近世代數(shù)與尺規(guī)作圖世界名題

近世代數(shù)與尺規(guī)作圖世界名題

黃福生

近世代數(shù)與尺規(guī)作圖世界名題古代尺規(guī)作圖三大難題的故事

尺規(guī)作圖解析判別法

伽羅瓦(Galois)與近世代數(shù)

代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史

一、古代尺規(guī)作圖三大難題的故事三分角問(wèn)題

倍立方問(wèn)題

圓化方問(wèn)題

一、古代尺規(guī)作圖三大難題的故事1、三分角問(wèn)題

任意給定一個(gè)角，作圖工具僅限于直尺和圓規(guī)，問(wèn)能否將這個(gè)角三等分

★這是歷史最為長(zhǎng)久、流傳最為廣泛的一個(gè)幾何作圖問(wèn)題，兩千多年來(lái)，不斷有人在這個(gè)題目上花費(fèi)時(shí)間，甚至畢生精力。

一、古代尺規(guī)作圖三大難題的故事2、倍立方問(wèn)題

要求作一個(gè)立方體，使其體積等于己知立方體體積的兩倍

★倍立方問(wèn)題又以“黛利亞神問(wèn)題”相傳

一、古代尺規(guī)作圖三大難題的故事3、圓化方問(wèn)題

要求作一個(gè)正方形，使其面積等于一個(gè)己知圓的面積

★古希臘著名學(xué)者阿納克薩戈勒斯的監(jiān)獄囚室陽(yáng)光聯(lián)想二、尺規(guī)作圖解析判別法1、每一個(gè)平面作圖題，我們都可以放到坐標(biāo)平面上來(lái)考慮，事實(shí)上，我們只要在平面上引進(jìn)坐標(biāo)系就行了二、尺規(guī)作圖解析判別法2、因平面幾何作圖題總是要求人們?nèi)プ鞒鲆恍┚€段，或定出一些點(diǎn)的位置，因?yàn)辄c(diǎn)的位置都可以用坐標(biāo)來(lái)確定。所以，歸根結(jié)底，作圖題無(wú)非是要求人們?nèi)プ鞒鼍哂心撤N長(zhǎng)度的線段，當(dāng)然，每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來(lái)也就確定一條線段，因此可以說(shuō)，幾何作圖歸結(jié)為要求定出某些坐標(biāo)點(diǎn)二、尺規(guī)作圖解析判別法3、在平面幾何作圖題里，總可以把一己知線段當(dāng)做“單位長(zhǎng)度線段”，即長(zhǎng)度為1，于是利用尺規(guī)作圖，很容易將該線段n等分，從而求得長(zhǎng)為的線段，再將此線段m倍，又可得到長(zhǎng)為的線段?？傊?，一切以有理數(shù)為長(zhǎng)度的線段都可以作出來(lái)。我們把點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長(zhǎng)度都簡(jiǎn)稱為幾何量二、尺規(guī)作圖解析判別法4、設(shè)r為任一正有理數(shù)，則以

為長(zhǎng)度的線段也可以作出來(lái)。事實(shí)上，如圖，利用1+r為直徑作圓，從線段連接點(diǎn)P引垂線交圓于Q，則PQ=POrQ二、尺規(guī)作圖解析判別法5、反復(fù)利用上述手續(xù)，可見長(zhǎng)度為的線段也都可以作出來(lái)?！镏灰怯捎欣頂?shù)經(jīng)過(guò)有限次“加、減、乘、除、開平方”五則運(yùn)算得出的數(shù)量，都可以用尺規(guī)作出以這些數(shù)量為長(zhǎng)度的線段，這些數(shù)量就可以叫做“可作圖幾何量”。

二、尺規(guī)作圖解析判別法尺規(guī)作圖題的解析判別法：

要判別一個(gè)平面幾何上的尺規(guī)作題是否可作，只要分析所要確定的幾何量是否為“可作圖幾何量”就行了

二、尺規(guī)作圖解析判別法三個(gè)尺規(guī)作圖難題的代數(shù)化

1、三分角問(wèn)題

設(shè)己知角的三分之一為A，則已知角為3A，取余弦令得由于x并不能表示成可作圖幾何量，故三分角用尺規(guī)作圖不可能

三個(gè)尺規(guī)作圖難題的代數(shù)化

2、倍立方問(wèn)題

設(shè)原立方體的邊長(zhǎng)為a，新立方體的邊長(zhǎng)為x則倍立方問(wèn)題表示為代數(shù)方程不妨設(shè)a=1，則問(wèn)題變?yōu)槿畏匠痰那蠼鈫?wèn)題，然而這也是不可能的

二、尺規(guī)作圖解析判別法二、尺規(guī)作圖解析判別法三個(gè)尺規(guī)作圖難題的代數(shù)化

3、圓化方問(wèn)題設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，己知圓的半徑為r，則圓化方問(wèn)題即可表示為代數(shù)方程不妨設(shè)r=1，則圓化方問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用直尺和圓規(guī)作一條線段其長(zhǎng)為，這也是做不到的。

三、伽羅瓦(Galois)與近世代數(shù)古典代數(shù)、五次方程的根式求解、近世代數(shù)伽羅瓦與伽羅瓦理論三個(gè)尺規(guī)作圖難題的代數(shù)證明1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)古典代數(shù)的中心問(wèn)題：解代數(shù)方程和方程組

有效工具：矩陣論和線性代數(shù)學(xué)

四次方程的一般求解公式：1545年

L.Ferrarri(Italian,1522-1565)

1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)尋找五次方程的根式求解公式

（1）從1545年以來(lái)近300年的努力與失敗（2）1830年才由天才的法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦完全解決（3）這中間應(yīng)特別提到Lagrange，P.Ruffini(1765-1822)，N.H.Abel(1802-1829)等人的名字。1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)尋找五次方程的根式求解公式Lagrange

1770年法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日才開始意識(shí)到一般五次方程這樣的求解公式可能是不存在的。他分析了己知的解方程的方法，并指出可用一個(gè)統(tǒng)一的方法去代替這些不同的解法，在討論中他引入置換、置換的乘法、置換群的概念。約瑟夫·拉格朗日

約瑟夫·拉格朗日，全名約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-LouisLagrange1735~1813）法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)尋找五次方程的根式求解公式P.Ruffini

Lagrange的學(xué)生意大利人P.Ruffini證明了一般n次方程當(dāng)時(shí)不能用根式解。然而他是在“方程的解的根式表達(dá)式中，每一根號(hào)下的式子都是方程的諸根以及單位根的有理函數(shù)”這一假設(shè)下證明的。1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)尋找五次方程的根式求解公式N.H.Abel

后來(lái)Abel證明了上面這一假設(shè)是成立的，并在1824年，22歲的挪威大學(xué)生阿貝爾再一次獨(dú)立地得到了Ruffini的證明，至此就完整地證明了一般n次方程當(dāng)時(shí)不能用根式解。不幸，阿貝爾于1829年4月6日早逝于結(jié)核病。阿貝爾

翻開近代數(shù)學(xué)的教科書和專門著作，阿貝爾這個(gè)名字是屢見不鮮的：阿貝爾積分、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾積分方程、阿貝爾群、阿貝爾級(jí)數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾基本定理、阿貝爾極限定理、阿貝爾可和性，等等。只有很少幾個(gè)數(shù)學(xué)家能使自己的名字同近代數(shù)學(xué)中這么多的概念和定理聯(lián)系在一起。然而這位卓越的數(shù)學(xué)家卻是一個(gè)命途多舛的早夭者，只活了短短的27年。尤其可悲的是，在他生前，社會(huì)并沒(méi)有給他的才能和成果予以公正的認(rèn)可。1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)尋找五次方程的根式求解公式Galois

年青而有才華的數(shù)學(xué)家伽羅瓦深刻地闡明了用根式解代數(shù)方程的理論基礎(chǔ)。他的天才想法是研究方程根之間的置換，由此產(chǎn)生了群的概念，這使得他們工作的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了解代數(shù)方程的問(wèn)題范圍，而成為群論以致于近世代數(shù)的開拓者。（ÉvaristeGalois，公元1811年~公元1832年）是法國(guó)對(duì)函數(shù)論、方程式論和數(shù)論作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，他的工作為群論（一個(gè)他引進(jìn)的名詞）奠定了基礎(chǔ)；在父親自殺后，他放棄投身于數(shù)學(xué)生涯，注冊(cè)擔(dān)任輔導(dǎo)教師，結(jié)果因撰寫反君主制的文章而被開除，且因信仰共和體制而兩次下獄。伽羅華死于一次決斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，時(shí)年21歲。他被公認(rèn)為數(shù)學(xué)史上兩個(gè)最具浪漫主義色彩的人物之一。伽羅華1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)近世代數(shù)

研究各類代數(shù)系統(tǒng)（帶運(yùn)算或關(guān)系的集合）的結(jié)構(gòu)

2、伽羅瓦與伽羅瓦理論伽羅瓦(Galois)法國(guó)巴黎附近一座小鎮(zhèn)鎮(zhèn)長(zhǎng)的兒子1828年，17歲時(shí)把論文“關(guān)于五次方程的代數(shù)解法問(wèn)題”提交法蘭西科學(xué)院(1828,柯西;1830,富里葉;1831,泊松)考入巴黎高等師范學(xué)校因參加政治活動(dòng)而兩次入獄并被學(xué)校開除

2、伽羅瓦與伽羅瓦理論伽羅瓦(Galois)1832年4月出獄后不久在與人決斗時(shí)負(fù)重傷，5月31日上午10時(shí)去世14年后，1846年法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾(Liouville)從伽羅瓦的弟弟手中收集到一些尚未發(fā)表的手稿，陸續(xù)發(fā)表在自已創(chuàng)辦并主編的《理論數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》雜志上法國(guó)數(shù)學(xué)家,（1809—1882），劉維爾在1836年1月創(chuàng)辦《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journaldematématiquespuresetappli－quées)，并親自主持了前39卷的編輯出版工作(第1輯，1—20卷，1836—1855年；第2輯，1—19卷，1856—1874年)。該雜志刊登純粹、應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域所有分支的論文，記錄了19世紀(jì)中期的40年里數(shù)學(xué)活動(dòng)的一部分重要內(nèi)容，被后人稱為《劉維爾雜志》(Liou－ville′sJournal)。

劉維爾(JosephLiouville)2、伽羅瓦與伽羅瓦理論伽羅瓦(Galois)1852年起，有人首先讀懂了伽羅瓦的論文并弄清了他的思想1894年，狄德金(Dedekind,德國(guó)代數(shù)和數(shù)論專家)對(duì)伽羅瓦理論作了系統(tǒng)的闡述

1948年，阿丁(Artin)所寫的關(guān)于伽羅瓦理論的講義成為后人的樣版

19世紀(jì)后期，人們才認(rèn)識(shí)到伽羅瓦工作對(duì)于代數(shù)學(xué)劃時(shí)代的影響

狄德金尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916）又譯狄德金，最偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家、理論家和教育家，近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū)。據(jù)《辭?！?，戴德金還是格丁根大學(xué)哲學(xué)博士、柏林科學(xué)院院士。阿丁(Artin)Artin(1898～1962)奧地利數(shù)學(xué)家。阿丁前期工作主要是在類域論、實(shí)域理論、抽象代數(shù)等方面。在此期間，他和E.諾特以及他們的學(xué)派極大地推動(dòng)了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展。后期工作主要是在環(huán)論、伽羅瓦理論、代數(shù)數(shù)論中的類數(shù)問(wèn)題及拓?fù)鋵W(xué)的辮子理論方面。著作有《類域論》和《阿廷文集》。2、伽羅瓦與伽羅瓦理論伽羅瓦理論的基本思想關(guān)于域的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為域的自同構(gòu)形成的群的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行討論3、三個(gè)尺規(guī)作圖難題的代數(shù)證明

因用到域論和Galois理論的較多知識(shí)，故略去

四、代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史

1、二次方程★方程式：★求根公式：★發(fā)展階段：公元前20世紀(jì)------公元后12世紀(jì)四、代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史

2、三次方程

★方程式：★求根公式：★G.Cardano(Italian,1501-1576),N.Tartaglia(Italian,1499-1577)，Cardano（1501～1576）生于意大利Pavia，卒於羅馬，是意大利米蘭的學(xué)者?，F(xiàn)在我們稱三次方程的求根公式叫作「Cardano公式」，這公式其實(shí)不是Cardano發(fā)現(xiàn)的，而是他在1539年從別人那里騙到的，把它寫入《ArsMagna》（大衍術(shù)）書中。他有多方面的才干，曾寫過(guò)一本機(jī)率對(duì)局的書，這是有關(guān)機(jī)率論最早的一本書。他性喜賭博，因而對(duì)機(jī)率產(chǎn)生了興趣卡丹Cardano

四、代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史

3、四次方程

★方程式：★求根公式：略

★L(fēng).Ferrarri(Italian,1522-1565)

四、代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史

4、五次及五次以上方程

★方程式：★N.Abel(Norwegian,1802-1829)五次以上一般方程不能用根式求解★E.Galois(French,1811-1832)一個(gè)方程可用根式求解的條件四、代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史

5、線性方程組

★最早出現(xiàn)：巴比倫(公元前1900年)

★消元法：中國(guó)(公元前200年)---三元線性方程組★系統(tǒng)研究的開端：Leibnitz(1693)★Cramer法則(1750)

★Gauss消元法(1800)

★Gauss-Jordan消元法(1888)四、代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史

6、行列式★1693：Leibnitz解線性方程組時(shí)發(fā)現(xiàn)了行列式★1750：Cramer法則---用行列式表達(dá)的線性方程組解的公式★1800：Gauss使用行列式(Determinant)一詞★1812：Cauchy引入現(xiàn)代意義下的行列式，證明了行列式乘法定理★1890：Weierstrass引入行列式的公理化定義四、代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史

7、矩陣★1773：矩陣首次出現(xiàn)在Lagrange的工作★1848：Sylvester首次使用矩陣(matrix)一詞★1855：Cayley引入了矩陣的運(yùn)算★1878：Frobenius引進(jìn)