相似理論及應(yīng)用-part21相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法

第二章相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法

2.1定律分析法2.2方程分析法2.3量綱分析法

上一章已詳細(xì)論述了模型與原型構(gòu)成相似的條件；在本章中將討論怎樣才能實(shí)現(xiàn)相似．所謂相似準(zhǔn)則，是指為使模型現(xiàn)象與原型現(xiàn)象相似所必須滿足的條件，也就是模型設(shè)計(jì)及模型實(shí)驗(yàn)的基本準(zhǔn)則．根據(jù)相似第二定律，用模型與原型相似準(zhǔn)則相等的關(guān)系式，可求得模型實(shí)驗(yàn)遵守的條件．根據(jù)相似第三定律，可以將模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果整理成相似準(zhǔn)則間的函數(shù)式，以便將模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果推廣到原型中去．因此，必須找到相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法．

相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法有三：從理論上說(shuō)，三種方法可以得出同樣結(jié)果，只是用不同方法對(duì)物理現(xiàn)象作數(shù)學(xué)上的描述．定律分析法、方程分析法和量綱分析法緒論

條件：要求對(duì)所研究的現(xiàn)象充分運(yùn)用已掌握的全部物理定律，并能辨別其主次．

缺點(diǎn)：限于就事論事，看不出現(xiàn)象的變化過(guò)程和內(nèi)在聯(lián)系．對(duì)未能全部掌握其機(jī)理的、較為復(fù)雜的物理理象，運(yùn)用這種方法是不可能的，甚至無(wú)法找到它的近似解；

此外，常常會(huì)有一些物理定律，表面看去對(duì)于所討論的問(wèn)題關(guān)系并不密切，但又不宜妄加刪除，而必須通過(guò)實(shí)驗(yàn)找出各個(gè)定律間的制約關(guān)系，決定哪個(gè)定律對(duì)問(wèn)題說(shuō)來(lái)是主要的，這就為解決問(wèn)屬帶來(lái)不便．定律分析法

所說(shuō)方程，主要是指微分方程，此外也有積分方程，積分-微分方程，它們統(tǒng)稱為數(shù)理方程．

優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)嚴(yán)密，能反映現(xiàn)象最為本質(zhì)的物理定律，故在解決問(wèn)題時(shí)結(jié)論可靠，分析過(guò)程程序明確．分析步驟易于檢查，各種成分的地位一覽無(wú)遺，有利于推斷，比較和校驗(yàn)．但在方程尚處于建立階段時(shí)，需要對(duì)現(xiàn)象的機(jī)理有深入的認(rèn)識(shí)，在有了方程以后，由于運(yùn)算上的困難，也并非任何時(shí)候都能找到它的完整解，或者只能在一定假設(shè)條件下找出它的近似解，從而在某種程度上失去了原來(lái)的意義。方程分析法

所說(shuō)量綱分析法是在研究現(xiàn)象相似性問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)各種物理量的量綱進(jìn)行考察時(shí)產(chǎn)生的．

其理論基礎(chǔ)，是關(guān)于量綱齊次的方程的數(shù)學(xué)理論．

π定理一經(jīng)導(dǎo)出，便不再局限于帶有方程的物理現(xiàn)象．這時(shí)根據(jù)正確選定的參量，通過(guò)量綱分析法考察其量綱，可求得和π定理一致的函數(shù)關(guān)系式，并據(jù)此進(jìn)行相似現(xiàn)象的推廣．量綱分析的這個(gè)優(yōu)點(diǎn)．對(duì)于一切機(jī)理尚未徹底弄清，規(guī)律也未充分掌握的復(fù)雜現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，尤其明顯．量綱分析法定律分析法、方程分析法和量綱分析法三種方法中，方程分析法和量綱分析法目前應(yīng)用較為廣泛，其中又以量分析法為最常用。當(dāng)研究的對(duì)象過(guò)于復(fù)雜，不能列出微分方程時(shí)，量綱分析法往往成為獲得相似準(zhǔn)則的唯一方法．它是解決近代工程技術(shù)問(wèn)題的重要手段之一．與方程分析法比較，凡是能用量綱分析法的地方，不一定能用方程分析法，而能用方程分析法的地方，必定能用量綱分析法。

定律分析法也在許多情況可采用，并有時(shí)十分方便．在相似條件下，有時(shí)可將各種方法結(jié)合使用．三種導(dǎo)出方法比較

當(dāng)利用定律分析法導(dǎo)出其相似準(zhǔn)則時(shí)，前提是現(xiàn)象必須有可能利用這種方法解決問(wèn)題．而在有可能變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)的過(guò)程中，則需要考慮如何正確地選擇物理定律．開(kāi)始時(shí)，由于人們對(duì)現(xiàn)象機(jī)理認(rèn)識(shí)不足，可以先預(yù)想一些適用于現(xiàn)象的物理定律，對(duì)它們作出某種假設(shè)，然后通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證它們對(duì)現(xiàn)象的適用程度．這就有必要在同樣物理定律的指導(dǎo)下，將模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果同原型所得結(jié)果加以比較，確定那些在模型和原型上能很好地取得一致的物理定律，它們作為適用的物理定律加以肯定．這個(gè)過(guò)程對(duì)于陌生的物理現(xiàn)象，常常需要反復(fù)地進(jìn)行，直到找到對(duì)現(xiàn)象適用的全部必要的物理定律．第二章相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法2.1定律分析法

一、應(yīng)用前提與條件適用于現(xiàn)象的任何物理定律都不是孤立的，各個(gè)物理定律表現(xiàn)在同一現(xiàn)象上有著密切的聯(lián)系，只有在總體效果上滿足相似性的時(shí)候，才能說(shuō)其中的某個(gè)定律是適用的．

適用的物理定律并不一定都是主要的．為了簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)過(guò)程．突出主要矛盾，暴露現(xiàn)象本質(zhì)，還應(yīng)通過(guò)實(shí)驗(yàn)剔除一些次要的物理定律．

一、應(yīng)用前提與條件2.1定律分析法

pro:建立一模型，以預(yù)測(cè)原型粱自由振動(dòng)的衰減時(shí)間

5分析：梁自由振動(dòng)現(xiàn)象的物理定律，必須包括：①由于梁處于振動(dòng)狀態(tài)，考慮牛頓慣性定律；②由于梁受到由彎曲而產(chǎn)生阻力，考慮虎克彈性定律；③由于振動(dòng)是衰減的，須考慮關(guān)于材料的內(nèi)部摩擦定律．為此，粱的振動(dòng)過(guò)程與慣性力，彈性力及內(nèi)摩擦有關(guān)．故本例應(yīng)利用這三方面的物理定律．

二、實(shí)例一2.1定律分析法

pro:建立一模型，以預(yù)測(cè)原型粱自由振動(dòng)的衰減時(shí)間

5

二、實(shí)例2.1定律分析法

pro:建立一模型，以預(yù)測(cè)原型粱自由振動(dòng)的衰減時(shí)間

5

二、實(shí)例2.1定律分析法

pro:建立一模型，以預(yù)測(cè)原型粱自由振動(dòng)的衰減時(shí)間

5

二、實(shí)例2.1定律分析法由上述牛頓慣性定律、虎克彈性定律、材料的內(nèi)部摩擦定律得出的三個(gè)式中，只有第一式含時(shí)間t，故將該式除以其它兩式，可得兩個(gè)有用的π項(xiàng)為

二、實(shí)例2.1定律分析法上式表明在上例中，所得的相似準(zhǔn)則π1，π2，在模型、原型采取同樣材料的情況下，都能得到

所示的結(jié)果，說(shuō)明這三個(gè)定律在現(xiàn)象上是相互聯(lián)系的，而現(xiàn)象選擇這三個(gè)定律也是正確的．但同時(shí)可看到，為求得本例解答，式與所代表的物理定律，有一個(gè)是多余的．顯然，只有充分掌握理象機(jī)理，才能在一開(kāi)始就掉除這一多余的物理定律，使問(wèn)題的分析過(guò)程簡(jiǎn)化．

二、實(shí)例2.1定律分析法

二、實(shí)例二2.1定律分析法

pro:假定做6kg烤肉需要3小時(shí)，問(wèn)同一溫度的爐子3kg烤肉需花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間？5

pro:假定做6kg烤肉需要3小時(shí)，問(wèn)同一溫度的爐子3kg烤肉需花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間？5解：控制該現(xiàn)象的物理定律是熱傳導(dǎo)及由熱量積蓄而引起的溫升。①傳給單位質(zhì)量肉的熱量遵循的物理定律可寫(xiě)為：②溫升單位質(zhì)量肉內(nèi)積蓄的熱量可按如下物理定律

二、實(shí)例二2.1定律分析法K為導(dǎo)熱率[L-1T-1QΘ-1]θ為溫度[Θ]C為比熱[L2T-2Θ-1]ρ為密度[L-5T2Q]

用方程分析法導(dǎo)出相似準(zhǔn)則的方法：相似轉(zhuǎn)換法、積分類(lèi)比法

第二章相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法2.2方程分析法

一、相似轉(zhuǎn)化法kμYpro:“彈簧-質(zhì)量-阻尼”系統(tǒng)，假定借助模型來(lái)研究決定位移Y的參量Y是時(shí)間t的函數(shù)

一、相似轉(zhuǎn)化法2.2方程分析法（1）（2）（3）（4）

一、相似轉(zhuǎn)化法將上式則：（5）（6）（7）2.2方程分析法作相似變換時(shí)，為了保持基本微分方程(5)和(6)的一致性，式(7)各項(xiàng)的系數(shù)必須彼此相等，即

一、相似轉(zhuǎn)化法（9）（10）（11）2.2方程分析法5．將相似常數(shù)表達(dá)式代入相似指標(biāo)中，從而獲得相似準(zhǔn)則即將式(2)～(4)所表示的相似常數(shù)值代入式(9)～(11)，即可求得相似準(zhǔn)則式，即一、相似轉(zhuǎn)化法2.2方程分析法

二、積分類(lèi)比法（1）（18）（19）2.2方程分析法

二、積分類(lèi)比法（18）、（19）（20）（21）（20）（21）2.2方程分析法

二、積分類(lèi)比法上式（21）（23）（24）（23）、（24）步驟3中2.2方程分析法2.積分類(lèi)比法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

在應(yīng)用積分類(lèi)比法時(shí)，需要進(jìn)一步從理論上闡明的一個(gè)問(wèn)題是：為什么導(dǎo)數(shù)可以用相應(yīng)量的比值替代？二、積分類(lèi)比法則2.2方程分析法二、積分類(lèi)比法根據(jù)上述22.2方程分析法二、積分類(lèi)比法由以上方程分析法推導(dǎo)相似準(zhǔn)則的過(guò)程中可以看出，只有當(dāng)已知描述現(xiàn)象的方程式的具體形式時(shí)，才能用這種方法導(dǎo)出相似準(zhǔn)則。

2.2方程分析法第二章相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法2.3量綱分析法量綱分析法是用于尋求一定物理過(guò)程中，相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對(duì)于正確地分析、科學(xué)地表達(dá)物理過(guò)程是十分有益的。量綱分析法

量綱分析法是根據(jù)量綱齊次性原理尋求物理量之間函數(shù)關(guān)系的一種方法，也可以得出相似準(zhǔn)則。量綱分析法有兩種：雷利法和π定理雷利法解題步驟：找出影響問(wèn)題的物理量，并用它們寫(xiě)出假擬的指數(shù)方程；以對(duì)應(yīng)的量綱代替方程中的物理量本身，并根據(jù)量綱和諧性原理求出各物理量的指數(shù)，整理出最后形式。Π定理對(duì)于某個(gè)物理現(xiàn)象或過(guò)程，如果存在有n個(gè)變量互為函數(shù)關(guān)系，

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