第八章 非正弦周期性電路

第8章非正弦周期電流電路2.非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率

重點(diǎn)3.非正弦周期電流電路的計(jì)算1.周期函數(shù)分解為付里葉級(jí)數(shù)2/1/202318.1非正弦周期電流電路的基本概念

生產(chǎn)實(shí)際中不完全是正弦電路，經(jīng)常會(huì)遇到非正弦周期電流電路。在電子技術(shù)、自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)和無(wú)線電技術(shù)等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。

非正弦周期交流信號(hào)的特點(diǎn)(1)不是正弦波(2)按周期規(guī)律變化例1半波整流電路的輸出信號(hào)1.電路中的非正弦周期電流、電壓2/1/20232例2示波器內(nèi)的水平掃描電壓周期性鋸齒波2/1/20233脈沖電路中的脈沖信號(hào)Tt例32/1/20234交直流共存電路

Es

+V例42/1/202352.非正弦周期電流電路的分析方法非正弦不同頻率正弦傅里葉級(jí)數(shù)響應(yīng)總響應(yīng)相量法疊加定理諧波分析法2/1/20236基波（和原函數(shù)同頻）二次諧波（2倍頻）

直流分量高次諧波8.2周期函數(shù)分解為付里葉級(jí)數(shù)1.周期函數(shù)展開成付里葉級(jí)數(shù)2/1/20237也可表示成：系數(shù)之間的關(guān)系為2/1/20238求出A0、ak、bk便可得到原函數(shù)f(t)的展開式。2.傅里葉系數(shù)的確定2/1/202393.幾種特殊的周期函數(shù)（1）偶函數(shù)－T/2tT/2f(t)－T/2tT/2f(t)（2）奇函數(shù)（3）奇諧波函數(shù)tf(t)T/2T2/1/202310（4）偶諧波函數(shù)tf(t)T/2T2/1/202311tT/2T周期性方波信號(hào)的分解例1解圖示矩形波電流在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為：

直流分量：諧波分量：K為偶數(shù)K為奇數(shù)2/1/202312（K為奇數(shù)）的展開式為：2/1/202313ttt基波直流分量三次諧波五次諧波七次諧波周期性方波波形分解2/1/202314基波直流分量直流分量+基波三次諧波直流分量+基波+三次諧波2/1/202315tT/2TIS0等效電源IS02/1/202316tT/2TAkm0矩形波的頻譜圖2/1/202317

給定函數(shù)f(t)的部分波形如圖所示。為使f(t)

的傅立葉級(jí)數(shù)中只包含如下的分量：tT/4Of(t)(1)正弦分量；(2)余弦分量；試畫出f(t)

的波形。tT/4Of(t)T/2T/4T/2(1)正弦分量；例2解2/1/202318(2)余弦分量；tT/4Of(t)T/2T/4T/22/1/2023198.3

有效值、平均值和平均功率1.

三角函數(shù)的性質(zhì)（1）正弦、余弦信號(hào)一個(gè)周期內(nèi)的積分為0。k整數(shù)（2）sin2、cos2

在一個(gè)周期內(nèi)的積分為。2/1/202320（3）三角函數(shù)的正交性2/1/2023212.非正弦周期電流、電壓的有效值i(t)=I0+I1msin(ωt+ψ1)+I2msin(2ωt+ψ

2)+I3msin(3ωt+ψ

3)+…

I=代入電流有效值的定義式

2/1/202322

周期電壓、電流的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的平方根。利用三角函數(shù)的正交性得：結(jié)論同理可得2/1/2023233.非正弦周期電流的平均值則其平均值為：正弦量的平均值為0若（1）算術(shù)平均值2/1/202324有效值與平均值的關(guān)系為若（2）絕對(duì)平均值2/1/202325

例8-3

一個(gè)矩形波電源u(t)加在電阻R兩端，如圖8-6所示。已知Um=100V，現(xiàn)在分別用磁電系電壓表、電磁系電壓表及整流式電壓表測(cè)量電阻電壓u(t)，求各種表的讀數(shù)。解磁電系電壓表測(cè)出的是電壓u(t)的直流分量，由于電壓u(t)的波形在橫軸的上下面積相等，即a0=0，所以磁電系電壓表的讀數(shù)為零。

電磁系電壓表測(cè)出的是電壓u(t)的有效值，根據(jù)有效值定義2/1/202326U===Um

=100V

所以電磁系電壓表的讀數(shù)為100V。要求整流式電壓表的讀數(shù)，應(yīng)先計(jì)算出電壓u(t)的平均值Uav

Um=100VUav===所以整流式電壓表的讀數(shù)為1.11Uav=1.11100=111V2/1/2023274.非正弦周期交流電路的平均功率利用三角函數(shù)的正交性，得：2/1/202328平均功率＝直流分量的功率＋各次諧波的平均功率結(jié)論2/1/2023298.4非正弦周期交流電路的計(jì)算1.計(jì)算步驟（2）利用正弦交流電路的計(jì)算方法，對(duì)各諧波信號(hào)分別應(yīng)用相量法計(jì)算；

（1）利用付里葉級(jí)數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開成若干種頻率的諧波信號(hào)；（3）將以上同一支路的計(jì)算結(jié)果迭加，即為非正弦激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)。2/1/2023302.

注意（2）當(dāng)各次諧波分量作用于電路時(shí)，不同頻率的激勵(lì)不能放在一起運(yùn)算。因?yàn)殡姼泻碗娙輰?duì)于不同的諧波呈現(xiàn)不同的電抗值，例如電感L對(duì)于基波呈現(xiàn)的感抗值為ωL，而對(duì)于k次諧波呈現(xiàn)的感抗值為kωL；電容C對(duì)于基波呈現(xiàn)的容抗值為，而對(duì)于k次諧波呈現(xiàn)的容抗值為。

（1）直流分量作用于電路時(shí)，電路中的電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路；（3）在含有電感L、電容C的電路中，可能對(duì)于某一頻率的諧波分量發(fā)生串聯(lián)諧振或并聯(lián)諧振，計(jì)算過程中應(yīng)注意。

2/1/2023313.

計(jì)算舉例例1解

圖示電路為一全波整流的濾波電路，其中L=2.5H，C=9μF。負(fù)載電阻R=2000Ω。加在濾波電路的入端電壓u(t)是一個(gè)全波整流電壓，波形如圖所示，其中Um=314V，ω=314rad/s。求負(fù)載電阻R兩端各次諧波分量電壓幅值及R兩端電壓有效值。1、查表將u(t)分解為傅里葉級(jí)數(shù)2/1/202332取到4次諧波，將Um=314V代入2、計(jì)算各次諧波分量電壓幅值(1)當(dāng)直流分量作用于電路時(shí)，電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路，電阻R兩端直流分量電壓UR（0）=200V。

(2)當(dāng)二次諧波分量作用于電路時(shí)

感抗

XL（2）

=2ωL=2×314×2.5=1570Ω

容抗

XC（2）

=1/2ωC=177Ω2/1/202333電阻R兩端二次諧波分量電壓幅值

(3)當(dāng)四次諧波分量作用于電路時(shí)2/1/202334

感抗

XL（4）

=4ωL=4×314×2.5=3140Ω

容抗

XC（4）

=1/4ωC=88.5Ω電阻R兩端四次諧波分量電壓幅值

2/1/2023353、電阻R兩端電壓有效值R兩端四次諧波分量電壓幅值與直流分量的比值為

％=0.387％2/1/2023363.

濾波器的概念濾波器

具有阻止某些諧波通過的電路器件。(a)T型(b)π型(a)π型(b)T型

圖8-8低通濾波器

圖8-9高通濾波器2/1/202337例2方波信號(hào)激勵(lì)的電路。求u,已知：tT/2TRLC解（1）已知方波信號(hào)的展開式為：代入已知數(shù)據(jù)：2/1/202338直流分量基波最大值五次諧波最大值角頻率三次諧波最大值

電流源各頻率的諧波分量為：2/1/202339（2）對(duì)各種頻率的諧波分量單獨(dú)計(jì)算：（a)直流分量

IS0

作用RIS0u0電容斷路，電感短路:（b)基波作用RLCXL>>R2/1/202340(c)三次諧波作用2/1/202341(d)五次諧波作用2/1/202342(3)各諧波分量計(jì)算結(jié)果瞬時(shí)值迭加：2/1/2023432/1/202344例3已知無(wú)源網(wǎng)絡(luò)N的入端電壓為u(t)=100sin314t+50sin(942t-30)V，入端電流為

i(t)=10sin314t+1.755sin(942t+θ3)A，如果N可以看作是R、L、C串聯(lián)電路，試求(1)R、L、C的值；(2）θ3的值；（3）無(wú)源網(wǎng)絡(luò)N消耗的有功功率。解（1）基波電壓作用于網(wǎng)絡(luò)時(shí)，電流與電壓同相位，故此時(shí)為串聯(lián)諧振，即

2/1/202345三次諧波電壓作用于網(wǎng)絡(luò)時(shí)，復(fù)阻抗的模

z(3)==28.5

z(3)==28.5將L=，R=10代入上式

28.52=102+(942L-)22/1/202346解得

C=318.3μF，L=31.9mH。（2）三次諧波作用時(shí)的復(fù)阻抗

Z（3）

=10+j(942×31.9×10-3-)=10+j(30-3.3)=28.5

=50

V2/1/202347

故

θ3=-99.46o（3）無(wú)源網(wǎng)絡(luò)N消耗的有功功率

P=U1I1cosφ1+U3I3cosφ3

=500+15.4=515.4W2/1/202348求圖示電路中各表讀數(shù)(有效值)及電路吸收的功率。例4V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30abcdA3A2V2V1A12/1/202349L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30abcdiiC1iL2解(1)u0=30V作用于電路，L1、L2

短路，C1、C2開路。L1C1C2L2u0+_30abcdi0iC10iL20i0=iL20=u0/R=30/30=1A,iC10=0,uad0=ucb0=u0=30V2/1/202350(2)u1=120cos1000tV作用L1、C1

發(fā)生并聯(lián)諧振。+_30abcdj40j40j40j102/1/202351(3)u2=60cos(2000t+/4)V作用L2、C2

發(fā)生并聯(lián)諧振。+_30abcdj80j20j20j202/1/202352i=i0+i1+i2=1A所求的電壓、電流的瞬時(shí)值為：iC1=iC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90)AiL2=iL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t45)Auad=uad0+uad1+uad2=30+120cos1000t

Vucb=ucb0+ucb1+ucb2=30+60cos(2000t+45)V電流表A1的讀數(shù)：電流表A2的讀數(shù)：電流表A3的讀數(shù)：電壓表V1的讀數(shù)：電壓表V2的讀數(shù)：2/1/202353

例5

已知u(t)是周期函數(shù)，波形如圖，L=1/2H，C=125/F，求理想變壓器原邊電流i1(t)及輸出電壓u2的有效值。**C+–+–2:18Lu2410.5u/Vt/ms12解當(dāng)u=12V作用時(shí)，電容開路、電感短路，有：2/1/202354**-j4+–+–2:18j+–8j4-j4+–2/1/202355例6

電感基波阻抗20Ω,

求Uab、i、及功率表的讀數(shù)。+–60j20+–Wab**解一次諧波作用時(shí)：三次諧波作用時(shí)：測(cè)的是u1的功率2/1/2023568.5

對(duì)稱三相電路的高次諧波1.三相發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的高次諧波電壓發(fā)電機(jī)輸出的三相電壓表示為:

uA=u(t),uB=u(t-

T/3)，

uc

=u(t–2T/3)

發(fā)電機(jī)輸出的三相電壓為奇諧波函數(shù)，其展開式為:2/1/202357T=2π，即T=2π/ω。將此代入uB

、uC的表達(dá)式2/1/202358

uA、uB、uC

三相電壓的同次諧波特點(diǎn)：(1)基波、七次諧波（十三次諧波、十九次諧波等），分別都是對(duì)稱的三相電壓，其相序?yàn)锳-B-C，即為順序，構(gòu)成順序?qū)ΨQ組；(2)三次諧波（九次諧波、十五次諧波等），電壓有效值都是相等的，其初相位相同，相位差為零，構(gòu)成零序?qū)ΨQ組；(3)五次諧波（十一次諧波、十七次諧波等），分別都是對(duì)稱的三相電壓，其相序?yàn)锳-C-B，即為逆序，構(gòu)成逆序?qū)ΨQ組。這就是說，對(duì)稱三相非正弦電壓可以分解為三個(gè)對(duì)稱組：順序?qū)ΨQ組、零序?qū)ΨQ組、逆序?qū)ΨQ組。2/1/202359

uA、uB、uC

三相電源星形連接：

uA=uA(1)+uA(3)+uA(5)+uA(7)+

…uB=uB(1)+uB(3)+uB(5)+uB(7)+…