第一、二、三章習(xí)題、例題

1-1一質(zhì)點(diǎn)在平面上作曲線運(yùn)動(dòng)，t1時(shí)刻的位置矢量為,t2時(shí)刻的位置矢量為，求（1）在時(shí)間內(nèi)位移的矢量式；（2）該段時(shí)間內(nèi)位移的大小和方向；（3）在坐標(biāo)圖上畫出。（題中r以m為單位，t以s為單位）解：y(m)x(m)O（-2,6）（2,4）1-12-22-3346-26.601-3已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為式中t以s為單位，x、y以m為單位（1）計(jì)算并圖示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；（2）求出t=1s到t=2s這段時(shí)間質(zhì)點(diǎn)的平均速度；（3）計(jì)算1s末和2s末質(zhì)點(diǎn)的速度；（4）計(jì)算1s末和2s末質(zhì)點(diǎn)的加速度。解：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線（x>0）。1-9質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)沿半徑R=3m的圓周作勻變速運(yùn)動(dòng)，切向加速度。問（1）經(jīng)過多少時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)的總加速度恰好與半徑成45度角？（2）在上述時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)歷的角位移和路程各為多少？解：2-4A、B、C三個(gè)物體，質(zhì)量分別是

當(dāng)把它們?nèi)鐖Da所示放置時(shí)，物體系統(tǒng)正好做勻速運(yùn)動(dòng)。（1）求物體C與水平桌面間的摩擦因數(shù)；（2）如果將物體A移到物體B的上面，如圖b所示，求系統(tǒng)加速度及繩中張力（滑輪與繩的質(zhì)量不計(jì)）。BACBACB解：滑輪和繩的質(zhì)量不計(jì)，則繩中張力處處相等，設(shè)為FT.ACFTFNFfB（1）如圖a放置時(shí)，因A,B,C的加速度為零，A和C可視為一個(gè)整體，有牛頓第二定律：對(duì)A,C豎向水平且對(duì)B圖a（2）如圖b放置時(shí)，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖b,有牛頓第二定律，對(duì)C：FfFTCABFTa圖b2-9一質(zhì)量為m的滑塊，沿如圖所示的軌道以初速無摩擦地滑動(dòng)，求滑塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中所受的沖量，并圖示（OB與地面平行，取i水平向右，j豎直向上）。解：物體由A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力對(duì)物體做功，物體和地球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，取水平軌道上重力勢(shì)能為零，則有：ARBIABPAPBji2-22A,B兩輕質(zhì)彈簧，勁度系數(shù)分別為k1和k2，把他們?nèi)鐖D串接后，再懸一質(zhì)量為m的重物C,釋手后，任其運(yùn)動(dòng)。（1）設(shè)某時(shí)刻兩彈簧共伸長x，求A，B的分別伸長值x1和x2

（2）A,B串接后，把他們看做一個(gè)新彈簧，設(shè)新彈簧的勁度系數(shù)為k，請(qǐng)用k1和k2表示k

（3）某時(shí)刻，作用在重物C上的彈力正好等于重物C的重量，這時(shí)彈簧、重物、地球系統(tǒng)處于平衡，求此時(shí)兩彈簧的總伸長量。

（4）重物從初位置（兩彈簧都沒有伸長時(shí)）運(yùn)動(dòng)到平衡位置的過程中，彈力和重力做功分別是多少？二者合力做功是多少？（5）設(shè)重力勢(shì)能的零勢(shì)能點(diǎn)和彈性勢(shì)能的零勢(shì)能點(diǎn)都在初位置處，分別求在平衡狀態(tài)時(shí)的重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能。（6）運(yùn)動(dòng)過程中不計(jì)任何阻力，求平衡位置處重物C的動(dòng)能Ek和系統(tǒng)的機(jī)械能EM.解：（4）以A,B都無伸長時(shí)，B之自由端為坐標(biāo)原點(diǎn)O,向下為正向，建立坐標(biāo)系，設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)，彈簧共伸長x，則：（5）由于O點(diǎn)處因此系統(tǒng)平衡時(shí)：3-6如圖所示，兩物體的質(zhì)量分別為m1和m2，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,半徑為r，如m2與桌面的摩擦因數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力FT1與FT2(設(shè)繩子與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng))。FT1m1m2FT2m1m2FT2FN2Ffa解：分別以m1，m2和滑輪為研究對(duì)象，他們的受力和運(yùn)動(dòng)情況如上圖，對(duì)m1，m2應(yīng)用牛頓第二定律，對(duì)輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律：m2FT2FN2Ffam13-8質(zhì)量為m1，長為l的均勻直棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，他原來靜止在平衡位置上，現(xiàn)在一質(zhì)量為m2的彈性小球飛來，正好在棒的下端于棒垂直地相撞，撞后，棒從平衡位置處擺動(dòng)達(dá)到最大角度，如圖所示。（1）設(shè)碰撞為彈性，試計(jì)算小球的初速度大小；（2）相撞時(shí)，小球受到多大的沖量？m1m2vl/2EpG=0解：球棒碰撞瞬間，球、棒所受重力作用線過軸O,對(duì)軸O的矩皆為零，軸處無摩擦力矩，因此球棒的碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒。（1）球?qū)SO的初動(dòng)量矩L20=m2vl,棒初動(dòng)量矩L10=0;設(shè)碰撞后瞬時(shí)，小球的速度為

，棒的角速度為，則

由動(dòng)量矩守恒得：由彈性碰撞動(dòng)能守恒得：棒由平衡位置擺到最大偏轉(zhuǎn)角的過程，棒、地球系統(tǒng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒，如圖示，取平衡位置棒中心重力勢(shì)能為零，中心末位置上升，棒在末位置的重力勢(shì)能為由機(jī)械能守恒，有：l/2EpG=0h（2）對(duì)小球由動(dòng)量定理：負(fù)號(hào)表示棒施予球的沖量與棒初速反向。例1剛體質(zhì)量為面分布(薄板狀剛體)一均勻圓盤質(zhì)量為，半徑,求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解：引入質(zhì)量面密度，單位面積質(zhì)量為整個(gè)圓盤對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為薄圓盤可以看成是許多同心圓盤的集合，在圓盤上任取一半徑為，寬度為的窄圓環(huán)，圓環(huán)的面積為，圓環(huán)質(zhì)量.此窄圓環(huán)上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離都為，該圓環(huán)對(duì)通過盤心垂直于圓盤的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例2半徑R質(zhì)量M的圓盤滑輪可繞通過盤心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑輪上繞有輕繩，繩的一端懸掛質(zhì)量為m的物體。當(dāng)物體從靜止下降距離h時(shí)，物體速度是多少？(設(shè)滑輪與繩子間無摩擦)解：以滑輪、物體和地球組成系統(tǒng)為研究對(duì)象。由于只有保守力做功，故機(jī)械能守恒。設(shè)終態(tài)時(shí)重力勢(shì)能為零。初態(tài)：動(dòng)能為零，重力勢(shì)能為mgh末態(tài)：動(dòng)能包括滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和物體平動(dòng)動(dòng)能由機(jī)械能守恒解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受到彈性力、重力、圓環(huán)對(duì)重物支持力例3

一彈性系數(shù)為的輕彈簧，其一端固定在鉛垂面內(nèi)圓環(huán)的最高點(diǎn)處，另一端系一質(zhì)量為的小球，小球穿過圓環(huán)并在圓環(huán)上做摩擦不計(jì)的運(yùn)動(dòng)。設(shè)彈簧的原長與圓環(huán)的半徑相等，求重物自彈簧原長點(diǎn)無初速的沿著圓環(huán)滑至最低點(diǎn)時(shí)所獲得的動(dòng)能。分析：重物在滑動(dòng)過程中，支持力不做功，只有重力和彈性力做功且兩者都是保守力，故重物在滑動(dòng)過程中機(jī)械能守恒。取通過點(diǎn)水平面為零勢(shì)能面，彈簧原長為彈簧勢(shì)能零勢(shì)能面由機(jī)械能守恒定律由此得到重物在點(diǎn)動(dòng)能為零勢(shì)能為重物在點(diǎn)動(dòng)能為勢(shì)能為零彈性勢(shì)能為

例4：質(zhì)量為m的小球系于細(xì)繩的一端,繩的另一端縛在一根豎直放置的細(xì)棒上,小球被約束在水平面內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn),某時(shí)刻角速度為1，細(xì)繩的長度為r1。當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后,由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒上,繩長變?yōu)閞2,求此時(shí)小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度2

。解：小球受力繩子的張力

,指向細(xì)棒；重力

，豎直向下；支撐力

,豎直向上。

與繩子平行,不產(chǎn)生力矩；

與平衡，力矩始終為零。所以,作用于小球的力對(duì)細(xì)棒的力矩始終等于零,故小球?qū)?xì)棒的角動(dòng)量必定是守恒的。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律式中v1是半徑為r1時(shí)小球的線速度,v2是半徑為r2時(shí)小球的線速度。代入上式得解得可見,由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短,,小球的角速度必定越轉(zhuǎn)越大,即。而解:將行星看為質(zhì)點(diǎn),在dt

時(shí)間內(nèi)以速度

完成的位移為

,矢徑

在dt

時(shí)間內(nèi)掃過的面積為dS（圖中陰影）。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的定義則om·

例5：行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律認(rèn)為,對(duì)于任一行星,由太陽到行星的徑矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。試用角