第14章結構的彈性穩(wěn)定計算

結構力學

第14章結構的彈性穩(wěn)定計算主要內容1基本概念2臨界荷載的確定3等截面直桿的臨界荷載4變等截面直桿的臨界荷載5偏心受壓直桿的穩(wěn)定6剪力對臨界荷載的影響7組合壓桿的穩(wěn)定8剛架的穩(wěn)定計算§14.1引言在材料力學中，已經討論了中心受壓桿的穩(wěn)定問題Fpl圖1(1)當時，壓桿處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)特點：

當有微小橫向干擾力時，壓桿發(fā)生彎曲，當撤消該橫向干擾力時，壓桿又恢復直線平衡狀態(tài)。(2)當時，壓桿處于隨遇或稱中性的平衡狀態(tài)特點：當有微小橫向干擾力時，壓桿發(fā)生彎曲，當撤消該橫向干擾力時，壓桿仍處于彎曲狀態(tài)，并在此彎曲狀態(tài)下保持新的曲線平衡狀態(tài)。(3)當時，壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)特點：當有微小橫向干擾力時，壓桿將發(fā)生很大的彎曲，直至破壞。這一現象稱為壓桿喪失第一類穩(wěn)定性。

除了壓桿外，其它的一些結構也會存在第一類穩(wěn)定問題，如q受均布外壓的圓柱殼Fp剛架結構瘦高薄壁構件除了第一類穩(wěn)定問題之外，還存在所謂的第二類穩(wěn)定問題Fp圖2(1)

當時，壓桿的撓度隨著Fp的增大而增加（不一定是線性的）(2)

當時，即使Fp不增大，壓桿的撓度可持續(xù)增加。此時稱壓桿喪失了第二類穩(wěn)定。由上可知，第二類穩(wěn)定問題的特征為：平衡形式不發(fā)生改變，結構失穩(wěn)是由于喪失了繼續(xù)承載能力。

不論是第一類穩(wěn)定問題還是第二類穩(wěn)定問題，在工程中都是不容許發(fā)生的。因為它們或是不能保持結構原有的工作狀態(tài)，或是喪失了繼續(xù)承載的能力，都將導致結構破壞。因此，在工程結構設計中僅考慮強度條件是不充分的，對于受壓構件或結構還應進行穩(wěn)定校核。

在本章中，主要討論在彈性范圍內結構的第一類穩(wěn)定問題，在結構力學中，穩(wěn)定計算的中心問題是確定臨界荷載。§14.2確定臨界荷載的能量法

確定受壓構件的臨界荷載的方法很多，最基本也是最重要的方法是靜力法和能量法。靜力法在材料力學中已講過，在本節(jié)中介紹能量法。

靜力法在確定壓桿臨界荷載時常常會遇到一些困難，如當微分控制方程為變系數時，無法得到方程的解；邊界條件較復雜時，導出的特征行列式是高階的求解困難等。在這些情況下采用能量法具有較大的優(yōu)勢。勢能駐值原理

在彈性結構（線性或非線性的）的一切可能位移中，真實的位移使結構的總勢能為駐值，即（14-1）上式中，U為結構應變能，T為外力功（為荷載勢能）。

應當注意，所謂的“可能位移”是指滿足結構變形協調條件的各種位移。真實位移則不僅滿足結構變形協調條件，而且滿足結構平衡條件。因此，（14-1）式實際上就是能量形式的平衡條件。即（14-1）式是彈性體系處于平衡的充要條件。

但是在上節(jié)提到，平衡又分穩(wěn)定平衡、中性平衡和不穩(wěn)定平衡三種形式。下面通過一個單自由度體系，直觀說明三種平衡形式的特點。如圖3所示彈性支承上的剛性桿，頂端水平彈性支承的剛度系數為k，取初始位置為參考狀態(tài)yFp圖3l則體系的總勢能為∵∴討論：（1）當時，若y≠0，則Ep恒大于零。此時稱體系是正定的。此時總勢能取得駐值必為極小值。體系處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這就是最小勢能原理，即對于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，真實的位移使體系的總勢能Ep為極小值。總勢能與y的關系如圖(a)所示yEp(a)（2）當時，若y≠0，則Ep恒小于零。此時稱體系是負定的。此時總勢能取得駐值必為極大值?？倓菽芘cy的關系如圖(b)所示，體系處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。在y=0處有橫向干擾力作用，就會迅速傾覆。yEp(b)（3）當時，總勢能Ep恒為零?？倓菽芘cy的關系如圖(c)所示，體系處于中性的平衡狀態(tài)。稱處于這一臨界狀態(tài)的荷載為臨界荷載，記。此時，在y=0處有微小的橫向干擾力作用，會體系在新的傾斜位置上維持新的平衡。yEp(c)

以上討論最簡單的單自由度體系情況，對于多自由度體系或彈性體情況要復雜些，但下面的結論是共性的當體系處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)時，其總勢能必為極小值。當體系處于中性的平衡狀態(tài)時，其總勢能增量必為零。利用上述結論，可以確定體系的臨界荷載由得（14-2）如果已知臨界狀態(tài)體系的變形或位移，代入上式即可確定體系的臨界荷載。若是近似的變形或位移，則所求得的臨界荷載為近似值。假如體系的自由度大于1，則滿足(14-2）式的Fp值不止一個，其中最小者就是所求的臨界荷載，即（14-3）上式就是能量法確定臨界荷載的基本依據。下面椐此推導受壓直桿穩(wěn)定（屬于無限自由度體系）問題的臨界荷載具體形式。如圖5所示彈性直桿Fp圖5yx當達到臨界狀態(tài)時，則對于任一可能位移有上式中為壓桿彎曲后，所增加的應變能（壓縮變形能在初始狀態(tài)也存在）。由于處于中性平衡狀態(tài)，給桿一個微小的彎曲變形，則∵∴dsdsdx又∵∴(14-4)例1

如圖示壓桿，用能量法求其臨界荷載。Fpl解在材料力學中，已求得臨界荷載的精確解為yx設：彈性失穩(wěn)曲線為該曲線滿足全部的位移和力的邊界條件?！摺嗌鲜鼋Y果表明，所設彈性失穩(wěn)曲線恰好為真實的失穩(wěn)曲線，故所得結果為精確解。如設彈性失穩(wěn)曲線為懸臂梁的撓曲線，即可以求得這個近似解比精確解大約1.3%例2

如圖示兩端鉸支壓桿，用能量法求其臨界荷載。Fpl解在材料力學中，已求得臨界荷載的精確解為yx設：彈性失穩(wěn)曲線為該曲線滿足全部的位移和力的邊界條件?！摺嗌鲜鼋Y果表明，所設彈性失穩(wěn)曲線恰好為真實的失穩(wěn)曲線，故所得結果為精確解。如設彈性失穩(wěn)曲線為簡支梁的撓曲線，即可以求得這個近似解比精確解大約0.1%

前面討論了最簡單情況（等截面兩端剛性支承）壓桿臨界荷載確定方法。對于一般情況，一個函數并不能很好地反映失穩(wěn)曲線，此時，可采用級數解答。設：彈性失穩(wěn)曲線為（14-5）上式中，i(x)為滿足給定位移邊界條件的已知函數，ai為待定系數。

在實際計算時，一般只能求出臨界荷載的近似值，彈性失穩(wěn)曲線也很難找出精確表達式，因此，（14-5）式只能取有限項。設取前n項將其代入臨界荷載公式得這樣就把求臨界荷載問題轉變?yōu)榍驠p的極值問題。Fp的極值條件為令：則由于B≠0，A/B=Fp

，則上式可改寫為因為則Fp的極值條件可改寫為（14-6）其中（14-6）式是關于ai(i=1,2…n)的n階齊次線性方程組，有非零解的條件為（14-7）

將上式展開，即得一個關于Fp的n次代數方程，它有n個正實根，最小的一個即為所求的臨界荷載Fpcr

§14.3等截面直桿的臨界荷載

一剛性支承上等截面直桿的臨界荷載

常見的等截面直桿在剛性支承上的臨界荷載在材料力學中已求出，歸納如下為長度系數Fp=1lFp=2Fp=0.7Fp=0.5Fp=1二彈性支承上等截面直桿的臨界荷載

工程中經常會遇到彈性支承上的壓桿，對于該類壓桿穩(wěn)定問題的求解方法與剛性支承上的壓桿一樣，只是要復雜些。如圖示壓桿，采用靜力法求其臨界荷載。Fplkyx由得(a)其中(a)式的解為上式中A、B、為待定常數，由邊界條件確定由得(b)由得(c)由得(d)由(b)、(c)、(d)組成的關于未知量A

、B、的齊次線性方程組，有非零解的條件為將上式展開整理得或這就是所求的穩(wěn)定方程，解此超越方程即可獲得臨界荷載。對于一些工程中的簡單結構的穩(wěn)定問題可簡化為此模型。如FpkFp1kkFp1kFpEA=三豎直桿在自重作用下的穩(wěn)定如圖所示結構，在自重作用的穩(wěn)定性分析已有級數形式（-1/3階貝塞爾函數）的精確解。qlxya下面采用能量法求其近似解。設：則下面計算外力功，取出微段dx，則該微段因彎曲引起的軸向下降距離為dsdsdx于是該微段上部重量所做的功為則全部自重所做的功為由得這個近似解比精確解大約5.9%若取級數的前兩項可以求得這個近似解僅比精確解大約0.013%，精度顯著提高?！?4.4變截面直桿的臨界荷載

下面用靜力法討論階梯壓桿的臨界荷載，如圖所示階梯壓桿l1l2lEI1EI2xy令上部壓桿任一截面的側移為y1，下部壓桿任一截面的側移為y2。則這兩部分壓桿的撓曲控制方程為(a)(a)式的解為(b)其中上述解共含有A1、B1、A2、B2和五個待定量，它們可由邊界條件確定由得(c)由得(d)由得(e)由得(f)由得(g)由上述5式組成的關于A1、B1、A2、B2和的齊次線性方程組，有非零解的條件為其系數矩陣的行列式為零，即展開得利用l=l1+l2及相應的三角函數公式上式整理可得或這就是所求的穩(wěn)定方程，解此超越方程即可獲得臨界荷載。對于其它形式的變截面壓桿可采用類似的方法處理，也可采用能量法求其近似解。結構力學

第14章結構的彈性穩(wěn)定計算主要內容1基本概念2臨界荷載的確定3等截面直桿的臨界荷載4變等截面直桿的臨界荷載5偏心受壓直桿的穩(wěn)定6剪力對臨界荷載的影響7組合壓桿的穩(wěn)定8剛架的穩(wěn)定計算§14.5偏心受壓直桿的穩(wěn)定

如圖所示等截面直桿，受偏心壓力Fp作用。Fpleyx

建立如圖所示坐標系則任一截面的彎矩為彈性曲線的近似微分方程為或(a)其中(a)式的解為(b)其中A、B為待定常數，由邊界條件確定由得由得因此，(c)由上式可知，當nl=時，除了x=0,l截面外，y。此時的荷載即為臨界荷載。故與中心受壓桿臨界荷載相同。對于梁中點的撓度，由(c)式（x=l/2）得yl/2Fp關系曲線如圖所示。Fpyl/2e=0Fpeyl/2Fp關系曲線e1e2e2>e1>0Fpyl/2e=0Fpeyl/2Fp關系曲線e1e2e2>e1>0由圖可知(a)

yl/2Fp關系曲線是非線性的；是yl/2Fp關系曲(b)線的漸進線；(c)e愈大，曲線偏離漸進線愈大。必須指出，上述結論只是理論上的，因為假定變形是線彈性、小變形的與真實情況相差較大。實際情況如下圖所示，當時Fp<Fpe，壓桿已喪失了穩(wěn)定。Fpyl/2e=0Fpe真實yl/2Fp關系曲線e1e2e2>e1>0§14.6剪力對臨界荷載的影響

如圖所示壓桿xyFpl設：yM表示彎矩所產生的撓度，yQ表示由于剪力影響所產生的附加撓度。則對上式兩邊求兩次導得(a)由撓曲線近似微分方程得(b)剪力引起的桿軸線附加角位移為由第6章知，（k為截面形狀系數）則由上式得(c)又∵∴(d)把(b)、(d)代入(a)整理可得(e)其中(e)(e)式的解為(f)由得由得最小值為ml=，由此得臨界荷載為(g)由上式可解得式中無剪力影響時的歐拉臨界荷載對于鋼材，G=80GPa，歐拉臨界應力e=200MPa，則

說明在實體結構中，剪力的影響是很小的，通?？陕匀ゲ挥嫛Ｒ部刹捎媚芰糠▉碛懻摷袅Φ挠绊?，設彈性曲線為取無彎曲狀態(tài)勢能為零，則∵∴外力功為由得即結果相同?！?4.7組合壓桿的穩(wěn)定問題

常見的組合壓桿有綴條式和綴板式兩種，如圖所示。綴條式綴板式FpFp

綴條式組合壓桿綴條是由斜桿和橫桿組成，一般采用單個角鋼，它們與主要構件（兩邊槽鋼）的連接一般可看作鉸接。

綴板式組合壓桿一般情況下無斜桿，綴板與主要構件（兩邊槽鋼）的連接一般看作剛接。

關于組合壓桿的臨界荷載精確解目前還沒有，這一問題的近似解是由鐵摩辛柯（S.PTimoshenko）提出的。一綴條式組合壓桿

取出一個節(jié)間綴條式組合壓桿如圖所示。FQ=1FQ=1dbApAq①②③則在單位力FQ=1作用下，綴條變形產生的剪變形為式中11為FQ=1時，沿其方向上所引起的位移。由于各桿鉸接。則在綴條式組合壓桿中，剪力主要由綴條承擔，因此，上式計算時僅考慮綴條的影響?！咻S力：∴則在上節(jié)中曾推導了剪力對臨界荷載的影響，結論為其中為單位剪力作用時所產生的剪變形。用代替，即可得近似的綴條式組合壓桿的臨界荷載公式為式中注意：在計算歐拉臨界荷載時，I只需考慮兩邊主要構件（如槽鋼）對形心的慣性矩即可，不必考慮綴條，因綴條承擔剪力。二綴板式組合壓桿

綴板式組合壓桿可視為單跨雙層剛架。并近似地認為主要構件的反彎點在節(jié)間中間，取出一節(jié)如圖所示。d/2bIbd/2Id1/21/21/21/2則在單位力FQ=1作用下，綴板變形產生的剪變形為式中11為FQ=1時，沿其方向上所引起的位移。圖因此與綴條式組合壓桿推導相同，可得其中從2的表達式可以看出，2隨著間距d的減小而增大，當d=0時，2=1與實體結構相同。

在一般情況下，綴板的剛度要比主要構件（如兩邊的槽鋼）大的多，因此，可取EIb=∞，于是臨界荷載計算公式可近似地簡化為§14.8剛架的穩(wěn)定計算

這里僅考慮剛架在結點處承受集中荷載且結構喪失穩(wěn)定前各桿只有軸向變形而無彎曲變形的情況。在此條件下，剛架失穩(wěn)屬于第一類穩(wěn)定問題。如圖所示承受結點荷載作用剛架Fp2Fp1當荷載達到臨界值時，在微小的干擾力作用下，將產生彎曲變形，當干擾力撤除后，并在新的彎曲變形狀態(tài)下維持平衡。

確定結構臨界荷載，一般而言，采用位移法較為方便。其基本原理與第8章基本相同，所不同之處是在轉角位移方程中增加考慮軸力的影響。一考慮軸力影響的等截面直桿轉角位移方程

FplFpABEI取出受壓直桿如圖所示FpAB(a)FpFQABFQBAMABMBAxy由得任一截面的彎矩為則彈性曲線的微分方程為(a)令：則(a)式整理得(b)(b)式的通解為(c)上式四個待定量C1、C2、MAB和FQ由邊界條件確定由得(d)由得(e)由得(f)由得(g)注意到，利用上述四式可解得（14-8）上式中，i為線剛度，、、和為考慮軸向力效應的修正系數。容易證明（應用洛畢塔法則），當Fp0，u0時此時為普通情況下的轉角位移方程。二討論：若A端鉸支，B端固定

如圖所示FplFpABEIFpBFpFQABFQBAMBAxy此時有MAB=0在（14-8）式的第一式令MAB=0得（14-8）將其代回（14-8）式的第二、三式得（14-9）其中：（14-