華科數(shù)值分析期末復(fù)習(xí)總結(jié)

1期末復(fù)習(xí)總結(jié)2第一章數(shù)值計(jì)算的誤差3絕對誤差：絕對誤差x—精確值

x*—近似值則稱*為絕對誤差限/誤差限

若存在一個正數(shù)*，使得工程上通常記為：x=x*

*|e*|=|x*-

x|*

絕對誤差可能取正，也可能取負(fù)

絕對誤差

越小越具有參考價值但絕對誤差

卻不能很好地表示近似值的精確程度4相對誤差相對誤差：

x*-

x

er*=

x

若存在正數(shù)r*，使得

|er*|r*，

則稱r*為相對誤差限由于真值難以求出，通常也使用下面的定義作為相對誤差

x*-

x

er*=

x*

近似值的精確程度取決于相對誤差的大小實(shí)際計(jì)算中我們所能得到的是誤差限或相對誤差限5有效數(shù)字有效數(shù)字：若近似值x*的誤差限是某一位的半個單位（即截取按四舍五入規(guī)則）

，且該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n

位，則稱x*有n

位有效數(shù)字x*

=

a1.a2···an10m

(a10)且有|x

-

x*|0.510m-n+1則x*有n

位有效數(shù)字設(shè)x*為x

的近似值，若

x*

可表示為等價描述6有效數(shù)字例：=3.14159265···

，近似值

x1=3.1415，x2=3.1416問：x1,x2

分別有幾位有效數(shù)字？例：寫出下列各數(shù)的具有5位有效數(shù)字的近似值

187.9325，0.03785551，2.7182828

，8.000033187.93，0.037856，2.7183，8.0000注：0.2300有4位有效數(shù)字，而0.23只有2位有效數(shù)字12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可以隨意添加或省略！7有效數(shù)字定理：設(shè)近似值x*可表示為

x*

=

a1.a2···al10m(a10)，若x*具有n

位有效數(shù)字，則其相對誤差限滿足1r*

2a1

10-(n-1)反之，若x*的相對誤差限滿足

則x*至少有n

位有效數(shù)字。1r*

2(a1+1)10-(n-1)有效位數(shù)越多，相對誤差限越小8第二章

插值法9插值基本概念已知函數(shù)y=f(x)

在[a,b]

上有定義，且已經(jīng)測得在點(diǎn)

a

x0

<x1

<···

<xn

b處的函數(shù)值為

y0

=f(x0)，…，yn

=f(xn)什么是插值如果存在一個簡單易算的函數(shù)P(x)，使得

P(xi)=f(xi)，i=1,2,...,n則稱P(x)為f(x)的插值函數(shù)插值區(qū)間插值節(jié)點(diǎn)求插值函數(shù)P(x)

的方法就稱為插值法插值節(jié)點(diǎn)無需遞增排列，但必須確保互不相同！插值條件10基函數(shù)插值法基函數(shù)法通過基函數(shù)來構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法就稱為基函數(shù)插值法Zn(x)

={次數(shù)不超過n

的多項(xiàng)式的全體}記n+1維線性空間設(shè)z0(x),z1(x),...,zn(x)

構(gòu)成Zn(x)的一組基，則插值多項(xiàng)式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)

+···+anzn(x)尋找合適的基函數(shù)確定插值多項(xiàng)式在這組基下的表示系數(shù)基函數(shù)法基本步驟11Lagrange插值Lagrange插值基函數(shù)設(shè)lk(x)是n次多項(xiàng)式，在插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上滿足則稱lk(x)

為節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn

上的拉格朗日插值基函數(shù)單項(xiàng)式基函數(shù)利用線性無關(guān)的單項(xiàng)式族：構(gòu)造n

次多項(xiàng)式：12線性與拋物線插值兩種特殊情形n=1線性插值多項(xiàng)式（一次插值多項(xiàng)式）n=2拋物線插值多項(xiàng)式（二次插值多項(xiàng)式）13插值舉例例：已知函數(shù)y=lnx

的函數(shù)值如下解：x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231試分別用線性插值和拋物線插值計(jì)算

ln0.54的近似值線性插值：取x0=0.5,x1=0.6得將x=0.54

代入可得：ln0.54L1(0.54)=-0.6202為了減小截斷誤差，通常選取插值點(diǎn)x

鄰接的插值節(jié)點(diǎn)14插值舉例拋物線插值：取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得ln0.54L2(0.54)=-0.6153在實(shí)際計(jì)算中，不需要給出插值多項(xiàng)式的表達(dá)式ex21.m

ln0.54

的精確值為：-0.616186···可見，拋物線插值的精度比線性插值要高Lagrange插值多項(xiàng)式簡單方便，只要取定節(jié)點(diǎn)就可寫出基函數(shù)，進(jìn)而得到插值多項(xiàng)式，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。15Lagrange插值l0(x)

,l1(x)

,…,ln(x)

構(gòu)成Zn(x)的一組基性質(zhì)注意l0(x)

,l1(x)

,…,ln(x)

與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)，但與函數(shù)f(x)無關(guān)lk(x)

的表達(dá)式由構(gòu)造法可得16誤差估計(jì)如何估計(jì)誤差插值余項(xiàng)定理設(shè)f(x)

Cn[a,b](

n

階連續(xù)可微)，且f(n+1)(x)在(a,b)

內(nèi)存在，則對x[a,b]，有其中x(a,b)

且與x

有關(guān),證明：（板書）17插值余項(xiàng)余項(xiàng)公式只有當(dāng)f(x)

的高階導(dǎo)數(shù)存在時才能使用幾點(diǎn)說明

計(jì)算插值點(diǎn)x

上的近似值時，應(yīng)選取與x

相近插值節(jié)點(diǎn)如果，則

x

與x

有關(guān)，通常無法確定,實(shí)際使用中通常是估計(jì)其上界18插值誤差舉例例：已知函數(shù)y=lnx

的函數(shù)值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231試估計(jì)線性插值和拋物線插值計(jì)算

ln0.54的誤差解線性插值

x0=0.5,x1=0.6,(0.5,0.6)19Newton插值為什么Newton插值Lagrange

插值簡單易用，但若要增加一個節(jié)點(diǎn)時，全部基函數(shù)lk(x)

都需重新計(jì)算，不太方便。設(shè)計(jì)一個可以逐次生成插值多項(xiàng)式的算法，即n

次插值多項(xiàng)式可以通過n-1

次插值多項(xiàng)式生成——Newton插值法解決辦法20新的基函數(shù)

設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為

x0,…,xn

，考慮插值基函數(shù)組當(dāng)增加一個節(jié)點(diǎn)xn+1時，只需加上基函數(shù)21Newton插值

此時

f(x)

的n

次插值多項(xiàng)式為問題如何從pn-1(x)得到pn(x)?怎樣確定參數(shù)a0,…,an?

需要用到差商（均差）22差商什么是差商設(shè)函數(shù)f(x)，節(jié)點(diǎn)x0,…,xn

f(x)

關(guān)于點(diǎn)xi

,xj

的一階差商f(x)

關(guān)于點(diǎn)xi

,xj,xk的二階差商k

階差商差商的一般定義23差商的性質(zhì)

k階差商與k階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：若f(x)在[a,b]上

具有k階導(dǎo)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)(a,b)，使得24差商的計(jì)算如何巧妙地計(jì)算差商差商表xi?(xi)一階差商二階差商三階差商…n階差商x0x1x2x3xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]?[xn-3,xn-2,xn-1,xn]……?[x0,x1,…,xn]25差商舉例例：已知y=(x)

的函數(shù)值表，試計(jì)算其各階差商i0123xi-2-112f(xi)531721解：差商表如下xi?(xi)一階差商二階差商三階差商-2-112531721-2743-1-1ex24.mex23.m26Newton插值公式Newton插值公式由差商的定義可得12……n11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n1Nn(x)Rn(x)27Newton插值公式f

(x)=Nn(x)+Rn(x)

Nn(x)

是n次多項(xiàng)式Nn(xi)=

f

(xi)，i=0,1,2,…,n重要性質(zhì)Nn(x)

是f

(x)的n次插值多項(xiàng)式其中28Newton/LagrangeNewton插值多項(xiàng)式與Lagrange

插值多項(xiàng)式f

(x)

在x0,x1,…,xn

上的n次插值多項(xiàng)式是唯一的！Nn(x)Ln(x)余項(xiàng)也相同將x看作節(jié)點(diǎn)29插值舉例例：已知函數(shù)y=lnx

的函數(shù)值如下解：取節(jié)點(diǎn)0.5,0.6,0.4

作差商表試分別用牛頓線性插值和拋物線插值計(jì)算

ln0.54的近似值x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231xi?(xi)一階差商二階差商0.50.60.4-0.6931-0.5108-0.91631.82302.0275-2.0450N1(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)N1(0.54)=-0.6202N2(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)-

2.0450(x-0.5)(x-0.6)N2(0.54)=-0.6153ex25.m插值節(jié)點(diǎn)無需遞增排列，但必須確?；ゲ幌嗤?0第三章

函數(shù)逼近31函數(shù)逼近三個問題問題一已知一個函數(shù)的數(shù)值表xx1x2……xnyy1y2……yn能否找到一個簡單易算的

p(x)，使得

p(xi)=yi。問題二

函數(shù)

f(x)的表達(dá)式非常復(fù)雜，能否找到一個簡單易算的

p(x)，使得p(x)是

f(x)的一個合理的逼近。問題三

問題一的表中的數(shù)值帶有誤差，能否找到一個簡單易算的

p(x)，可以近似地表示這些數(shù)據(jù)。插值數(shù)值逼近32賦范線性空間賦范線性空間C[a,b]線性空間C[a,b]

，f(x)C[a,b]

1-范數(shù)：2-范數(shù)：-范數(shù)：33逼近標(biāo)準(zhǔn)度量p(x)與f(x)的近似程度的常用兩種標(biāo)準(zhǔn)使

盡可能地小。使

盡可能地小。一致逼近平方逼近34函數(shù)逼近記Hn為所有次數(shù)不超過n

的多項(xiàng)式組成的集合，給定函數(shù)f(x)C[a,b]，若P*(x)Hn

使得則稱P*(x)為f(x)在C[a,b]上的最佳逼近多項(xiàng)式最佳逼近最佳一致逼近35函數(shù)逼近最小二乘擬合尋找P*(x)

，使得下面的離散2-范數(shù)最小給定

f(x)C[a,b]的數(shù)據(jù)表xx0x1…xnyy0y1…yn最佳平方逼近36正交多項(xiàng)式定義設(shè)n(x)

是首項(xiàng)系數(shù)不為0的n次多項(xiàng)式，若則稱為[a,b]

上帶權(quán)(x)

正交性質(zhì)1設(shè)是正交多項(xiàng)式族，Hn為所有次數(shù)不超過n

的多項(xiàng)式組成的線性空間，則構(gòu)成Hn的一組基稱n(x)

為n

次正交多項(xiàng)式37Legendre多項(xiàng)式

Pn(x)

的首項(xiàng)xn的系數(shù)為：Legendre多項(xiàng)式在[-1,1]

上帶權(quán)

(x)=1

的正交多項(xiàng)式稱為勒讓德多項(xiàng)式x

[-1,1]，n=1,2,…記號：P0,P1,P2,...

則

是首項(xiàng)系數(shù)為1

的勒讓德多項(xiàng)式

令38Legendre多項(xiàng)式ex31.m其中P0(x)=1,P1(x)=x，39Chebyshev多項(xiàng)式Chebyshev

多項(xiàng)式在[-1,1]

上帶權(quán)

(x)

的正交多項(xiàng)式稱為切比雪夫多項(xiàng)式x

[-1,1]，n=0,1,2,…切比雪夫多項(xiàng)式的表達(dá)式

令x

=

cos

，則Tn(x)=cos(n)

，展開后即得40Chebyshev多項(xiàng)式ex32.m41Chebyshev零點(diǎn)插值多項(xiàng)式Chebyshev

插值以Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值好處：誤差最小定理設(shè)f(x)Cn+1[-1,1]，插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn為Tn+1

(x)的n+1個零點(diǎn)，則且42最佳平方逼近設(shè)

f(x)

C[a,b]，0(x),1(x),,n(x)C[a,b]

線性無關(guān)，令求S*(x)，使得S*(x)稱為

f(x)在中的最佳平方逼近函數(shù)

其中43最佳平方逼近如何求

S*(x)？對任意S(x)

，可設(shè)

S(x)=a00+a11+

···+

ann(x)則求S*(x)等價于求下面的多元函數(shù)的最小值點(diǎn)k=0,1,…,n44最佳平方逼近即k=0,1,…,n法方程G45求在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式舉例例：(教材68頁，例6)解：

S*(x)=0.934+0.426x46最佳平方逼近多項(xiàng)式f(x)

C[a,b]在Hn

中的最佳平方逼近，記為n

次最佳平方逼近多項(xiàng)式取Hn

的一組基：1,x,x2,,xn

，則法方程為HHilbert矩陣H

嚴(yán)重病態(tài)

只適合求低次最佳逼近47正交函數(shù)作逼近若0,1,,n正交，則法方程的解為所以k=0,1,…,n誤差Bessel不等式48曲線擬合能否找到一個簡單易算的p(x)

，使得f(x)

p(x)已知f(x)

在某些點(diǎn)的函數(shù)值：xx0x1…xm

f(x)y0y1…ym但是

m

通常很大

yi

本身是測量值，不準(zhǔn)確，即yi

f(xi)

這時不要求p(xi)=yi,而只要

p(xi)yi總體上盡可能小

49

使最小

使最小曲線擬合

p(xi)yi總體上盡可能小

使最小

常見做法太復(fù)雜不可導(dǎo)，求解困難最小二乘法：目前最好的多項(xiàng)式曲線擬合算法50最小二乘曲線擬合的最小二乘問題這個問題實(shí)質(zhì)上是最佳平方逼近問題的離散形式。

可以將求連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近函數(shù)的方法直接用于求解該問題。已知函數(shù)值表(

xi,yi

)，在函數(shù)空間

中求S*(x)

，使得其中i

是點(diǎn)xi處的權(quán)。51最小二乘求解對任意S(x)

=span{0,1,,n}，可設(shè)

S(x)=a00+a11+

···+

ann(x)則求S*(x)等價于求下面的多元函數(shù)的最小值點(diǎn)k=0,1,…,n最小值點(diǎn)52最小二乘求解(k=0,1,…,n)這里的內(nèi)積是離散帶權(quán)內(nèi)積，即，法方程G法方程53最小二乘求解設(shè)法方程的解為：a0*,a1*,,an*,則

S*(x)=a0*

0+a1*

1+

···+

an*

n(x)結(jié)論S*(x)是

f(x)在中的最小二乘解54舉例最小二乘問題中，如何選擇數(shù)學(xué)模型很重要，即如何選取函數(shù)空間=span{0,1,,n}，通常需要根據(jù)物理意義，或所給數(shù)據(jù)的分布情況來選取合適的數(shù)學(xué)模型。55多項(xiàng)式擬合＝Hn=span{1,x,...,xn},即i=xi,

則相應(yīng)的法方程為此時

為

f(x)的n

次最小二乘擬合多項(xiàng)式多項(xiàng)式最小二乘曲線擬合56舉例例：求下面數(shù)據(jù)表的二次最小二乘擬合多項(xiàng)式得法方程xi00.250.500.751.00f(xi)1.00001.28401.64872.11702.7183解：設(shè)二次擬合多項(xiàng)式為解得所以此組數(shù)據(jù)的二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為(1)

若題目中沒有給出各點(diǎn)的權(quán)值i，默認(rèn)為i=1

(2)該方法不適合n

較大時的情形（病態(tài)問題）57第四章

數(shù)值積分與數(shù)值微分58數(shù)值積分微積分基本公式：(3)

f(x)

表達(dá)式未知，只有通過測量或?qū)嶒?yàn)得來的數(shù)據(jù)表但是在許多實(shí)際計(jì)算問題中(2)

F(x)

難求！甚至有時不能用初等函數(shù)表示。如(1)

F(x)

表達(dá)式較復(fù)雜時，計(jì)算較困難。如59幾個簡單公式矩形公式梯形公式拋物線公式基本思想：60一般形式數(shù)值積分公式的一般形式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)機(jī)械求積方法將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算無需求原函數(shù)易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)一般地，用f(x)在[a,b]上的一些離散點(diǎn)

a

x0

<x1

<···

<xn

b

上的函數(shù)值的加權(quán)平均作為f()的近似值，可得61代數(shù)精度定義：如果對于所有次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式f(x)，公式精確成立，但對某個次數(shù)為m+1

的多項(xiàng)式不精確成立，則稱該求積公式具有

m次代數(shù)精度將f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入，公式精確成立;但對f(x)=xm+1不精確成立。即：(k=0,1,…,m)代數(shù)精度的驗(yàn)證方法62舉例例：試確定系數(shù)Ai，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。解：將f(x)＝1,x,x2代入求積公式，使其精確成立，可得解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求積公式為易驗(yàn)證該公式對f(x)＝x3也精確成立，但對f(x)＝x4不精確成立，所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。63插值型求積公式設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：a

x0

<x1

<···

<xn

b

若f(xi)

已知，則可做n

次多項(xiàng)式插值：其中插值型求積公式誤差：其中64Newton-Cotes公式基于等分點(diǎn)的插值型求積公式積分區(qū)間：[a,b]求積節(jié)點(diǎn)：

xi=a

+

ih

求積公式：Cotes系數(shù)Newton-Cotes求積公式65Newton-Cotes公式n=1:代數(shù)精度=1梯形公式n=2:代數(shù)精度=3拋物線公式Simpson公式n=4:科特斯(Cotes)公式代數(shù)精度=566N-C公式余項(xiàng)梯形公式(n=1)

的余項(xiàng)

Simpson公式(n=2)

的余項(xiàng)

Cotes公式(n=4)

的余項(xiàng)67復(fù)合求積公式提高積分計(jì)算精度的常用兩種方法用復(fù)合公式

用非等距節(jié)點(diǎn)將積分區(qū)間分割成多個小區(qū)間在每個小區(qū)間上使用低次牛頓－科特斯求積公式復(fù)合求積公式68復(fù)合梯形公式將[a,b]分成n等分[xi,xi+1]

，其中(i=0,1,…,n)復(fù)合梯形公式余項(xiàng)69復(fù)合Simpson公式復(fù)合Simpson公式余項(xiàng)性質(zhì)：復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson公式都是收斂的，也都是穩(wěn)定的。70舉例解：例：設(shè)，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合simpson公式計(jì)算定積分，并估計(jì)誤差。

xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.84171舉例誤差估計(jì)72第五章

解線性方程組的直接方法73Gauss消去法例：直接法解線性方程組解：74Gauss消去法高斯消去法的主要思路：將系數(shù)矩陣A化為上三角矩陣，然后回代求解?？紤]n階線性方程組：矩陣形式=75計(jì)算LU分解利用矩陣乘法直接計(jì)算LU分解LU=A比較等式兩邊的第一行得：u1j=a1j比較等式兩邊的第一列得：比較等式兩邊的第二行得：比較等式兩邊的第二列得：(j=1,…,n)(i=2,…,n)(j=2,…,n)(i=3,…,n)U

的第一行L

的第一列U

的第二行L

的第二列76計(jì)算LU分解第k

步：此時U

的前k-1行和

L

的前k-1列已經(jīng)求出比較等式兩邊的第k行得：比較等式兩邊的第k列得：直到第n

步，便可求出矩陣L

和U

的所有元素。(j=k,…,n

)(i=k+1,…,n

)77LU分解算法算法：(LU分解

)fork=1tonendj=k,…,ni=k+1,…,nMatlab程序參見：ex51.m運(yùn)算量：(n3-n)/3為了節(jié)省存儲空間，通常用A

的絕對下三角部分來存放L(對角線元素?zé)o需存儲)，用

A

的上三角部分來存放U

78例求下列矩陣的LU分解解:設(shè)LU分解算法79LU分解算法80LU分解算法81Ax=b(i=n,…,1

)(i=1,…,n)兩次回代過程求出方程組的解：運(yùn)算量:

n2加LU分解總運(yùn)算量：

LU分解求解線性方程組82對稱正定矩陣的三角分解－－Cholesky

分解定理：設(shè)A

是對稱矩陣，若A

的所有順序主子式都不為0，則A

可唯一分解為其中L

為單位下三角陣，D

為對角矩陣A=LDLT定理：（Cholesky分解）若A

對稱正定，則A

可唯一分解為其中L

為下三角實(shí)矩陣，且對角元素都大于0A=LLT對稱正定矩陣的Cholesky分解83計(jì)算Cholesky分解

Cholesky

分解的計(jì)算直接比較等式兩邊的元素

計(jì)算公式84Cholesky分解算法for

j=1tonendi=j+1,…,n算法：(Cholesky分解

)運(yùn)算量:n3/6

+n2/2+n/3

85Cholesky分解算法例對矩陣作Cholesky分解解86Cholesky分解算法87向量范數(shù)常見的向量范數(shù)③無窮范數(shù)（最大范數(shù)）②2-范數(shù)①1-范數(shù)88范數(shù)性質(zhì)范數(shù)的性質(zhì)(1)連續(xù)性設(shè)f是Rn上的任意一個范數(shù)，則f關(guān)于x

的每個分量是連續(xù)的(2)等價性設(shè)||·||s

和||·||t

是Rn上的任意兩個范數(shù)，則存在常數(shù)c1和

c2，使得對任意的xRn有證明：板書89范數(shù)性質(zhì)(3)Cauchy-Schwarz不等式(4)向量序列的收斂性矩陣的譜：(A)={

A

的所有特征值

}矩陣的譜半徑：90矩陣范數(shù)常見的矩陣范數(shù)(1)F-范數(shù)(Frobenious范數(shù))(2)算子范數(shù)(從屬范數(shù)、誘導(dǎo)范數(shù))其中||·||是Rn上的任意一個范數(shù)91算子范數(shù)常見的算子范數(shù)③無窮范數(shù)（行范數(shù)）②2-范數(shù)（譜范數(shù)）①1-范數(shù)（列范數(shù)）證明：③②板書，①為練習(xí)例：設(shè)計(jì)算92矩陣范數(shù)性質(zhì)矩陣范數(shù)的性質(zhì)(1)連續(xù)性：設(shè)f是Rnn上的任一矩陣范數(shù)，則f關(guān)于A

的每個分量是連續(xù)的(2)等價性：設(shè)||·||s

和||·||t

是Rnn上的任意兩個矩陣范數(shù)，則存在常數(shù)c1和

c2，使得對任意的ARnn有(3)若A

是對稱矩陣，則93定理：設(shè)||·||

是Rn上的任一向量范數(shù)，其對應(yīng)的算子范數(shù)也記為||·||

，則有算子范數(shù)性質(zhì)算子范數(shù)的性質(zhì)定理：設(shè)||·||

是任一算子范數(shù)，則定理：對任意>0,總存在一算子范數(shù)||·||

，使得

||·||(A)+94穩(wěn)定性理論分析

理論分析：設(shè)又(1)由于右端項(xiàng)的擾動而引起的解的變化(2)由于系數(shù)矩陣的擾動而引起的解的變化設(shè)Ax=b

的條件數(shù)矩陣A

的條件數(shù)95穩(wěn)定性理論分析定理：考慮線性方程組Ax=b，設(shè)b

是精確的，A

有微小的變化A，此時的解為x+

x

，則證明：當(dāng)A充分小時，不等式右端約為設(shè)結(jié)論96矩陣條件數(shù)條件數(shù)與范數(shù)有關(guān)，常用的有無窮范數(shù)和2-范數(shù)

Cond(A)2

稱為譜條件數(shù)，當(dāng)A

對稱時有97舉例例：

計(jì)算Cond(A)和Cond(A)2解：Cond(A)=||A-1||||A||4104Cond(A)2=max/min

4104A

對稱，且98第六章

線性方程組的迭代解法99矩陣分裂迭代法矩陣分裂迭代法基本思想Ax=bk=0,1,2,…給定一個初始向量x(0)，可得迭代格式其中

B=M-1N

稱為迭代矩陣

A=M-NMx=Nx

+

bM非奇異A

的一個矩陣分裂100收斂性分析定理：對任意初始向量x(0)，上述迭代格式收斂的充要條件是證明：板書定理：若存在算子范數(shù)||·

||，使得||B||<1，對任意的初始向量x(0)，上述迭代格式收斂。例：考慮迭代法x(k+1)=Bx(k)+f

的收斂性，其中基本收斂定理充分條件101Jacobi迭代考慮線性方程組Ax=b其中A=(aij)nn

非奇異，且對角線元素全不為0。將A

分裂成A=D-L-

U，

其中102Jacobi迭代k=0,1,2,…令M=D，N

=L

+U，可得雅可比(Jacobi)迭代方法Jacobi迭代迭代矩陣記為：分量形式：i=1,2,…,

n，k=0,1,2,…103Gauss-Seidel迭代在計(jì)算時，如果用代替，則可能會得到更好的收斂效果。104Gauss-Seidel迭代寫成矩陣形式:此迭代方法稱為高斯-塞德爾(Gauss-Seidel)迭代法k=0,1,2,…可得迭代矩陣記為：105SOR迭代為了得到更好的收斂效果，可在修正項(xiàng)前乘以一個松弛因子，于是可得迭代格式在G-S迭代中106SOR迭代寫成矩陣形式:可得——SOR(SuccessiveOver-Relaxation)迭代方法迭代矩陣記為：

SOR的優(yōu)點(diǎn)：通過選取合適的，可獲得更快的收斂速度

SOR的缺點(diǎn)：最優(yōu)參數(shù)的選取比較困難107Jacobi迭代收斂的充要條件(J)<1

G-S迭代收斂的充要條件(G)<1

SOR迭代收斂的充要條件(L)<1收斂性收斂性定理Jacobi迭代收斂的充分條件||J||<1

G-S迭代收斂的充分條件||G||<1

SOR迭代收斂的充分條件||L||<1108Jacobi、G-S收斂性定理：若A嚴(yán)格對角占優(yōu)或不可約弱對角占優(yōu)，則A非奇異定理：若A嚴(yán)格對角占優(yōu)或不可約弱對角占優(yōu)，則Jacobi迭代和G-S迭代均收斂定理：若A對稱，且對角線元素均大于0，則Jacobi迭代收斂的充要條件是A與2D-A均正定；G-S迭代收斂的充要條件是A正定。109SOR收斂性定理：若SOR迭代收斂，則0<<2。SOR收斂的必要條件定理：若A

對稱正定，且0<<2，則SOR迭代收斂。SOR收斂的充分條件定理：若A

嚴(yán)格對角占優(yōu)或不可弱約對角占優(yōu)，且0<1，則SOR迭代收斂。110舉例例：設(shè)，給出Jacobi和G-S收斂的充要條件解：A對稱，且對角線元素均大于0，故(1)Jacobi收斂的充要條件是A和2D-A均正定(2)G-S收斂的充要條件是A正定A

正定2D-A

正定Jacobi收斂的充要條件是：-0.5<a<0.5G-S收斂的充要條件是：-0.5<a<1111舉例解法二：Jacobi的迭代矩陣為設(shè)是J

的特征值，則由det(I-

J)=0可得(-

a)2(

+2a)=0Jacobi收斂的充要條件是(J)<1||<1，即

-0.5<a<0.5112收斂速度定義：迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f

的平均收斂速度為漸進(jìn)收斂速度為

(B)

越小，收斂越快113第七章

非線性方程(組)的數(shù)值解法114不動點(diǎn)迭代基本思想構(gòu)造

f(x)=0

的一個等價方程：

(x)

的不動點(diǎn)f(x)=0x=(x)等價變換f(x)

的零點(diǎn)115不動點(diǎn)迭代具體過程任取一個迭代初始值x0，計(jì)算得到一個迭代序列：x0，x1，x2，...，xn，...

k=0,1,2,......幾何含義：求曲線y=(x)與直線y=x

的交點(diǎn)116連續(xù)性分析設(shè)(x)

連續(xù)，若收斂，即，則即收斂性分析性質(zhì)：若，則不動點(diǎn)迭代收斂，且x*是f(x)=0的解；否則迭代法發(fā)散。117解的存在唯一性定理：設(shè)(x)C[a,b]且滿足證明：板書對任意的x[a,b]有(x)[a,b]存在常數(shù)0<L<1，使得任意的x,y[a,b]有則(x)

在[a,b]上存在唯一的不動點(diǎn)

x*解的存在唯一性118收斂性分析定理：設(shè)(x)C[a,b]且滿足證明：板書對任意的x[a,b]有(x)[a,b]存在常數(shù)0<L<1，使得任意的x,y[a,b]有則對任意初始值x0[a,b]，不動點(diǎn)迭代xk+1=(xk)收斂，且不動點(diǎn)迭代的收斂性119收斂性分析不動點(diǎn)迭代的收斂性若(x)C1[a,b]且對任意x[a,b]有

|’(x)|L<1則上述定理中的結(jié)論成立。收斂性結(jié)論表明：收斂性與初始值的選取無關(guān)全局收斂120舉例例：求f(x)=x3–x–1=0

在區(qū)間[1,2]

中的根(1)(2)ex71.m121局部收斂定義：設(shè)x*是(x)的不動點(diǎn)，若存在x*的某個-鄰域U(x*)

=[x*-,x*+]，對任意

x0