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文檔簡介
第二章
最佳平方逼近---另一種函數(shù)逼近問題最佳平方逼近問題的提法:它是度量函數(shù)的大小和函數(shù)之間逼近程度的一種度量,稱為平方尺度在平方度量下,通過極小化過程找出一個(gè)廣義多項(xiàng)式,使平方誤差達(dá)到最小。解最佳平方逼近問題:1)如何選取廣義多項(xiàng)式空間?2)廣義多項(xiàng)式是否存在?是否唯一?3)如何求得廣義多項(xiàng)式?2.1.
正交多項(xiàng)式及其性質(zhì)定義1.1.常見的權(quán)函數(shù):3)2)1)4)5)定義1.2.內(nèi)積的性質(zhì):(對(duì)稱性)(雙線性性質(zhì))(正定性)(Cauchy-Schwarz
柯西-施瓦茲不等式)連續(xù)函數(shù)空間內(nèi)積空間的重要結(jié)論在連續(xù)意義下的內(nèi)積連續(xù)函數(shù)空間:所有定義在[a,b]上的連續(xù)函數(shù)集合,按照函數(shù)的加法和乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間,記作C[a,b].由內(nèi)積誘導(dǎo)出范數(shù)定義1.3.一個(gè)實(shí)函數(shù)稱為一個(gè)函數(shù)空間的范數(shù),如果它在空間上處處有定義,并滿足如下條件:(正定性)(齊次性)(三角不等式)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的最常用的范數(shù)有:定義1.4.定義1.5.特別地,在連續(xù)意義下的正交可以證明:正交函數(shù)系必是線性無關(guān)的函數(shù)系.?Gram-Schimidt(格拉姆-施密特)正交化方法:例如:三角函數(shù)系:是上帶權(quán)的正交函數(shù)系.例如:冪函數(shù)系:一族線性無關(guān)的函數(shù)列。問題:如何由得到一組正交函數(shù)列。正交多項(xiàng)式構(gòu)造問題類似地,定理.定理.說明:線性無關(guān)函數(shù)系給定后,正交函數(shù)系由區(qū)間和權(quán)函數(shù)唯一確定!推論1.提示:只需利用正交性,確定出系數(shù)即可。正交多項(xiàng)式的性質(zhì):性質(zhì)1.性質(zhì)1'.推論2.提示:性質(zhì)2.證明:注意到,當(dāng)時(shí),有。當(dāng)時(shí),有。于是,再確定,得證。性質(zhì)3.證明:留作課后練習(xí)!幾種常用的正交多項(xiàng)式1勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式1814年Rodriguer(羅德里克斯,法國人)給出了它的一般表達(dá)式:1785年,Legendre引進(jìn).勒讓德多項(xiàng)式性質(zhì)性質(zhì)1.證明:1)
它是個(gè)2m次多項(xiàng)式.2)-1和1是它的m重零點(diǎn).若取,有分部積分于是,有性質(zhì)2.故Ln(x)的首系數(shù)為性質(zhì)3.這說明:
n為奇數(shù)時(shí),Pn(x)為奇函數(shù);n為偶數(shù)時(shí),Pn(x)為偶函數(shù);
利用得
當(dāng)n
為偶時(shí),xn2j
均是偶函數(shù),故Ln(x)為偶函數(shù)。同理,可證明奇數(shù)情況。性質(zhì)4.L3P2P1P0用定義容易檢驗(yàn)使用遞推公式得性質(zhì)5.2切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)性質(zhì)1.提示:性質(zhì)2.引理當(dāng)n1時(shí),有下面的三解恒等式其中,aj(n)
為常數(shù)。引理的證明
用數(shù)學(xué)歸納法證明之。當(dāng)n
1時(shí),原式成立顯然。假設(shè)n
m時(shí),原式成立,當(dāng)n
m1
時(shí),Cos(nθ)可以展開成cosθ的n次乘冪的有窮級(jí)數(shù)!用歸納假設(shè),有最后,由歸納假設(shè)原理,知原式對(duì)n1均成立。按cos的冪合并同類項(xiàng)。性質(zhì)3.性質(zhì)4.這說明:
n為奇數(shù)時(shí),Tn(x)為奇函數(shù);n為偶數(shù)時(shí),Tn(x)為偶函數(shù);由遞推關(guān)系,可有T0T1T2T3Chebyshev多項(xiàng)式T4,T5,T6T4T5T6第4,5,6個(gè)Chebyshev多項(xiàng)式圖形性質(zhì)5.其他常用的正交多項(xiàng)式1拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式拉蓋爾多項(xiàng)式性質(zhì)性質(zhì)1
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