信息光學之標量衍射理論

第三章標量衍射理論

ScalarTheoryofDiffraction衍射: 不能用反射或折射來解釋的光對直線光路的任何偏離衍射理論實際上就是光波傳播的規(guī)律標量衍射理論:是對矢量理論的簡化.條件:1.衍射孔徑>>波長2.衍射場(觀察區(qū)域)不太靠近孔徑首先要對標量波進行數(shù)學描述§3-1光波的數(shù)學描述

單色光波場的復振幅表示光場隨時間的變化關系:由頻率n表征.光振動是空間點

(P)和時間(t)的實簡諧函數(shù),可表為:

u(P,t)=a(P)cos[2pnt-j(P)]振幅頻率初位相可見光:n~1014Hz嚴格單色光:n為常數(shù)光場隨空間的變化關系體現(xiàn)在: (1)空間各點的振幅可能不同(2)空間各點的初位相可能不同, 由傳播引起.光場變化的空間周期為l.光場變化的時間周期為1/n.將光場用復數(shù)表示,有利于簡化運算§3-1光波的數(shù)學描述

單色光波場的復振幅表示光場隨時間的變化e

-j2pnt不重要:

u(P,t) =a(P)cos[2pnt-j(P)]} =e{a(P)e-j[2pnt-j(P)]}n~1014Hz,無法探測n為常數(shù),線性運算后亦不變對于攜帶信息的光波,感興趣的是其空間變化部分.

故引入復振幅U(P):將光場用復數(shù)表示,有利于簡化運算=e{a(P)e

jj(P).e-j2pnt}復數(shù)表示有利于將時空變量分開U(P)=a(P)e

jj(P)#§3-1光波的數(shù)學描述

單色光波場的復振幅表示:說明

U(P)是空間點的復函數(shù),描寫光場的空間分布,

與時間無關;U(P)=a(P)e

jj(P)U(P)同時表征了空間各點的振幅|U(P)|=|a(P)|

和相對位相 arg(U)=j(P)

方便運算,滿足疊加原理

實際物理量是實量.欲恢復為真實光振動:#

光強分布:I=UU*

光強是波印廷矢量的時間平均值,正比于電場振幅的平方

u(P,t)=e{U(P)exp(-j2pnt)}即可§3-1光波的數(shù)學描述

球面波:空間分布點光源或會聚中心球面波:等相面為球面,且所有等相面有共同中心的波k=|k|=2p/l,為波數(shù).表示由于波傳播,在單位長度上引起的位相變化,也表明了光場變化的“空間頻率”(P(x,y,z))0zyx源點S(rk設觀察點P(x,y,z)與發(fā)散球面波中心的距離為r,k:傳播矢量#球面波的等位相面:kr=c

為球面則P點處的復振幅:j(P)=k.rk:傳播矢量球面波:k//ra0:單位距離處的光振幅§3-1光波的數(shù)學描述

球面波:空間分布會聚球面波距離r

的表達若球面波中心在原點:(P(x,y,z))會聚點S(r若球面波中心在S(x0,y0,z0):#0zyxk光波的數(shù)學描述

球面波:在給定平面的分布以系統(tǒng)的光軸為z軸,光沿z軸正方向傳播.所考察的平面垂直于z軸令點光源位于z=0的平面上坐標(x0,y0)處.考察與其距離為z的x

-y平面上的光分布Sx0zxy0y0需要作近軸近似#光波的數(shù)學描述

球面波:近軸近似只考慮x

-y平面上對源點S張角不大的范圍,即可以作泰勒展開(1+D)1/21+D/2一級近似二級近似對振幅中r

的可作一級近似.但因為k很大,對位相中的r須作二級近似#§3.1光波的數(shù)學描述

二、球面波:近軸近似已將球面波中心取在z=0的平面,且光波沿z軸正方向傳播.如果z>0,上式代表從S發(fā)散的球面波.如果z<0,上式代表向S會聚的球面波.對給定平面是常量隨x,y變化的二次位相因子球面波特征位相#球面波中心在原點:光波的數(shù)學描述

三、

平面波:空間分布等相面為平面,且這些平面垂直于光波傳播矢量k.等相平面的法線方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦,均為常量以k表示的等相平面方程為k

.r=const.故平面波復振幅表達式為:線性位相因子#常量振幅#光波的數(shù)學描述

三、平面波:在給定平面的分布在x-y平面上的等位相線

xcosa+ycosb

=const為平行直線族在與原點相距為z

的平面上考察平面波的復振幅:隨x,y線性變化的位相因子常數(shù)幅相因子,A光波的數(shù)學描述

四、平面波的空間頻率在與原點相距為z

的平面上考察平面波的位相分布.等位相線是平行直線族.為簡單計,先看k在x-z平面內(nèi):cosb

=0等位相面是平行于y軸的一系列平面,間隔為lz等位相面與x-z平面相交形成平行直線等位相面與x-y平面相交形成平行于y軸的直線復振幅分布:沿x方向的等相線間距:#光波的數(shù)學描述

四、平面波的空間頻率復振幅分布:定義復振幅分布在x方向的空間頻率:#復振幅分布可改寫為:Y=∞,

fy=0對于在x-z平面內(nèi)傳播的平面波,在y方向上有:光波的數(shù)學描述

平面波的空間頻率:一般情形定義:復振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為空間頻率平面波在x和y方向的空間頻率分別為:cosa,cosb

為波矢的方向余弦若波矢在x-z平面或y-z平面中,a(b)

又常用它們的余角qx

(qy)表示,故:引入空間頻率概念后,單色平面波在xy

平面的復振幅分布可以表示為

#光波的數(shù)學描述

平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念單位振幅的單色平面波,波矢量k與x軸夾角為30,與y軸夾角為60.(1)畫出z=z1平面上間隔為2p的等相線族,并求出Tx、Ty、T和fx

、fy和f。(2)畫出y=y1平面上間隔為2p的等相線族,并求出Tx、Tz

和fx

、fz.練習1光波的數(shù)學描述

平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念振幅為1,波長為l=500nm

的單色平面波,傳播方向在xz平面內(nèi),并與z軸夾角為30.寫出其復振幅表達式,并求出z=z1平面上復振幅在x方向和y方向的空間周期Tx和Ty,以及相應的空間頻率fx

和fy.練習2光波的數(shù)學描述

平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念對于傳播方向與z軸夾角為-30的情況,再解上題.練習3如果平面波傳播方向在xz平面(或yz平面),與z軸夾角為q,則此平面波復振幅沿x方向(或y方向)的空間頻率為:光波的數(shù)學描述

平面波的空間頻率-信息光學中最基本的概念空間頻率的單位:cm-1,mm-1,周/mm,條數(shù)/mm等空間頻率的正負:表示傳播方向與x(或y)軸的夾角小于或大于90在給定的坐標系,任意單色平面波有一組對應的fx和fy,它僅決定于光波的波長和傳播方向.反之,給定一組fx和fy,對于給定波長的單色平面波就能確定其傳播方向cosa

=l,fx,cosb

=l,fy

要與光的時間頻率嚴格區(qū)分開空間比時間更具體,更直觀,是有形的如果在xy

平面上的復雜的復振幅分布可以分解為許多簡單的周期分布,則復雜的光振動可以分解成許多簡單平面波的疊加.二維F.T.在光學上的意義:#§3.1光波的數(shù)學描述

五、復振幅分布的空間頻譜(角譜)即:把U(x,y)看作頻率不同的復指數(shù)分量的線性組合,各分量的權重因子是A(fx,fy).

A(fx,fy)

稱為xy平面上復振幅分布的頻譜對xy平面上單色光場的復振幅分布U(x,y)進行傅里葉分析:物理上,exp[j2p(fxx+fyy)]

代表傳播方向余弦為cosa=lfx,cosb=lfy

的單色平面波在xy平面的復振幅分布,U(x,y)是不同平面波分量分布的線性疊加.每個分量的相對振幅和初位相由頻譜A(fx,fy)決定.#§3.1光波的數(shù)學描述

五、復振幅分布的空間頻譜(角譜)根據(jù)可將頻譜函數(shù)A(fx,fy)用各平面波分量的方向余弦表示:稱為xy平面上復振幅分布的角譜,表示不同傳播方向(a,b)的單色平面波的振幅(|A|)和初位相(arg{A})#光波的數(shù)學描述

五、復振幅分布的空間頻譜(角譜)例在x-y平面上,光場復振幅分布為余弦型:可以分解為::U(x,y)的空間頻譜函數(shù):U(x,y)的空間角譜函數(shù):#§3.1光波的數(shù)學描述

五、復振幅分布的空間頻譜(角譜)第一步:寫出屏的透過率函數(shù)t(x,y):練習:P117,3.1第二步:寫出入射波的復振幅分布U0(x,y)

單位振幅的單色平面波垂直入射照明,U0(x,y)=1第三步:寫出緊靠屏后平面上的透射光場復振幅分布U

(x,y)U

(x,y)=U0(x,y)t(x,y)=t(x,y)第四步:求出U(x,y)的頻譜A(fx,fy)第五步:利用將A(fx,fy)改寫成角譜#§3-2基爾霍夫衍射理論

目的:找出衍射現(xiàn)象與光學傅里葉變換之間的關系 首先解決在單色照明下,孔徑的衍射場中任意 一點的復振幅.方法:標量場處理,孔徑∑>>l,觀察距離r>>∑(2)一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式1.惠更斯包絡作圖法

(1678):

從某一時刻的波陣面求下一時刻波陣面的方法.把波陣面上每一面元作為次級子波的中心,后一時刻的波陣面是所有這些子波的包絡面.惠更斯原理不僅能解釋光的反射和折射,也能預見光在通過簡單孔徑時的衍射現(xiàn)象.但它只能判斷光的傳播方向,不能定量計算.#§3-2基爾霍夫衍射理論

一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式2.菲涅耳子波干涉說

(1818):

子波間應當互相干涉,并且應當考慮不同方向子波的差異.—惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理:波陣面上任意未受阻擋的點,產(chǎn)生一個與原波頻率相同的子波.此后空間任何一點的光振動是這些子波疊加的結果.其數(shù)學表述為:常數(shù)幅相因子傾斜因子球面子波表達式源點光擾動U(P0)ds:球面子波的振幅相干疊加觀察點(場點)復振幅#

球面子波源§3-2基爾霍夫衍射理論

一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式原波陣面源點處的面元法線場點源點到場點的距離所考慮的傳播方向與面元法線的夾角源點成功:可計算簡單孔徑的衍射圖樣強度分布.局限:難以確定K(q).無法引入-p/2的相移#§3-2基爾霍夫衍射理論

一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式3.基爾霍夫衍射公式的導出(1882)光場振動應滿足的波動方程應用數(shù)學工具格林定理光場復振幅必須滿足的亥姆霍茲方程對格林函數(shù)和光場復振幅函數(shù)施加一定的限制條件基爾霍夫邊界條件用格林定理解亥姆霍茲方程導出嚴格的衍射公式#§3-2基爾霍夫衍射理論

一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式3.基爾霍夫衍射公式的導出基爾霍夫邊界條件1.在開孔∑上各點,場分布U及其一階導數(shù)與屏不存在時相同.2.在不透明屏后各點,U及其一階導數(shù)恒為0.3.孔徑∑>>l,觀察距離r>>∑#§3-2基爾霍夫衍射理論

一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式在單色點光源照明平面孔徑的情況下:∑P0nP’Prr'過渡到惠-菲原理常數(shù)幅相因子1/jl自動出現(xiàn)K(q)函數(shù)形式確定#§3-2基爾霍夫衍射理論

一、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式對于更普遍的照明情況:1.可以把任意復雜的光波分解為簡單球面波的線性組合2.波動方程的線性性質,允許對單個球面波應用基爾霍夫公式,然后再把它們對P點的貢獻疊加起來.普遍情形下用U(P0)代替,得:a0ejkr’r'#§3-2基爾霍夫衍射理論

二、光波傳播的線性性質考察基爾霍夫衍射公式與線性系統(tǒng)的關系第一步:將基爾霍夫衍射積分擴展到無窮故基爾霍夫衍射積分可寫為:根據(jù):對開孔∑的假定—基爾霍夫邊界條件1.在開孔∑上各點,場分布U及其一階導數(shù)與屏不存在時相同.2.在不透明屏后各點,U及其一階導數(shù)恒為0.#§3-2基爾霍夫衍射理論

二、光波傳播的線性性質考察基爾霍夫衍射公式與線性系統(tǒng)的關系第二步:將基爾霍夫衍射積分表示成線性系統(tǒng)的疊加積分2.考慮x0-y0平面上的孔徑,ds=dx0d

y0,觀察平面為x-y平面,則基爾霍夫衍射積分可寫為:1jlejkrrK(q)1.令h(P,P0)=代表孔徑上P0點的擾動在觀察點P點處產(chǎn)生的貢獻,或者說是P0點的子波源在P點產(chǎn)生的復振幅分布#§3-2基爾霍夫衍射理論

二、光波傳播的線性性質這正是描述線性系統(tǒng)輸入-輸出關系的疊加積分:

輸入函數(shù):孔徑平面上的復振幅分布U(x0,y0)

輸出函數(shù):觀察平面上的復振幅分布U(x,y)

脈沖響應:(x0,y0)點的子波源發(fā)出的球面波在觀察平面產(chǎn)生的復振幅分布h(x,y;x0,y0){

}輸入U(x0,y0)輸出U(x,y)傳播、衍射（h）光波傳播的規(guī)律,可以用一個線性系統(tǒng)描述.但這個線性系統(tǒng)是否空不變的系統(tǒng)?#§3-2基爾霍夫衍射理論

二、光波傳播的線性性質傳播現(xiàn)象看成線性空不變系統(tǒng)的條件：

(1)照明點光源足夠遠，并且是近軸的

cos(n,r’)-1(對任何r’都成立)(2)觀察平面與孔徑的距離z>>∑,并且仍考慮近軸近似

cos(n,r)1由此可導出:K(q)11jlejkr’r'h(P,P0)=#§3-2基爾霍夫衍射理論

二、光波傳播的線性性質將r(源點-場點距離)展開:對于固定的觀察平面,即固定的z,r僅決定于(x-x0,y-y0),故脈沖響應函數(shù)成為空不變的:基爾霍夫衍射公式的疊加積分形式可進一步寫成卷積積分#§3-2基爾霍夫衍射理論

二、光波傳播的線性性質基爾霍夫衍射公式的卷積積分形式結論光波在通過衍射孔徑后的傳播可看作線性空不變系統(tǒng)脈沖響應是孔徑平面上的子波源發(fā)出的球面子波在觀察平面產(chǎn)生的復振幅分布.U(x0,y0)是位置

(x0,y0)處子波源發(fā)出的球面子波的權重因子(振幅或位相)所有球面子波的相干疊加得到觀察平面的場分布.#Ui(x0,y0)Ut(x0,y0)§3-3

衍射的角譜理論

衍射屏衍射屏對入射光的作用光場通過衍射屏后的變化：Ut(x0,y0)=Ui(x0,y0)t(x0,y0)角譜的變化：At(fx,fy)=Ai(fx,fy)T(fx,fy)F.T.卷積的效應使函數(shù)加寬孔徑限制了入射波面的范圍,展寬了入射頻譜FresnelDiffraction:Summary

菲涅耳衍射的三種表示

孔徑平面 脈沖響應 觀察平面空域

U(x0,y0) *

hF(x,y) = U(x,y)F.T.F.T.F.T.頻域

A0(fx,fy)

HF(fx,

fy) = A

(fx,

fy)F.T.表達

U(x,y)F.T.基爾霍夫衍射公式隨近似程度的不同,將衍射現(xiàn)象分為菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射.#基爾霍夫衍射公式中的脈沖響應：§3-4菲涅耳衍射

一、菲涅耳衍射公式略去(x-x0)/z和(y-y0)/z的二次以上的項,則

代入基爾霍夫公式,即得菲涅耳衍射公式(空域)在h的振幅部分取r的一級近似,位相因子用二級近似,則#菲涅耳衍射區(qū)的條件:#§3-4菲涅耳衍射

一、菲涅耳衍射公式(i)空域表示式其中,脈沖響應函數(shù)為:或寫成卷積式:#§3-4菲涅耳衍射

一、菲涅耳衍射公式(ii)頻域表示式∴在頻域中,菲涅耳衍射表示為:A0(fx,fy)·H(fx,fy)=A(fx,fy),其中傳遞函數(shù)H(fx,fy)為:#§3-4菲涅耳衍射

(iii)菲涅耳衍射的F.T.表達式菲涅耳衍射積分可變?yōu)?這種表示特別適合球面波照明的情況.#FresnelDiffraction:Summary

菲涅耳衍射的三種表示

孔徑平面 脈沖響應 觀察平面空域

U(x0,y0) *

hF(x,y) = U(x,y)F.T.F.T.F.T.頻域

A0(fx,fy)

HF(fx,

fy) = A

(fx,

fy)F.T.表達

U(x,y)F.T.##§3-4菲涅耳衍射二、例

例1:泰伯效應—周期性物體自成像周期性物體,單色平面波垂直照明,會在物體后特定距離zT的整數(shù)倍距離上,周期性地自成像一維周期性物體-光柵,周期為d,其振幅透過率可展開成傅氏級數(shù):#緊靠屏后的光場分布:空間頻率為(n/d,0)的離散值的無窮多個單色平面波分量的疊加.cn是各分量的振幅和位相§3-4菲涅耳衍射

例1:泰伯效應—周期性物體自成像

物體的振幅透過率:采用菲涅耳衍射的頻域表達式利用復指函數(shù)的F.T.,得出屏后光場的頻譜:§3-4菲涅耳衍射

例1:泰伯效應代表離散分布的無窮多個單色平面波菲涅耳衍射的傳遞函數(shù):此傳遞函數(shù)對平面波分量只引起相移d

函數(shù)的乘積性質傳播的結果,只引入與空間頻率和傳播距離有關的相移.#則觀察場的頻譜:§3-4菲涅耳衍射

例1:泰伯效應則觀察平面上的復振幅分布為:g’(x)=g(x)exp(jkz)光強度分布:I(x)=|g’(x)|2=|g(x)|2

與原物相同,即為自成像在特定的距離下,對不同空間頻率的平面波分量引入的相移與頻率(n)無關,并且是2的整數(shù)倍:是原頻譜乘上一個常數(shù)位相因子,對所有平面波分量都相同.此時自成像發(fā)生在泰伯距離的整數(shù)倍上.泰伯距離:#§3-4菲涅耳衍射

例1:泰伯效應思考:在兩個自成像位置的中間位置,光強度分布如何變化?自成像發(fā)生在泰伯距離的整數(shù)倍上.泰伯距離:#菲涅耳衍射：例題—泰伯效應

P117:3.3余弦型振幅光柵的復振幅透過率為

式中，d為光柵周期，a>b>0。觀察平面與光柵相距z。當z分別取下列各數(shù)值時，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強度分布。

（式中zT稱作泰伯距離）（1）（2）（3）解：采用菲涅耳衍射的頻域表達式輸入頻譜：菲涅耳衍射的傳遞函數(shù):此傳遞函數(shù)對平面波分量只引起相移菲涅耳衍射：例題—泰伯效應

P117:3.3解：采用菲涅耳衍射的頻域表達式輸入頻譜：菲涅耳衍射的傳遞函數(shù):此傳遞函數(shù)對平面波分量只引起相移輸出頻譜：故：菲涅耳衍射：例題—泰伯效應

P117:3.3觀察平面的復振幅分布：在泰伯距離：與原物的復振幅分布只差一個常數(shù)位相因子——自成像像強度分布：與原物的強度分布完全相同菲涅耳衍射：例題—泰伯效應

P117:3.3思考:在兩個自成像位置的中間位置,光強度分布如何變化?自成像發(fā)生在泰伯距離的整數(shù)倍上.泰伯距離:#原物：像：§3-4菲涅耳衍射

例2:圓孔菲涅耳衍射的軸上分布圓孔的復振幅透過率軸上強度分布:取a=1mm,l=0.633mmz/a>>1不滿足時,菲涅耳近似失效當時,I(0,0)z=0為極小值當時,I(0,0)z=4為極大值m的最小值為0,當時,過渡到夫瑯和費近似.#§3-5夫瑯和費衍射

FraunhoferDiffraction一、夫瑯和費衍射公式及其成立的條件此條件容易滿足.例如,=0.633m,

Rmax=3mmz>>50mm菲涅耳衍射的F.T.表達式:上式成立的條件:如果進一步對系統(tǒng)施加限制,

使得則衍射過渡到夫瑯和費衍射區(qū)d為孔徑的最大線度#§3-5夫瑯和費衍射

夫瑯和費衍射公式除了一個與傳播距離z及觀察面坐標有關的位相因子以外,在給定距離z的平面上衍射場的分布正比于衍射屏透射光場的傅里葉變換,其振幅及變換的尺度與距離z有關.衍射圖樣及光強的分布正比于孔徑透射函數(shù)的功率譜:#§3-5夫瑯和費衍射

夫瑯和費衍射公式:討論夫瑯和費衍射區(qū)的條件苛刻如上例,=0.633m,Rmax=3mm菲涅耳衍射區(qū)z>>50mm

夫瑯和費衍射區(qū)要求z>>9.6m與菲涅耳衍射的關系菲涅耳衍射區(qū)包括了夫瑯和費衍射區(qū)夫瑯和費衍射是菲涅耳衍射的進一步近似#§3-5夫瑯和費衍射

二、一些簡單孔徑的夫瑯和費衍射照明條件：振幅為A的單色平面波垂直照明孔徑：復振幅透過率

孔徑函數(shù)的頻譜

t(x0,y0)

T(fx,fy)F.T.屏后光場復振幅U(x0,y0)=A

t(x0,y0)衍射公式(觀察面的光場分布):我們更關心衍射圖樣的強度分布：#§3-5夫瑯和費衍射

簡單孔徑的夫瑯和費衍射：圓孔方向嚴格沿z方向傳播的無窮大平面波,在受到孔徑限制后,角度展寬為q=0.61lz/a.孔徑越小,角度展寬越大.#AiryPattern第一暗環(huán)半徑：Drka/z=3.83,Dr=3.83lz/a/2pDr/z=0.61lz/a§3-5夫瑯和費衍射

簡單孔徑的夫瑯和費衍射：矩孔ax/lzI/I(0)01-11中央亮斑寬度:Dx

=2lz/a,Dy

=2lz/b∴x,y方向的角展寬:與圓孔數(shù)量級相同.孔尺寸越小,角展寬越大若b>>a,成為單縫,可僅作一維處理#§3-5夫瑯和費衍射

簡單孔徑的夫瑯和費衍射：雙縫rect(x0/a)0a/2-a/21fxasinc(afx)01/aad(x0-d/2)+d(x0-d/2)0d/2-d/21*t(x0)x001f2cos(pfxd)0