彈塑性力學(xué)3彈性力學(xué)解題方法

第3章彈性力學(xué)解題方法按位移求解彈性力學(xué)問題按應(yīng)力求解彈性力學(xué)問題平面問題和應(yīng)力函數(shù)半逆解法廣義胡克定律

1678年，R.Hooke發(fā)表了固體受力后應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的定律—胡克定律?！坝卸啻笊扉L，就有多大力”各向同性體的胡克定律還可以用應(yīng)變表示應(yīng)力。Lamé

彈性常數(shù)3-1

按位移求解彈性力學(xué)問題

彈性力學(xué)的一般問題中，共包含15個未知函數(shù)，將用15方程來求解。

對于各向同性的彈性體：

3個平衡微分方程；

6個幾何方程（微分方程）；

6個物理方程（廣義胡克定律）。

邊界條件（與上述方程組成封閉的定解問題）彈性力學(xué)問題解法的分類：取位移作為基本未知量?！灰品ㄈ?yīng)力作為基本未知量?！獞?yīng)力法按位移求解彈性力學(xué)問題時，取u,v,w作為基本未知量。幾何方程物理方程消去應(yīng)變平衡方程消去應(yīng)力Lamé位移方程力的邊界條件消去應(yīng)力

按位移求解彈性力學(xué)問題

優(yōu)點：未知函數(shù)的個數(shù)比較少，即僅有三個未知量u,v,w。

缺點：必須求解三個聯(lián)立的二階偏微分方程。 按位移求解問題是普遍適用的方法，特別是在數(shù)值解中得到了廣泛的應(yīng)用，例如在有限元法，差分法等數(shù)值計算方法中，得到了很好的應(yīng)用。

例1設(shè)有半空間體，單位體積的質(zhì)量為ρ，在水平邊界上受均布壓力q的作用，試用位移法求各位移分量和應(yīng)力分量，假設(shè)在z=h處z方向的位移w=0。qh解：由于載荷和彈性體對z軸對稱，并且為半空間體可以假設(shè)體積應(yīng)變代入Lamé

位移方程力的邊界條件位移邊界條件位移分量應(yīng)力分量3-2

按應(yīng)力求解彈性力學(xué)問題 按應(yīng)力求解彈性力學(xué)問題時，取6個應(yīng)力分量作為基本未知量。變形協(xié)調(diào)方程物理方程消去應(yīng)變平衡方程改變形式相容方程體積力為零或為常量推導(dǎo)參照教材應(yīng)力第一不變量Θ是調(diào)和函數(shù)左式兩邊分別作Laplace運算應(yīng)力分量是雙調(diào)和函數(shù)

按應(yīng)力求解彈性力學(xué)問題

優(yōu)點：邊界條件比較簡單，并且得到的應(yīng)力表達(dá)式在大多數(shù)具體問題中比位移表達(dá)式簡單。

缺點：未知函數(shù)較多，所要求解的二階偏微分方程比較復(fù)雜。 按應(yīng)力求解比按位移求解一般來說容易些。 但就解決彈性體問題的普遍性而言，按位移求解更具有普遍性。 對于實際問題，適當(dāng)?shù)倪x擇求解方法。3-3

平面問題和應(yīng)力函數(shù)平面問題平面問題的分類：①平面應(yīng)力問題②平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題

構(gòu)件幾何形狀特征：薄板

外力:平行于中面，沿厚度均勻分布，表面不受外力作用。xyzyzo

表面面力邊界條件： 由于薄板厚度很小，應(yīng)力分量均勻分布中面平面應(yīng)變問題

構(gòu)件幾何形狀特征：具有很長縱向軸的柱體縱向軸 橫截面的大小和形狀沿軸線不變；外力與軸線垂直并且沿軸線不變；主體兩端受固定約束。z方向上位移位移發(fā)生在oxy平面內(nèi)根據(jù)幾何方程根據(jù)物理方程應(yīng)力函數(shù) 在平面問題中，引進(jìn)應(yīng)力函數(shù)的概念，往往使求解問題變得簡單。無體力存在時假定平衡方程將自然滿足只需求解以應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程平面應(yīng)力問題：變形協(xié)調(diào)方程邊界條件 平面問題歸結(jié)為求解滿足雙調(diào)和方程和給定邊界條件的函數(shù)

例2圖示很長的矩形柱體，材料的比重為γ，將其放入形狀相同的剛性槽內(nèi)若不考慮摩擦力，設(shè)應(yīng)力函數(shù)的形式為試求各應(yīng)力分量、應(yīng)變分量以及位移分量。haaxyo解：根據(jù)Airy應(yīng)力函數(shù)可得應(yīng)力邊界條件剛性槽的條件針對求解的問題，根據(jù)材料力學(xué)已知解或彈性體的邊界形狀和受力情況，假設(shè)部分應(yīng)力為某種形式的函數(shù)，從而推斷出應(yīng)力函數(shù)；然后用方程和邊界條件確定尚未求出的應(yīng)力分量，或完全確定原來假設(shè)的尚未全部定下來的應(yīng)力。如能滿足彈性力學(xué)的全部條件，則這個解就是正確的解答，如不能滿足全部條件，則需另外假定，重新求解。

由于根據(jù)已有解或經(jīng)驗作了一定假設(shè)，使得問題的求解過程得以大大簡化。3-4

半逆解法

例3圖示立柱（厚度為單位厚度），在其側(cè)面上，作用有均布剪力τ，試用半逆解法求其應(yīng)力分布規(guī)律。hxyo解：假定縱向纖維互不擠壓代入上式對于y取任何值均應(yīng)成立對應(yīng)力分量無影響邊界條件：在x=0處，在x=h處，（主要邊界條件，需精確滿足）在y=0處，hxyo在y=0處，（次要邊界條件，使用圣維南原理建立）應(yīng)力分量：hxyoxy1ll圖示梁對應(yīng)的邊界條件：MM——對應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力分布。(1)例:矩形梁的純彎曲xy1llMM常數(shù)d與彎矩M的關(guān)系：(1)(2)此結(jié)果與材力中結(jié)果相同.位移分量的求解xyl1hMM（1）應(yīng)變分量(a)（2）位移分量(c)(c)(d)將式(d)代入(c)中第三式，得：整理得：(e)將上式代入式（d），得(f)(f)xyl1hMM（1）兩端簡支(f)(3-3)梁的撓曲線方程：——與材力中結(jié)果相同（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：（中點不動）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動）得：(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果相同討論：若取固定端邊界條件為：h/2h/2（中點不動）(中點處豎向線段轉(zhuǎn)角為零)得到：求得：此結(jié)果與前面情形相同。（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。應(yīng)力函數(shù)法求解平面問題的基本步驟：（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件?！肽娼夥ǖ臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解