《中位數(shù)和眾數(shù)》趣味數(shù)學(xué)

《中位數(shù)和眾數(shù)》趣味數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)故事騙人的“平均數(shù)”吉斯莫先生有一個(gè)小工廠，生產(chǎn)超級(jí)小玩意兒。管理人員由吉斯莫先生、他的弟弟、六個(gè)親戚組成。工作人員由5個(gè)領(lǐng)工和10個(gè)工人組成。工廠經(jīng)營(yíng)得很順利，現(xiàn)在需要一個(gè)新工人?，F(xiàn)在吉斯莫先生正在接見(jiàn)薩姆，談工作問(wèn)題。吉斯莫：我們這里報(bào)酬不錯(cuò)。平均薪金是每周300元。你在學(xué)徒期間每周得75元，不過(guò)很快就可以加工資。薩姆工作了幾天之后，要求見(jiàn)廠長(zhǎng)。薩姆：你欺騙我！我已經(jīng)找其他工人核對(duì)過(guò)了，沒(méi)有一個(gè)人的工資超過(guò)每周100元。平均工資怎么可能是一周300元呢？吉斯莫：啊，薩姆，不要激動(dòng)。平均工資是300元。我要向你證明這一點(diǎn)。吉斯莫：這是我每周付出的酬金。我得2400元，我弟弟得1000元，我的六個(gè)親戚每人得250元，五個(gè)領(lǐng)工每人得200元，10個(gè)工人每人100元?？偣彩敲恐?900元，付給23個(gè)人，對(duì)吧？薩姆：對(duì)，對(duì)，對(duì)！你是對(duì)的，平均工資是每周300元?？赡氵€是蒙騙了我。吉斯莫：我不同意！你實(shí)在是不明白。我已經(jīng)把工資列了個(gè)表，并告訴了你，工資的中位數(shù)是200元，可這不是平均工資，而是中等工資。薩姆：每周100元又是怎么回事呢？吉斯莫：那稱(chēng)為眾數(shù)，是大多數(shù)人掙的工資。吉斯莫：老弟，你的問(wèn)題是出在你不懂平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)之間的區(qū)別。薩姆：好，現(xiàn)在我可懂了。我……我辭職！統(tǒng)計(jì)學(xué)的解說(shuō)可能是極富逆論性的，常常被完全誤解。關(guān)于吉斯莫工廠的故事揭示出，誤解產(chǎn)生的一個(gè)共同根源是不了解平均數(shù)、中位數(shù)（中值）和眾數(shù)之間的差別?！捌骄边@個(gè)詞往往是“算術(shù)平均值”的簡(jiǎn)稱(chēng)。這是一個(gè)很有用的統(tǒng)計(jì)學(xué)的度量指標(biāo)。然而，如果有少數(shù)幾個(gè)很大的數(shù)，如吉斯莫的工廠中少數(shù)高薪者，“平均”工資就會(huì)給人錯(cuò)誤的印象。讀者還可考慮一些類(lèi)似的引起誤解的例子。譬如，報(bào)紙上報(bào)道有個(gè)人在一條河中淹死了，這條河的平均深度僅2尺，這不使人吃驚嗎？不！你要知道，這個(gè)人是在一個(gè)10多尺深的陷坑處沉下去的。一個(gè)公司可能報(bào)告說(shuō)它的策略是由股東們民主制訂的，因?yàn)樗?0個(gè)股東共有600張選票，平均每人12票。可是，如果其中45個(gè)股東每人只有4票，而另外5人每人有84張選票，平均數(shù)確實(shí)是每人12票，可是只有那5個(gè)人完全控制了這個(gè)公司。還有一個(gè)例子：為了吸引零售商到一個(gè)城里來(lái)，商會(huì)吹噓道：這個(gè)城市每個(gè)國(guó)民的平均收入非常高。大多數(shù)人看到這個(gè)就以為這個(gè)城的大多數(shù)市民都屬于高收入階層?？墒?，如果有一個(gè)億萬(wàn)富翁恰好住在該城，其他人就可能都是低收入的，而平均個(gè)人收入?yún)s仍然很高。統(tǒng)計(jì)學(xué)的報(bào)告有時(shí)甚至更加使人糊涂，這因?yàn)橛袝r(shí)“平均”這個(gè)詞不是指算術(shù)平均值，而是指中值或眾數(shù)。中值（中位數(shù)）是按大小順序排列的數(shù)值表中中心位置對(duì)應(yīng)的數(shù)值。如果表中數(shù)值有奇數(shù)項(xiàng)，則中值就簡(jiǎn)單地是中間項(xiàng)的值。如果有偶數(shù)項(xiàng)，中值往往取中間兩項(xiàng)的算術(shù)平均值。中值對(duì)薩姆來(lái)說(shuō)比算術(shù)平均值重要，但就是中值也使人對(duì)這個(gè)工廠的工資情況得出歪曲了的印象。薩姆反而要知道的是“眾數(shù)”——表中經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)，在這里，眾數(shù)是發(fā)給工廠中數(shù)目最多的人的工資數(shù)。有時(shí)候這叫做典型情況，因?yàn)樗绕渌魏吻闆r出現(xiàn)次數(shù)都多。在上面最后一個(gè)例子中，那個(gè)城里一個(gè)典型家庭代表收入為眾數(shù)的家庭，它也許很窮，但由于有少數(shù)億萬(wàn)富翁，這個(gè)城的平均收入也還非常高。體會(huì)奧賽某大商場(chǎng)策劃了一次“讓利顧客”的活動(dòng)，凡一次購(gòu)買(mǎi)100元以上者（含100元）均可當(dāng)場(chǎng)抽獎(jiǎng)。獎(jiǎng)金分配見(jiàn)下表。商場(chǎng)提醒：平均每份獎(jiǎng)金249元，莫失良機(jī)！獎(jiǎng)學(xué)金類(lèi)別一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)四等獎(jiǎng)五等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額（元）15000800010008020中獎(jiǎng)人數(shù)41070360560你認(rèn)為商場(chǎng)的說(shuō)法能夠很好地代表中獎(jiǎng)的一般金額嗎？說(shuō)說(shuō)你的看法，以后我們?cè)儆龅介_(kāi)獎(jiǎng)問(wèn)題應(yīng)該關(guān)心什么？思路分析：先來(lái)看看平均獎(jiǎng)金金額249元是否正確。我們用獎(jiǎng)金總數(shù)除以中獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)來(lái)算一下：(15000×4＋8000×10＋1000×70＋80×360＋20×560)÷(4＋10＋70＋360＋560)＝249（元），看來(lái)這條信息是正確的。通過(guò)分析數(shù)據(jù)我們還發(fā)現(xiàn)：這組數(shù)據(jù)存在極端數(shù)據(jù)15000、8000和1000，這些數(shù)據(jù)僅占總數(shù)據(jù)的8.4%。而眾數(shù)和中位數(shù)則是20元。所以平均數(shù)并不能很好地代表中獎(jiǎng)的一般金額．而應(yīng)看這些數(shù)據(jù)的眾數(shù)或