(shù)極點(diǎn)；ii)開(kāi)環(huán)傳函有一個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)；iii)開(kāi)環(huán)傳函有兩個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)；iv)開(kāi)環(huán)傳函有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。這四種情況分別示于圖4-18(a),(b),(c),(d)。這個(gè)結(jié)果可以理解為圖4-18的根軌跡是圖4-17的局部，把圖4-17根軌跡上的某一點(diǎn)作為圖4-18根軌跡的起點(diǎn)或終點(diǎn)。因此這些根軌跡也有圓的特點(diǎn)是很自然的。至于這些圓或圓弧的畫(huà)法可以根據(jù)根軌跡的對(duì)稱性及分離點(diǎn)用幾何方法求出。

請(qǐng)看下一頁(yè)的圖4-18。開(kāi)環(huán)傳函有兩個(gè)靠近的實(shí)數(shù)零點(diǎn)和兩個(gè)靠近的實(shí)數(shù)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)傳函有一個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)傳函有兩個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)傳函有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)例11-分離點(diǎn)：只有當(dāng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對(duì)稱時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)復(fù)平面上的分離點(diǎn)。起始角：圖4-19例12求起始角：□二、閉環(huán)極點(diǎn)的確定上面繪制根軌跡的基本原則，可以簡(jiǎn)便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。為了得到準(zhǔn)確的根軌跡曲線，必要時(shí)可以選取若干個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，用相角條件去檢驗(yàn)。方法：根據(jù)模值條件先用試探法確定實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值；用綜合除法得到其余閉環(huán)極點(diǎn)。4.3廣義根軌跡--以非開(kāi)環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡一、參數(shù)根軌跡在控制系統(tǒng)中，除根軌跡增益K*以外，其它情形下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。閉環(huán)特征方程：變換當(dāng)系統(tǒng)有兩個(gè)參數(shù)變化時(shí)，所繪出的根軌跡稱謂根軌跡簇。等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：利用此式畫(huà)出的根軌跡，就是以參數(shù)A為變量的參數(shù)根軌跡。列出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程；以特征方程中不含參變量的各項(xiàng)除特征方程，得等效的系統(tǒng)根軌跡方程。該參數(shù)稱為等效系統(tǒng)的根軌跡增益；用已知的方法繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的步驟-[解]：例1：繪制如下系統(tǒng)以a為參數(shù)的根軌跡。閉環(huán)特征方程為：等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：1.開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)：2.實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0]3.漸近線：4.初始角：5.分離點(diǎn)：-2-10-2-1012例2設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，其中開(kāi)環(huán)增益可自行選定。試分析時(shí)間常數(shù)Ta對(duì)系統(tǒng)性能的影響。[解]：閉環(huán)特征方程為：等效開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：選定不同K值，然后將G1(s)的零、極點(diǎn)畫(huà)在s平面上，再令Ta=0?

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繪制出Ta變化時(shí)的參數(shù)根軌跡。等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：參數(shù)根軌跡簇二、附加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的作用根軌跡的形狀、位置完全取決于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，因此可以通過(guò)增加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)來(lái)改造根軌跡，從而實(shí)現(xiàn)改善系統(tǒng)的目的。1.增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)一般說(shuō)，在s左半平面增加極點(diǎn)，對(duì)根軌跡的影響：(1)改變根軌跡在實(shí)軸上的分布；(2)改變根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角；(3)改變根軌跡的分支數(shù)；(4)促使根軌跡右移，降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。實(shí)例(1)增加一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)軌跡向右彎曲，極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定不利，極點(diǎn)越靠近虛軸影響越大。穩(wěn)定K*小時(shí)穩(wěn)定K*大時(shí)可能不穩(wěn)定(2)增加一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)2.增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響：(1)改變根軌跡在實(shí)軸上的分布；(2)改變根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角；(3)若增加的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近，構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子，則兩者相互抵消(因此，可加入一個(gè)零點(diǎn)來(lái)抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn))；(4)促使根軌跡左移，系統(tǒng)的穩(wěn)定性增強(qiáng)。(1)增加一個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)增加的零點(diǎn)使根軌跡左偏，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定有利，越靠近虛軸影響越大。實(shí)例(2)增加一對(duì)軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)三、零度根軌跡常規(guī)根軌跡的相角條件：(2k+1)p=180o+2kp--180o根軌跡零度根軌跡的相角條件：2kp=0o+2kp零度根軌跡的來(lái)源：1.非最小相位系統(tǒng)(系統(tǒng)在s平面的右半側(cè)有開(kāi)環(huán)零極點(diǎn))中包含s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子；2.控制系統(tǒng)中包含有正反饋內(nèi)回路。負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡稱為180o根軌跡或簡(jiǎn)稱為根軌跡；正反饋系統(tǒng)根軌跡稱為0o根軌跡。因此：4.4系統(tǒng)性能的分析一、穩(wěn)定性如果閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，即穩(wěn)定只與閉環(huán)極點(diǎn)位置有關(guān)，而與閉環(huán)零點(diǎn)位置無(wú)關(guān)。二、運(yùn)動(dòng)形式如果閉環(huán)系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)，且閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則時(shí)間響應(yīng)一定是單調(diào)的；如果閉環(huán)極點(diǎn)均為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則時(shí)間響應(yīng)一般是振蕩的。三、超調(diào)量四、調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間主要取決于最靠近虛軸的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)數(shù)絕對(duì)值s1=zwn，如果實(shí)數(shù)極點(diǎn)距虛軸最近，并且它附近沒(méi)有實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則調(diào)節(jié)時(shí)間主要取決于該實(shí)數(shù)極點(diǎn)的模值。超調(diào)量主要取決于閉環(huán)