大學(xué)物理剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

1、剛體的運(yùn)動(dòng)平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。5-1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述轉(zhuǎn)動(dòng)：對(duì)點(diǎn)、對(duì)軸（只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線（轉(zhuǎn)軸）上。各質(zhì)元的線量一般不同（因?yàn)榘霃讲煌┑橇浚ń俏灰?、角速度、角加速度）都相同。剛體內(nèi)所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸剛體在討論問題時(shí)可以忽略由于受力而引起的形狀和體積的改變的理想模型。物體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離都保持不變?？梢詫⑽矬w簡(jiǎn)化為剛體的兩種情況：1）物體不變形。2）物體各部分間相對(duì)活動(dòng)范圍很小(此時(shí)物體的變形顯得并不重要)。第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量最方便。既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)5-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律(一)、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面(2)轉(zhuǎn)動(dòng)平面(1)方向如圖對(duì)mi用牛頓第二定律：切向分量式為：Fisini+fisini=miait外力矩內(nèi)力矩(二)、轉(zhuǎn)動(dòng)定律zOrifiFimiii兩邊乘以riait=ri對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和：一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零，所以有令J＝∑miri2J(或I）為剛體對(duì)于定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用M表示合外力矩則有M＝J只與剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律（第二轉(zhuǎn)動(dòng)定律）剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積?！艶isini+∑fisini

=(∑miri2)∑Fisini

=（∑miri2）M＝J與地位相當(dāng)m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，

J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性(三)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀實(shí)質(zhì)與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的只有前兩個(gè)因素。形狀即質(zhì)量分布，與轉(zhuǎn)軸的位置結(jié)合決定轉(zhuǎn)軸到每個(gè)質(zhì)元的矢徑。力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。J＝∑miri2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的第一轉(zhuǎn)動(dòng)定律：如果剛體不受到力矩作用，剛體將保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)平衡狀態(tài)即若M＝0

則=0，ω=C若質(zhì)量連續(xù)分布在（SI）中，J的單位：kgm2質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布注意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。ROdm2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。3、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx平行軸定理前例中JC表示相對(duì)通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，JA表示相對(duì)通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡和茝V上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有：J＝JC＋md2。這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理。右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、圓半徑為R）(四)、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例１、一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。mg解：例2、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)在要制動(dòng)飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對(duì)輪子的壓力N為多大？F0解：飛輪制動(dòng)時(shí)有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。0Nfr例3、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對(duì)O的力矩。棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，重力矩為：XOdmgdmx重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。mgCdmgXOdmxc5-3剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理（一）、力矩的功稱為力矩的功。力矩作功是力作功的角量表達(dá)式xOPd(二)、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體上所有質(zhì)元的動(dòng)能之和為：(三)、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能變化的原因可以用力矩做功的效果來解釋。上式即為：合外力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理(四)、剛體的重力勢(shì)能hhihcxOmCm一個(gè)質(zhì)元：整個(gè)剛體：一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能。對(duì)于含有剛體的系統(tǒng),如果在運(yùn)動(dòng)過程中只有保守內(nèi)力作功,則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。例１、一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：上次的例題另解如下：5-4

角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）Om1.用叉積定義角動(dòng)量vrma角動(dòng)量方向角動(dòng)量大小方向用右手螺旋法規(guī)定mOOm質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)圓心的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量p和矢徑r不互相垂直2.直角系中角動(dòng)量的分量式二、力對(duì)定點(diǎn)的力矩質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理o方向用右手螺旋法規(guī)定1.力對(duì)定點(diǎn)的力矩2.直角系中力矩的分量式*微分公式角動(dòng)量定理3.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理*直角系中角動(dòng)量定理的分量式(質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理)（*質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律)沖量矩三、角動(dòng)量守恒定律----->m開普勒第二定律行星對(duì)太陽的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。這個(gè)結(jié)論也叫等面積原理。行星受力方向與矢徑在一條直線（中心力），故角動(dòng)量守恒。若渦旋星系四、剛體的角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律(一)、剛體的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為：剛體上的一個(gè)質(zhì)元,繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為：所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為：(二)、剛體的角動(dòng)量定理轉(zhuǎn)動(dòng)定律沖量矩（角沖量）表示合外力矩在t0t時(shí)間內(nèi)的累積作用。作用在剛體上的沖量矩等于其角動(dòng)量的增量。角動(dòng)量定理單位：牛頓·米·秒J改變時(shí)(三)、角動(dòng)量守恒定律

M=0的原因，可能F＝0；r=0;F∥r.在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中還有M≠0，但它與軸平行，即Mz=0,對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)沒有作用，則剛體對(duì)此軸的角動(dòng)量依然守恒。當(dāng)物體所受的合外力矩為零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變。應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。例1、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長(zhǎng)為l,質(zhì)量為M.解:以f代表棒對(duì)子彈的阻力,對(duì)子彈有:子彈對(duì)棒的反作用力對(duì)棒的沖量矩為：因,由兩式得v0vmM請(qǐng)問:子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎?為什么?總角動(dòng)量守恒嗎?若守恒,其方程應(yīng)如何寫?例3、如圖所示，將單擺和一等長(zhǎng)的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時(shí)直桿自然下垂，將單擺的