茆詩松概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)12第一章12

§1.2概率的定義及其確定方法1.概率的公理化定義2.排列與組合公式3.確定概率的頻率方法4.確定概率的古典方法5.確定概率的幾何方法6.確定概率的主觀方法（自學(xué)）學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握概率的公理化定義2.掌握排列和組合公式3.熟練掌握概率的古典方法、幾何方法4.了解計(jì)算概率的頻率方法非負(fù)性：規(guī)范性：設(shè)為可測空間與之對(duì)應(yīng),且滿足若存在實(shí)數(shù)①②③可列可加性：對(duì)兩兩不相容的事件列有則稱為事件的概率,稱概率空間.為？樣本空間某些子集組成的事件域可列可加性1933年蘇聯(lián)的柯爾莫哥洛夫提出概率論的公理化體系一、概率的公理化定義定義1乘法原理第一步有

種方法第二步有

種方法

第步有

種方法……做一件事共有

個(gè)步驟完成這件事的方法總數(shù)二、排列與組合加法原理第一類方式有

種方法第二類方式有

種方法

第

類方式有

種方法……做一件事共有

類方式完成這件事的方法總數(shù)選排列當(dāng)

時(shí)，稱為全排列，計(jì)算公式為從

個(gè)不同的元素中,任取

個(gè)元素,按照一定的順序排成一列，全部排列個(gè)數(shù)為全排列重復(fù)排列從n個(gè)不同的元素中,每次取出一個(gè)，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列，重復(fù)排列數(shù)為取數(shù)與次序有關(guān)排列的特點(diǎn)組合從

個(gè)不同的元素中,任取

個(gè)元素并成一組，全部組合數(shù)為取數(shù)與次序無關(guān)組合的特點(diǎn)可重復(fù)組合（不講）頻率是否有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性設(shè)為一隨機(jī)事件,在相同條件下進(jìn)行

次重復(fù)試驗(yàn),令次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),稱為事件的頻數(shù)為事件的頻率.在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生特性：一般地越大,則越大;的值是“隨機(jī)的”;問？三、確定概率的頻率方法實(shí)驗(yàn)者實(shí)例一出現(xiàn)正面歷史上有名的“拋硬幣”試驗(yàn)

0.5005

12012

24000皮爾遜

0.5016

6019

12000皮爾遜

0.5069

2048

4048蒲豐

0.5181

1061

2048德·摩根問有什么規(guī)律？“拋硬幣”試驗(yàn)將一枚硬幣連續(xù)拋次，記考察英語文章中26個(gè)字母出現(xiàn)的頻率，當(dāng)觀察次數(shù)較大時(shí)，每個(gè)字母出現(xiàn)的頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性，下面是

Dewey

統(tǒng)計(jì)了438023個(gè)字母得到的統(tǒng)計(jì)表實(shí)例二0.00060.00090.00100.00160.0060頻率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244頻率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594頻率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268頻率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060頻率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244頻率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594頻率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268頻率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060頻率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244頻率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594頻率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268頻率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母由于頻率的取值是“隨機(jī)的”，那么極限

是什么意思值得研究（后面第四章討論該問題）.頻率的穩(wěn)定性當(dāng)

很大時(shí),事件的頻率接近一個(gè)常數(shù),即有注①②常數(shù)

就是事件

發(fā)生的可能性大小,即概率.四、古典概型(ClassicalProbability)

具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)稱為古典概型,也稱為等可能概型.若隨機(jī)試驗(yàn)滿足:(1)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè);(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.樣本點(diǎn)總數(shù)包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù)的有利場合數(shù)確定概率的古典方法:拋兩枚硬幣，求出現(xiàn)一個(gè)正面一個(gè)反面的概率.該試驗(yàn)的樣本空間為他計(jì)算得這是一個(gè)古典概型,事件“一個(gè)正面一個(gè)反面”的有利場合是18世紀(jì)著名的法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾取樣本空間為這不是等可能概型！小趣聞例1解：說明：（1）當(dāng)樣本空間元素很多時(shí)，不需將中的元素一一列出，只須分別計(jì)算出試驗(yàn)E的基本事件總數(shù)和A包含的基本事件總數(shù)；（2）若各基本事件不具備等可能性，不能用古典概率公式計(jì)算事件A的概率。例2

設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。n=C52,k=C31C21,P(A)=C31C21/C52=0.6.解:

設(shè)A={取到一紅一白},

一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k白球的概率是例3

設(shè)N件產(chǎn)品中有K件次品，N-K件正品,K<N.現(xiàn)從N件中每次任意抽取1件產(chǎn)品，檢查解

由于每次都是從N件產(chǎn)品中任意取出一件，每次都有N種取法.由乘法原理，n次共有Nn種取法，且每種取法出現(xiàn)的可能性相同.故基本事件總數(shù)為Nn；同理,每次從K件次品中取出一件,取k次,共有種取法；其是正品還是次品后放回；這樣共抽檢產(chǎn)品n次.求事件A={所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品}的概率，k=0,1,2,…,n.從K件次品中取出k件，共有Kk種取法；從N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k種取法.由于k件次品出現(xiàn)在n次中的方式有Cnk種,故由乘法原理，共有CnkKk(N-K)n-k種取法。故A中基本事件個(gè)數(shù)為CnkKk(N-K)n-k，因此有在上式中，令p=K/N，則有

這是后面要學(xué)的二項(xiàng)分布的概率公式.解:把a(bǔ)只黑球b只白球視為可分辨的.把a(bǔ)+b只球摸出來依次排在一直線的a+b個(gè)位置上,則可能的排列法相當(dāng)于把a(bǔ)+b個(gè)元素進(jìn)行全排列,即基本事件總數(shù)為n=(a+b)!.而有利于事件Ak的場合相當(dāng)于在第k個(gè)位置上放一個(gè)黑球(共有a種選擇),而在其余的a+b-1個(gè)位置上,由其余的a+b-1個(gè)球任意排列,共有m=a(a+b-1)!種排法.所以例4袋中有a只黑球,b只白球.它們除了顏色不同外,其它方面全同.現(xiàn)在隨機(jī)地把球一只只摸出來,求第k次摸出的一只是黑球(事件Ak)的概率.與k無關(guān)例5

(盒子模型):把n個(gè)大小相同的球隨機(jī)放到(1)A=“某指定的n個(gè)盒子各有一球”;個(gè)盒子中去.試求下列各事件的概率.(2)B=“恰有n個(gè)盒子,其中各有一球”;(3)C=“某指定的盒子恰有個(gè)球”。解

很多問題可以歸結(jié)為盒子模型.球---粒子，盒子----相空間中的小區(qū)域,則這個(gè)問題相應(yīng)于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的馬克斯威爾·波爾茨曼（Maxwell-Boltzmann）統(tǒng)計(jì).盒子模型的應(yīng)用實(shí)例概率論歷史上有名的問題---生日問題參加某次聚會(huì)共

個(gè)人,求至少有兩人生日相同的概率.分析只球個(gè)人個(gè)人生日各不相同,則天個(gè)盒子至少有兩人生日相同結(jié)果有點(diǎn)出乎人們意料注記

在實(shí)際應(yīng)用中，概率非常接近1的事件可近似地看成必然事件，稱為幾乎必然事件.概率非常小的事件，稱為小概率事件.實(shí)際推斷原理:小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的.五、確定概率的幾何方法設(shè)樣本空間Ω為一有界幾何體，事件A包含于Ω,用L表示幾何體的測度.注:當(dāng)幾何體為一線段時(shí)，測度為長度；當(dāng)幾何體為平面上的某一區(qū)域時(shí)，測度為面積；當(dāng)幾何體為空間的某一區(qū)域時(shí)，測度為體積.定義：設(shè)事件A為樣本空間Ω中的某個(gè)子區(qū)域，如果它的測度為L(A)，且任意點(diǎn)落入A中的可能性大小與L(A)成正比，而與A的位置及形狀無關(guān),則事件A的概率為

P(A)=L(A)/L(Ω)這一類概率通常稱作幾何概率.

解:以x,y分別表示甲乙兩人到達(dá)的時(shí)刻,那末

0xT,0yT.

若以x,y表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，則：

例6(會(huì)面問題)甲乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi)在某處會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲,乙兩人能會(huì)面的概率.（1）所有基本事件可以用一邊長為T正方形內(nèi)所有點(diǎn)表示.

（2）兩人能會(huì)面的條件是

|x-y|t

.由等可能性知，是幾何概型問題，所以

OtTxx-y=ty-x=ttTA

例7(Buffon投針問題)1777年法國科學(xué)家蒲豐提出了下列著名問題，這是幾何概率的一個(gè)早期例子.平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等于a，向此平面任投一長度