第8章 漸近法及其它算法簡述

基本要求：熟練掌握用力矩分配法計算連續(xù)梁與無側(cè)移剛架；了解無剪力分配法計算符合條件的有側(cè)移剛架；了解近似法計算多層多跨剛架的基本假定及步驟；了解連續(xù)梁影響線。

教學(xué)內(nèi)容：﹡力矩分配法的概念

﹡多結(jié)點力矩分配法

﹡無剪力分配法

﹡近似法

﹡連續(xù)梁的影響線

第8章

漸近法及其它算法簡述§8.1

力矩分配法的基本概念理論基礎(chǔ)：位移法；計算對象：桿端彎矩；適用范圍：連續(xù)梁和無側(cè)移剛架。一、基本概念1.轉(zhuǎn)動剛度SAB：使桿端發(fā)生單位轉(zhuǎn)動時需在桿端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0ABBABAABSAB與桿的線剛度i（材料的性質(zhì)、橫截面的形狀和尺寸、桿長）及遠端支承有關(guān)，而與近端支承無關(guān)。SAB=4i12.傳遞系數(shù)CAB：遠端彎矩與近端彎矩的比值。4i——近端彎矩其中：2i——遠端彎矩傳遞系數(shù)：ABMAB=4iMBA=2iABMAB=3iMBA=0傳遞系數(shù)：MAB=iMBA=-iAB傳遞系數(shù)：分配系數(shù)計算公式的推導(dǎo)用位移法求解該結(jié)構(gòu)。未知量：桿端彎矩：建立方程：……①MM12M14M133.分配系數(shù)：某桿的轉(zhuǎn)動剛度與該結(jié)點所有桿件轉(zhuǎn)動剛度之和的比值。每個桿端的轉(zhuǎn)動剛度圍繞“1”結(jié)點每個桿端的轉(zhuǎn)動剛度之和分母是圍繞“1”結(jié)點每個桿端的轉(zhuǎn)動剛度之和分子是每個桿端的轉(zhuǎn)動剛度解方程，得：回代，得：●

求各桿的分配系數(shù)計算公式：

顯然●

求近端彎矩M=分配系數(shù)×結(jié)點力矩●

求遠端彎矩M=傳遞系數(shù)×近端彎矩二、單結(jié)點的力矩分配例1.用力矩分配法計算圖示連續(xù)梁。由∑MB=0求得附加剛臂中的約束力矩：解：(1)先在結(jié)點B加一附加剛臂(圖(b))使結(jié)點B不能轉(zhuǎn)動，此步驟常稱為“固定結(jié)點”。此時各桿端產(chǎn)生的固端彎矩：MFB=180-100=80kN.m(2)為了消除約束力矩MFB，應(yīng)在結(jié)點B處加入一個與它大小相等方向相反的力矩MB=-MFB(圖(c))，在約束力矩被消除的過程中，結(jié)點B即逐漸轉(zhuǎn)動到無附加約束時的自然位置，故此步驟常簡稱為“放松結(jié)點”。將圖(b)和圖(c)相疊加就得到圖(a)中的結(jié)果。對于圖(c)，可用上述力矩分配法的基本運算求出各桿端彎矩。計算各桿端分配系數(shù)：

SBA=3iBA=3×2EI/12=EI/2

SBC=4iBC=4×EI/8=EI/2

μBA=SBA/(SBA+SBC)=0.5

μBC=SBC/(SBA+SBC)=0.5(3)最后將各桿端的固端彎矩(圖(b))與分配彎矩、傳遞彎矩(圖(c))相加，即得各桿端的最后彎矩值。三、計算步驟1.在剛結(jié)點上增加阻止轉(zhuǎn)動的附加剛臂，把連續(xù)梁分解為具有固定端的單跨梁；2.計算結(jié)點處各桿件的彎矩分配系數(shù)；3.計算各桿的固端彎矩和結(jié)點處附加剛臂中的約束力矩；4.把結(jié)點處的約束力矩取反加在結(jié)點處，計算分配彎矩與傳遞彎矩；5.計算實際的各桿端彎矩。近端彎矩=固端彎矩+分配彎矩遠端彎矩=固端彎矩+傳遞彎矩例2.用力矩分配法計算圖示剛架,畫M圖。解：1）求分配系數(shù)μ2）計算固端彎矩ABCD2m3m2m4mi=1i=1i=240kN/m100kN15kN.mM=15MA結(jié)點BACD桿端分配系數(shù)BAABADACCADA4/93/92/9分配與傳遞20固端彎矩-5050-80101510-10最后彎矩-4070-6510-10M圖（kN.m)40701001080ABCD4547.565例3.用力矩分配法作圖(a)所示封閉框架的彎矩圖。已知各桿EI等于常數(shù)。解：(1)計算固端彎矩(2)計算分配系數(shù)分配系數(shù)：

轉(zhuǎn)動剛度：(3)進行力矩的分配和傳遞，求最后桿端彎矩。(4)作彎矩圖。一、原理與方法（輪流放松、逐次分配）

§8.2

多結(jié)點力矩分配法多結(jié)點力矩分配法的思路是，首先把所有結(jié)點鎖住，然后依次逐個放松結(jié)點，使結(jié)構(gòu)處于“單結(jié)點”狀態(tài)，再使用力矩分配法消去結(jié)點上的不平衡力矩，如此反復(fù)進行，使結(jié)點不平衡力矩逐漸減小，直至可以忽略，因此，它是一種漸近法。二、計算步驟1.計算各結(jié)點的分配系數(shù)；2.將所有中間結(jié)點固定，計算各桿固端彎矩；3.將各結(jié)點輪流放松，分配與傳遞各結(jié)點的不平衡力矩，直到傳遞彎矩小到可忽略為止；4.把每一桿端歷次的分配彎矩、傳遞彎矩和原有的固端彎矩相加，即為各桿端的最后彎矩。結(jié)點B：SBA=3iBA=3×4EI/2=6EI

SBC=4iBC=4×9EI/3=12EI

μBA=SBA/(SBA+SBC)=1/3

μBC=SBC/(SBA+SBC)=2/3例1.試用力矩分配法作圖(a)所示連續(xù)梁的彎矩圖。解：(1)計算分配系數(shù)結(jié)點C：SCB=SBC=12EI

SCD=4iCD=4×4EI/2=8EI

μCB=SCB/(SCB+SCD)=3/5

μCD=2/5(2)計算固端彎矩MFBA=3Pl/16=18.75kN·mMFBC=-ql2/12=-15kN·mMFCB=ql2/12=15kN·m例2.用力矩分配法計算圖示連續(xù)梁。0.4290.5710.50.54.0-2.00.00.00.00.0-4.00.861.140.570.700.940.47-3.29-1.65-3.28-1.64-0.12-0.23-0.24-0.12

0.070.05-1.780.39-3.54-2.46-0.39-4.04.0分配系數(shù)固端彎矩分配與傳遞最終彎矩iii4m4m2m2m2m6kN.m2kN2kN/mMF=-ql2/8+M/2=-4+2=-2kN·m解法一：-0.01-0.02-0.020.04解法二：2.67-2.670.00.00.00.0-4.0-1.67-1.67-0.09-0.09分配系數(shù)固端彎矩1.341.33-3.33-3.340.670.67-0.17-0.17

0.130.13分配與傳遞最終彎矩0.50.50.50.5100.670.670.340.340.660.33-0.34-0.17-1.780.37-3.53-2.47-0.37-4.04.00.070.07-0.04-0.03-0.07-0.02例3.試用力矩分配法作圖(a)所示連續(xù)梁的彎矩圖。例4.試用力矩分配法作圖(a)所示剛架的內(nèi)力圖。4I4I5I3I3I5m4m4m4m2mCABDEF20kN/m33432i=1110.750.5例5.求圖示剛架的內(nèi)力圖。解：1）求分配系數(shù)結(jié)點B:μBA=3/10=0.3μBC=4/10=0.4μBE=3/10=0.3μCB=4/9=0.445μCD=3/9=0.333μCF=2/9=0.222結(jié)點C：2）求固端彎矩BABEBCCBCFCD0.30.30.40.4450.2220.33340－41.741.7－18.5－9.3－13.9－9.33.33.34.440-41.7-9.3=-112.2－1.0－0.5－0.7－0.50.150.150.243.43.5－46.5

24.4－9.8－14.8

EB1.60.11.7FC－4.7－0.2－4.9

EABCDF43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M圖(kN.M)CABDEFQ圖(kN)29.150.954.545.53.71.32.5N圖(kN)49.2105.42.51.2CABDEFCABDEF例6.利用對稱性求圖示剛架的彎矩圖。解：（1）利用對稱性取半邊結(jié)構(gòu)進行計算（2）計算分配系數(shù)結(jié)點C：

（3）計算固端彎矩

（4）進行力矩分配與傳遞（5）利用對稱性繪制彎矩圖例7.圖示等截面連續(xù)梁，EI=36000kN.m2,在荷載作用下，要使梁中間跨的最大正彎矩和支座負彎矩絕對值相等，B、C支座應(yīng)升降多少？解：（1）利用對稱取半邊結(jié)構(gòu)計算（2）設(shè)B、C下沉位移為△（3）用力矩分配法求解①求固端彎矩

分配系數(shù)固端彎矩分配與傳遞

最后彎矩②求分配系數(shù)

③進行力矩分配與傳遞，求最后彎矩

小結(jié)

1）對于多結(jié)點問題，為了使計算收斂速度加快，通常宜從不平衡力矩值較大的結(jié)點開始計算（放松）。

2）支座沉降而非載荷因素問題時，將其視為“廣義載荷”求固端彎矩（可根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程或單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力表求得）。

3）對于對稱結(jié)構(gòu)，可取半邊結(jié)構(gòu)簡化計算。4）不能同時放松相鄰結(jié)點（因定不出其轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)），但可以同時放松所有不相鄰的結(jié)點，以加快收斂速度。一、應(yīng)用條件

§8.3

無剪力分配法無剪力分配法——用來求解某些特殊的有側(cè)移剛架（有側(cè)移桿件均為剪力靜定桿），是力矩分配法的特殊形式。剛架中除桿端無相對線位移的桿件外，有側(cè)移桿件均為剪力靜定桿。力矩分配法——求解連續(xù)梁和無側(cè)移剛架的漸近法；PPPABCDP2P3P柱剪力圖·各梁的兩端結(jié)點沒有相對線位移（即無垂直桿軸的相對位移），這種桿件稱為兩端無相對線位移的桿件?！じ髦膬啥擞邢鄬€位移，但剪力是靜定的（剪力可由靜力平衡條件直接求出），這種桿件稱為剪力靜定桿件。ABB’CC’A’（a）原結(jié)構(gòu)2FP2FP（b）正對稱FPFPFPFP=+可取半剛架計算。（d）半剛架FPFP分解為正、反對稱問題彎矩等于零，不必計算FPFPFPFP（c）反對稱有側(cè)移的柱剪力是靜定的，可用無剪力分配法計算。取例：

FPFPFPADCB（a）ADCBFP2FP3FP（b）無剪力分配法可以解只有一根豎柱的剛架，且橫梁端部的鏈桿應(yīng)與柱平行的問題。也可以推廣到單跨多層對稱剛架等問題。對圖示有側(cè)移剛架，則不能直接應(yīng)用無剪力分配法。因豎柱AB、CD既不是兩端無線位移桿件，也不是剪力靜定桿件，不符合無剪力分配法的應(yīng)用條件。ABDCEFP二、單跨單層剛架BACBACSAB=iAB

SAC=3iAC只阻止轉(zhuǎn)動放松單元分析：ABABMAB-MABQ=0等效ABMABSAB=iAB

CAB=-1上面兩個過程主要討論剪力靜定桿件的變形和受力特點:（2）剪力靜定桿件的轉(zhuǎn)動剛度S=i；傳遞系數(shù)C=-1。（3）AC桿的計算與以前一樣。

（1）求剪力靜定桿的固端彎矩時，先由平衡條件求出桿端剪力；將桿端剪力看作桿端荷載，按該端滑動，遠端固定桿件計算固端彎矩。例1.已知EI=常數(shù)，用無剪力分配法求圖示剛架的彎矩圖。解：（1）求力矩分配系數(shù)

（2）求固端彎矩（3）力矩分配與傳遞，繪制彎矩圖。例2.作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖。2m2m4m5kNABC1kN/mi1=4i2=3解：（1）求固端彎矩（2）求分配系數(shù)0.20.8-2.67-3.75-5.331.285.14-1.28-1.391.39-6.611.395.706.61M圖(kN·m)三、單跨多層剛架P1P2ABCDEP1P2ABP1MABMABBCMBCMCBP1+P21.求固端彎矩AB、BC桿是剪力靜定桿1）由靜力平衡條件求出桿端剪力；2）將桿端剪力作為荷載求固端彎矩。BCDEASBA=iABSBE=3iBESBC=iBCBCiBCQ=0iABAB2.分配與傳遞

在結(jié)點力矩作用下，剪力靜定的桿件其剪力均為零，也就是說在放松結(jié)點時，彎矩的分配與傳遞均在零剪力條件下進行，這就是無剪力分配法名稱的來源。CBC=-1CBA=-1例2.試求作圖示剛架在水平力作用下的彎矩圖1）固端彎矩（柱側(cè)移端修正為滑動）（下柱）（上柱）＝4＋8.5注意！(僅梁有軸力)

2）分配系數(shù)（柱遠端修正為滑動）匯交A結(jié)點：（B滑動）

匯交B結(jié)點：（A、C滑動）

3）力矩分配法計算圖表半剛架圖（梁長度減半加倍）§8-5力矩分配法與位移法的聯(lián)合應(yīng)用*

求解一般有結(jié)點線位移的剛架;用力矩分配法考慮角位移的影響;用位移法考慮線位移的影響（只取線位移為基本未知量）。一、解題思路基本結(jié)構(gòu)1）位移法方程荷載引起側(cè)移引起2）用力矩分配法作

圖，求作

圖，求3）代入位移法方程求解4）求內(nèi)力荷載作用側(cè)移作用[例]

試求作圖示剛架的彎矩圖。由桿端彎矩可求出柱底剪力再由整個剛架的平衡，求得解：1）位移法方程2）力矩分配法作

圖，求作

圖，求先作

圖，求再作

圖求3）由位移法方程求Δ1§8.5

近似法●

分層法——計算剛架在豎向荷載作用下的彎矩●

反彎點法——計算剛架在水平荷載作用下的彎矩（ib/ic≥3）●

D值法——計算剛架在水平荷載作用下的彎矩（ib/ic＜3）剛架在豎向荷載作用下，為簡化計算作如下假設(shè)：1）結(jié)點的位移主要是轉(zhuǎn)角，側(cè)移很小可忽略不計；2）作用在本層梁上的荷載主要對本層及上下柱子有影響，對其它層桿件的影響很小可忽略不計。一、分層法在上述假設(shè)前提下，把多層剛架分解成一層一層單獨計算，然后把每層彎矩圖疊加。根據(jù)以上假設(shè)，計算可作如下簡化：1）計算方法：由于剛架的側(cè)移被忽略，因此可以用力矩分配法計算。2）計算簡圖：由于荷載只對本層梁及上下柱有影響，因此計算簡圖只需取相關(guān)部分即可。例：取例：++++q取q56781234q5678123491011125678910111213141516101112181920141516q917132）計算分配系數(shù)時，除底層柱以外其余各層柱的線剛度要乘折減系數(shù)0.9，傳遞系數(shù)取1/3。一層柱子的線剛度不需折減，傳遞系數(shù)取1/2。1）按上述4個計算簡圖，分別用力矩分配法進行計算。3）對4個計算結(jié)果進行疊加，主要是一層以上柱端內(nèi)力應(yīng)是兩部分之和。4）柱子彎矩由于疊加后，在結(jié)點處就不平衡了，這就需要在結(jié)點處再進行一次分配，稱為“彎矩調(diào)幅”，但不需再傳遞。計算時要注意以下問題：以“1”結(jié)點為例：計算簡圖1，力矩分配法的計算結(jié)果。兩者疊加后“1”結(jié)點的結(jié)果。計算簡圖2，力矩分配法的計算結(jié)果?！?”結(jié)點的一次分配結(jié)果。10.40.6103-1.211.8-10-1.8-11.8BAMABBAMABMBA

1.側(cè)移剛度系數(shù)k（表示桿端抵抗側(cè)移的能力）二、剪力分配法k——使桿端產(chǎn)生單位側(cè)移時，在桿端所施加的力。1FQ（1）兩端固定梁的側(cè)移剛度1（2）一端固定一端鉸支梁的側(cè)移剛度FQ（反彎點）受拉方向改變的臨界點稱反彎點的M=0——計算剛架在水平結(jié)點荷載作用下的彎矩

IIEI1=h由截面上部平衡∑X＝0得：解：PP反彎點在中點,柱端彎矩為：

（反彎點）

兩柱側(cè)移剛度相等

2.剛架簡例（橫梁抗彎剛度∞）

Fp

3.柱頂剪力分配公式

回憶力矩分配法的彎矩分配系數(shù)公式，對照加深理解。IIEI1=hI剪力分配系數(shù)：分子為第j根柱子的側(cè)移剛度分母為所有柱子側(cè)移剛度之和123EI1=hFp

II[例]用剪力分配法求解。解：EI1=hFp

II兩邊柱側(cè)移剛度相等，均為中柱側(cè)移剛度為兩邊柱剪力相等，均為中柱的剪力為根據(jù)反彎點求作M圖I（反彎點在柱中）（反彎點在柱頂鉸）三、反彎點法——實質(zhì)上是剪力分配法剛架在水平荷載作用下彎矩計算的近似方法。剛架在水平荷載作用下彎矩圖有以下的特點：1）彎矩圖全是直線組成；2）柱子的剪力沿桿長是常數(shù)；3）柱子的彎矩圖全有反彎點；4）結(jié)點位移主要是側(cè)移，轉(zhuǎn)角很小。FPFPFPFP為了簡化計算，作如下假設(shè)：

1）剛架在水平荷載作用下，結(jié)點只有側(cè)移，轉(zhuǎn)角為零；2）柱子反彎點的高度在柱高的1/2處，多層剛架（三層以上）底層柱在柱高的2/3處。解釋一下，第2個假設(shè)：反彎點在中間

兩端固定單元一端固定一端鉸結(jié)反彎點在柱頂

一層以上柱，由于假設(shè)轉(zhuǎn)角為零，因此全是兩端固定單元，因此反彎點在柱中。一層柱由于底部是真正的固定端，而上部剛結(jié)點與固定端有一定的誤差，因此反彎點上移取2/3柱高。

反彎點向支撐弱的一端移動

對每根柱子若已知了反彎點的高度，又知道了剪力的話，其彎矩圖就可畫出。柱的彎矩知道了，梁的彎矩就可利用結(jié)點平衡求出。1）求柱的剪力例如求第三層柱的剪力取n—n截面：FPFPFQ34FQ33FQ31FQ32FPFPFPFP12341234nn……①本層以上的水平力之和其中任意根柱的剪力：把②代入①式，得：……②把△3代入②式，得：其中“3”表示第3層。FPFPFQ34FQ33FQ31FQ32由上分析得到任意層任意根柱的剪力計算公式：其中：第r層第i根柱子的剪力分配系數(shù)。分子為第r層第i根柱子的線剛度，分母為第r層所有柱子線剛度之和。第r層以上所有外荷載之和。2）梁的彎矩在結(jié)點處按梁的線剛度分配柱子的彎矩。為I結(jié)點處第i根梁的線剛度。其中：為I結(jié)點處所有梁的線剛度之和。ML2ML1MZ例.用反彎點法計算圖示剛架的彎矩，所有桿件的i均相同。解：1）求柱的剪力2）求柱的彎矩1010101234567891011123.03.03.03）求梁的彎矩155525105515104M圖●當梁的線剛度時，為精確解；●當（強梁弱柱）時，誤差可接受。一、用靜力法繪制超靜定梁影響線的原理1.在靜定梁中，用靜力法繪制某量值Z影響線時，只需利用靜力平衡條件，建立某量值與移動荷載P＝1位置的函數(shù)關(guān)系，就可以繪制出影響線。2.在超靜定梁中，用靜力法繪制某量值Z影響線時，則需用超靜定某量值的解法（如力法或位移法等），求出某量值與移動荷載P＝1的關(guān)系，從而繪制出影響線。靜力法繪制超靜定梁影響線，計算比較復(fù)雜，本章不做介紹。

§8.6超靜定力的影響線則:

Z1(x)

=δP1(x)/δ11=δP1(x)

Z1（x）①(b)δ11=1δP1（x）②(c)（2）沿Z1正方向虛設(shè)單位位移如圖

（c）（為位移狀態(tài)2）W12=Z1（x）×δ11－P×δP1（x）由功的互等得：W12=W21（1）去掉約束以未知力Z1代替如圖（b）（為力狀態(tài)1）

所得虛位移圖即量值Z的影響線，虛位移圖形狀即量值Z的影響線的輪廓線。例：虛位移原理計算(a)圖中B支座反力

Z1=1P=1xB(a)P=1x二、用機動法作超靜定力的影響線由虛功原理得：W21=0令δ11=11.撤去與所求約束力Z1相應(yīng)的約束，用Z1來代替。2.使體系沿Z1的正方向發(fā)生位移，作出荷載作用點的撓度圖δP1

圖，所得位移圖的形狀即為Z1的影響線的輪廓線。3.將δP1圖除以常數(shù)δ11，便確定了影響線的豎標。4.橫坐標以上圖形為正，橫坐標以下圖形為負。靜定結(jié)構(gòu)影響線與超靜定結(jié)構(gòu)影響線的區(qū)別：1.靜定結(jié)構(gòu)是幾何不變，無多余約束體系，撤去約束后，體系為幾何可變體系。幾何可變體系的位移是剛體位移圖，是折線圖形。2.超靜定結(jié)構(gòu)是幾何不變，有多余約束體系，撤去約束后，體系仍為幾何不變體系。其位移圖是曲線圖形。三、機動法作超靜定力影響線的步驟MCδ11MKδ11RCRCQC右P=1xABCDEFABCDEFMCABCDEFMKKABCDEFABCDEF例1.繪制超靜定梁MC、MK、RC、QC右的影響線的形狀。例2.求圖示連續(xù)梁支座彎矩MB的影響線。10.50.256m6m6mABCDxP=1MB=1梁在Z1作用下的M1圖MB=1梁在Z1作用下的位移圖解：（1）繪制連續(xù)梁支座彎矩MB的影響線的形狀（2）繪制連續(xù)梁在支座彎矩MB=1作用下的彎矩圖，求出δ116m6m6mABCDAB：BC：x1P=1x2P=1x3P=1CD：10.50.25MB=1（3）計算每跨的撓度方程ABCD-0.123m-0.346m-0.389m-0.497m-0.520m-0.281m0.151m0.175m0.108mAB：BC：CD：支座B處彎矩MB影響線*例3.用機動法繪制圖示連續(xù)梁支座B的彎矩影響線。5m