通信原理課件

信息科學(xué)與工程學(xué)院電子教研室梁俊花E-mail:jhl419@正交編碼

通信原理（第7版）第12章樊昌信曹麗娜編著

和偽隨機序列

本章內(nèi)容:

第12章正交編碼

m序列的性質(zhì)及其產(chǎn)生方法

正交編碼的定義和用途阿達(dá)瑪矩陣和沃爾什函數(shù)擴展頻譜通信的基本概念偽隨機序列的其他應(yīng)用

正交編碼§12.1——在數(shù)字通信技術(shù)中具有十分重要的地位——可用作糾錯編碼，實現(xiàn)碼分多址通信等

i

j；i,j＝1,2,…,M12.1.1

正交編碼的基本概念信號間的正交性若兩個周期為T

的模擬信號s1(t)和s2(t)互相正交，則有:若M個周期為T

的模擬信號s1(t)，s2(t)，…，sM(t)構(gòu)成一個

正交信號集合，則有:碼組間的正交性——可用互相關(guān)系數(shù)來描述。設(shè)長為n

的編碼中碼元只取值+1和

-1，以及x和y是其中兩個碼組：其中①s1(t)s2(t)s3(t)s4(t)

如圖所示的4個數(shù)字信號可以看作是如下4個碼組：按照例計算得知：設(shè)長為n

的編碼中碼元只取值+1和

-1，以及x和y是其中兩個碼組：則x和y間的互相關(guān)系數(shù)定義為若(x,y)=0，則x和y

正交。

其中若用二進(jìn)制數(shù)字“0和1”分別代替上述碼組中的“＋1和－1”，則A---x和y中對應(yīng)碼元相同的個數(shù)；D---x和y中對應(yīng)碼元不同的個數(shù)。①②按照上式規(guī)定，上面例子:按照例可以改寫成:計算出的互相關(guān)系數(shù)仍為0。自相關(guān)系數(shù)一個長為n的碼組x

,其自相關(guān)系數(shù)定義為:式中，x

的下標(biāo)按模n

運算，即有xn＋k

xk

。，則有：設(shè)例超正交碼和雙正交碼超正交碼在上例子中，若僅取后3個碼組，并且刪去其第一位，構(gòu)成如下新的編碼：則不難驗證，由這3個碼組所構(gòu)成的編碼是超正交碼。例-1

+1的取值范圍：雙正交編碼：由正交編碼和其反碼便可以構(gòu)成雙正交編碼。在前面例子中，正交碼為：例其反碼為：兩者的總體即構(gòu)成如下雙正交碼：

(0,0,0,0)(1,1,1,1)(0,0,1,1)(1,1,0,0) (0,1,1,0)(1,0,0,1)(0,1,0,1)(1,0,1,0)此碼共有8種碼組，碼長為4，任兩碼組間的相關(guān)系數(shù)為0或－1。12.1.2

阿達(dá)瑪矩陣定義最低階的H矩陣是2階的，即簡寫為階數(shù)為2的冪的高階H矩陣可以從下列遞推關(guān)系得出式中，N

＝2m；

－直積：指將矩陣HN/2中的每一個元素用H2代替。例例H矩陣的性質(zhì)H矩陣是一種正交方陣。若把其中每一行看作是一個碼組，則這些碼組也是互相正交的，而整個H矩陣就是一種長為n

的正交編碼，它包含n

個碼組。因為長度為n

的編碼共有2n個不同碼組，若只將這n個碼組作為準(zhǔn)用碼組，其余(2n-n)個為禁用碼組，則可以將其多余度用來糾錯。——這種編碼在糾錯編碼理論中稱為里德-繆勒(Reed-Muller)碼。在H矩陣中，交換任意兩行或兩列，或改變?nèi)我恍谢蛄兄忻總€元素的符號，都不會影響矩陣的正交性質(zhì)。按照遞推關(guān)系式可以構(gòu)造出所有2k階的H矩陣?？梢宰C明，高于2階的H矩陣的階數(shù)一定是4的倍數(shù)。12.1.3

沃爾什函數(shù)和沃爾什矩陣沃爾什函數(shù)的定義式中，p=0或1，j=0，1，2，；

指數(shù)中的[j/2]表示取j/2的整數(shù)部分。沃爾什函數(shù)的性質(zhì)任意兩個沃爾什函數(shù)相乘積分的

結(jié)果為0，即滿足兩兩正交的條件。將8個沃爾什函數(shù)的抽樣值

寫成如下的沃爾什矩陣：

沃爾什矩陣是按照每一行中＋1

和-1的交變次數(shù)由少到多排列的。沃爾什函數(shù)（矩陣）天生具有數(shù)字信號的特性，所以它們在數(shù)字

信號處理和編碼理論中有廣泛的應(yīng)用前景。由沃爾什函數(shù)的波形可以驗證：（見圖12-2）

偽隨機序列§12.2——在數(shù)字通信技術(shù)中具有十分重要的地位?！谡`碼率測量、時延測量、擴譜通信、密碼

及分離多徑等方面都有著十分廣泛的應(yīng)用。12.2.1

基本概念什么是偽隨機噪聲？通常，由周期性數(shù)字序列經(jīng)過濾波等處理后得到。因此，將這種周期性數(shù)字序列稱為偽隨機序列。如何產(chǎn)生偽隨機噪聲？偽隨機序列

又稱偽隨機噪聲，偽隨機信號，偽隨機碼。12.2.2

m序列1.

m序列的產(chǎn)生下圖中示出一個4級線性反饋移存器。例設(shè)其初始狀態(tài)(a3,a2,a1,a0)=(1,0,0,0)，則在移位1次時，由a3和a0模2相加產(chǎn)生新的輸入a4=10=1，新的狀態(tài)變?yōu)?a4,a3,a2,a1)=(1,1,0,0)。這樣移位15次后又回到初始狀態(tài)(1,0,0,0)。若初始狀態(tài)為全“0”，即(0,0,0,0)，則移位后得到的仍為全“0”狀態(tài)。應(yīng)該避免出現(xiàn)全“0”狀態(tài)，否則移存器的狀態(tài)將不 會改變。一般來說，一個n級線性反饋移存器可能產(chǎn)生的最長周期等于(2n-1)。4級移存器共有24=16種可能的狀態(tài)。除全“0”狀態(tài)外，只剩15種狀態(tài)可用。這就是說，由任何4級反饋移存器產(chǎn)生的序列的周期最長為15。一般的線性反饋移存器原理方框圖基本關(guān)系式——與產(chǎn)生m序列有關(guān)的三個方程1）遞推方程設(shè)一個n級移存器的初始狀態(tài)為：a－1

a－2

a－n1次移位后:a0

a－1

a－n＋1n次移位后:an－1

an－2

a0如圖：再移位1次時，移存器左端新得到的輸入an

，按圖中線路連接關(guān)系，可寫為:按照遞推方程計算，可以用軟件產(chǎn)生m序列。一般說來，對于任意一個輸入ak，有---稱為遞推方程它給出了移位輸入ak

與移位前各級狀態(tài)的關(guān)系。2）特征方程（特征多項式）

它決定了移存器的反饋連接和序列的結(jié)構(gòu)。式中，

xi僅指明其系數(shù)（1或0）代表反饋線的連接狀態(tài)ci的值，

x本身的取值并無實際意義。ci＝1表示此線接通（參加反饋）；ci＝0表示此線斷開。若特征方程為:例則它僅表示x0，x1和x4的系數(shù)c0＝c1＝c4＝1，其余的ci為0，即c2＝c3＝0。按照這一特征方程構(gòu)成的反饋移存器就是上圖所示的。3）母函數(shù)

它表示反饋移存器的輸出序列{ak}。幾個定理——有關(guān)m序列和m序列產(chǎn)生器性質(zhì)可見，當(dāng)電路給定后，h(x)僅決定于初始狀態(tài)(a-i

a-1)。本原多項式由【定理12.4】可以簡單寫出一個線性反饋移存器能產(chǎn)生m序列的充要條件為：

反饋移存器的特征多項式為本原多項式。要求用一個4級反饋移存器產(chǎn)生m序列，試求其特征多項式。例特征多項式f(x)應(yīng)可整除(xm+1)=(x15+1)，或者說，應(yīng)該是(x15+1)的一個因子，而且還應(yīng)該是一個4次本原多項式。解可以證明，前2個是本原多項式，由其中任何一個都可產(chǎn)生m序列。這就是說，它不僅可整除(x15+1)，還可整除(x5+1)，故它不是本原的。n=4，故此移存器產(chǎn)生的m序列的長度m=2n–1=15。第3個不是，因為上式表明，(x15+1)可以分解為5個既約因子，其中3個是4次多項式。用(x4+x+1)作為特征多項式構(gòu)成的4級反饋移存器見上圖。由上述可見，只要找到了本原多項式，我們就能由它構(gòu)成m序列產(chǎn)生器。下表中列出了部分已經(jīng)找到的本原多項式:

本原多項式表本原多項式也可用8進(jìn)制數(shù)字表示。例如，對于n=4表中給出“23”，它表示

2 3 010 011

c5c4c3

c2c1c0

即c0=c1=c4=1，c2=c3=c5=01）均衡性2.

m序列的性質(zhì)在m序列的一個周期中，“1”和“0”的數(shù)目基本相等。準(zhǔn)確地說，“1”的個數(shù)比“0”的個數(shù)多一個。2）游程分布游程——指一個序列中取值相同的那些連在一起的元素合。游程長度——指一個游程中元素的個數(shù)。12.2.2

m序列1.

m序列的產(chǎn)生一般說來，在m序列中，長度為1的游程占游程總數(shù)的1/2；長度為2的游程占游程總數(shù)的1/4；長度為3的游程占1/8；...。在前例中給出的m序列可以重寫如下：例10001111010110010m

＝15在其一個周期（m個元素）中，共有8個游程，其中長度為4的游程有1個，即1111，長度為3的游程有1個，即000，長度為2的游程有2個，即11和00，長度為1的游程有4個，即兩個1和兩個0。3）移位相加特性一個m序列

Mp與其經(jīng)過任意次延遲移位產(chǎn)生的另一個不同序列Mr模2相加，得到的仍是

Mp

的某次延遲移位序列

Ms，即Mp

Mr

=Ms

現(xiàn)在分析一個m=7的m序列Mp作為例子。設(shè)Mp的一個周期為1110010，將其向右移位一次得到另一個序列Mr

的一個相應(yīng)周期為0111001。這兩個序列的模2和為11100100111001=1001011

得出的為Ms的一個相應(yīng)的周期，它與Mp向右移位5次的結(jié)果相同。4）自相關(guān)函數(shù)m序列的自相關(guān)函數(shù)為可見：

(j)只有兩種取值：1和-1/m，所以有時也把這類序列稱為雙值自相關(guān)序列。由于m序列有周期性，故其自相關(guān)函數(shù)也有周期性，周期也是m，即且

(j)是偶函數(shù)：若把m序列當(dāng)作周期性連續(xù)函數(shù)求其自相關(guān)函數(shù)，則從周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)的定義：[T0

為s(t)的周期]可以求出其自相關(guān)函數(shù)R()的表示式:

按照上面的公式畫出的

(j)和R()的曲線如下圖所示。(j)T0R()5）功率譜密度信號的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對傅里葉變換。因此，對m序列的自相關(guān)函數(shù)作傅里葉變換可得其功率譜密度：其曲線如圖所示:在T0

和m/T0

時，Ps()的特性趨于白噪聲的功率譜密度特性。由圖可見:6）偽噪聲特性對一正態(tài)分布白噪聲取樣，若取樣值為正，則記為“＋”。將每次取樣所得極性排成序列，例如:這是一個隨機序列，它具有如下3個基本性質(zhì)：序列中“＋”和“－”的出現(xiàn)概率相等。負(fù)“－”12.2.3

其他偽隨機序列簡介1.

M序列由非線性反饋移存器產(chǎn)生的周期最長的序列稱為M序列。定義：其周期可達(dá)2nM序列的產(chǎn)生：下面介紹一種利用

m序列產(chǎn)生器構(gòu)成M序列產(chǎn)生器的方法。仍以前面介紹的n=4級的

m序列產(chǎn)生器為例。下圖中給出了它的15種狀態(tài)。若使它增加一個“0000”狀態(tài)，就可變成

M序列產(chǎn)生器了。因為移存器中后級狀態(tài)必須是由其前級狀態(tài)移入而得，故此“0000”狀態(tài)必須處于初始狀態(tài)“1000”之前和“0001”狀態(tài)之后。這就是說，需將其遞推方程修改為非線性方程，使“0001”狀態(tài)代入新的遞推方程后，產(chǎn)生狀態(tài)“0000”（而不是“1000”），且在“0000”狀態(tài)代入后產(chǎn)生狀態(tài)“1000”（而不是保持“0000”不變）。修改前的遞推方程為修改后的遞推方程應(yīng)為:

有了遞推方程，就不難構(gòu)造出此M序列產(chǎn)生器。對于n級m序列產(chǎn)生器也一樣。為使n級

m序列產(chǎn)生器變成M序列產(chǎn)生器，也只需使其遞推方程改為一個4級M序列產(chǎn)生器如下圖所示:M序列的性質(zhì)：M序列與m序列類似，也在一定程度上具有噪聲特性。它滿足m序列的前兩個性質(zhì)： 但是，M序列不再具有

m序列的移位相加特性及雙值自相關(guān)特性。M序列的優(yōu)點：下表給出了級數(shù)n與可能產(chǎn)生的兩種序列數(shù)目的比較：2.二次剩余序列二次剩余又稱平方剩余數(shù)，例如，32=9；9

被

7

除得到的余數(shù)是2，即有

32=92(mod7) 則稱

2為模7的平方剩余數(shù)。當(dāng)規(guī)定a0=-1，且其中，p為奇數(shù)，則稱{ai}為二次剩余序列，i=0,1,2,...，

其周期為p。設(shè)p=19（素數(shù)），容易算出：例這種序列具有隨機序列基本性質(zhì)的第1)條性質(zhì)，但一般不具備第2)條性質(zhì)。當(dāng)p=4t–1時（t=正整數(shù)），它是雙值自相關(guān)序列，即具有近于隨機序列基本性質(zhì)第3)條的性質(zhì)；當(dāng)p=4t+1時，它不是雙值自相關(guān)序列。但是，若p很大，它仍具有近于第3)條的性質(zhì)。一般認(rèn)為它也屬于偽隨機序列。3.雙素數(shù)序列雙素數(shù)序列{ai}的定義為：式中(i，p)=1表示i和p

互為素數(shù)（最大公因子為1）。例所以此雙素數(shù)序列為：＋＋＋－＋＋--＋－＋----

式中＋＋1；－－1?？梢则炞C，雙素數(shù)序列也基本滿足隨機序列的基本性質(zhì)，所以也屬于PN序列。

擴展頻譜通信§12.3西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院

課件制作：曹麗娜——理論依據(jù)：香農(nóng)信道容量公式擴譜的目的

提高抗窄帶干擾的能力，特別是敵對電臺的有意干擾。

提高抗多徑傳輸效應(yīng)的能力。由于擴譜調(diào)制采用了擴譜偽碼，

它可以用來分離多徑信號，所以有可能提高其抗多徑的能力。

提供測距能力。通過測量擴譜信號的自相關(guān)特性的峰值出現(xiàn)時刻，可以從信號傳輸時間的大小計算出傳輸距離。直接序列(DS)擴譜：跳頻(FH)擴譜：線性調(diào)頻：擴譜技術(shù)的分類直接序列(DS)擴譜原理用一組偽碼代表信息碼元去調(diào)制載波。最常用的是2PSK。這種信號的典型功率譜密度曲線示于下圖中。圖中,所示主瓣帶寬是偽碼時鐘速率Rc的兩倍。每個旁瓣的帶寬等于Rc。例如，若所用碼片的速率為5Mb/s，則主瓣帶寬將為10MHz，每個旁瓣寬為5MHz。系統(tǒng)原理框圖調(diào)制器簡化框圖：先將兩路編碼序列模2相加，然后再去進(jìn)行反相鍵控。接收過程圖解信碼(b)偽碼序列(c)發(fā)送序列(d)發(fā)送載波相位(e)混頻用本振相位(f)中頻相位(g)解調(diào)信號(h)干擾信號相位(i)混頻后干擾信號相位62(a)在接收機輸入端(b)在接收機中放輸出端信號和干擾信號在頻域中的變化偽隨機序列的其他應(yīng)用§12.41.分離多徑技術(shù)原理目的：考察發(fā)射的一個數(shù)字信號碼元。設(shè)這個碼元是用m序列的一個周期去調(diào)制的余弦載波:

其中，M(t)為一取值1的m序列。假設(shè)經(jīng)過多徑傳輸后，在接收機中頻部分得到的輸出信號為:其中，共有n條路徑的信號。Aj-第j條路徑信號的振幅;j

-第j條路徑信號的延時;j-載波附加的隨機相位。i-中頻角頻率;在此式中，忽略了各條路徑共同的延遲，并且認(rèn)為相鄰路徑的延遲時間差相等，均等于秒。在設(shè)計中，我們選用此

值作為m序列的一個碼元寬度。為了消除各條射線隨機相位j的影響，可采用自適應(yīng)校相濾波器。

自適應(yīng)校相濾波器設(shè)sj(t)是上式中的第j條射線第1個相乘器中：sj(t)與本地振蕩電壓s(t)=cos(0t+)相乘。相乘結(jié)果通過窄帶濾波器，后者的中心角頻率為(i-0)，其通帶極窄，只能通過(i-0)分量而不能通過各邊帶分量。故濾波輸出g(t)在忽略一常數(shù)因子后可以表示為由兩個相乘器和一個窄帶濾波器組成。第2個相乘器中，sj(t)與g(t)相乘，取出乘積中差頻項f(t)，仍忽略常數(shù)因子，可將f(t)表示為在上圖中省略了上述分離出差頻項f(t)的帶通濾波器。由上式可見，經(jīng)過自適應(yīng)校相濾波器后，接收信號中的隨機相位可以消除。上面只分析了一條路徑接收信號的情況。當(dāng)多徑信號輸入此濾波器時，每條路徑信號都同樣受到相位校正，故使各路徑信號具有相同的相位。這時的輸出f(t)變?yōu)榇耸街懈髀窂叫盘柕妮d波得到了校正，但是包絡(luò)M(t-j)仍然有差別。為了校正各路徑包絡(luò)的相對延遲，可以采用下圖所示的辦法。此圖中AF為自適應(yīng)校相濾波器，抽頭延遲線的抽頭間隔時間為。設(shè)現(xiàn)在共有4條路徑的信號，n=4，抽頭延遲線共有3段，每段延遲時間為，則相加器的輸入信號包絡(luò)為未經(jīng)延遲的：

A02M(t)+A12M(t-)+A22M(t-2)+A32M(t-3)經(jīng)延遲的：

A02M(t-)+A12M(t-2)+A22M(t-3)+A32M(t-4)經(jīng)延遲2的：

A02M(t-2)+A12M(t-3)+A22M(t-4)+A32M(t-5)經(jīng)延遲3的：

A02M(t-3)+A12M(t-4)+A22M(t-5)+A32M(t-6)70相加器輸出信號的載波仍為cos(0t+)，包絡(luò)則為上式中各項之和。若上圖中本地m序列產(chǎn)生器的輸出為M(t-3)，則在相乘器2中與接收的多徑信號相乘并經(jīng)積分后，就能分離出包絡(luò)為(A02+A12+A22+A32)M(t-3)的分量，即上式中右上至左下對角線上各項?；蛘哒f，相當(dāng)于將4條路徑的信號包絡(luò)的相對延遲校正后相加了起來，而抑止掉了其余各項。 在數(shù)字通信系統(tǒng)中，為了傳輸不同的符號，可以采用不同的m序列。在接收端自然也需要有幾個相應(yīng)的m序列分別與之作相關(guān)檢測。2.誤碼率測量在實際測量數(shù)字通信系統(tǒng)的誤碼率時，測量結(jié)果與信源送出信號的統(tǒng)計特性有關(guān)。通常認(rèn)為二進(jìn)制信號中“0”和“1”是以等概率隨機出現(xiàn)的。所以測量誤碼率時最理想的信源應(yīng)是隨機序列產(chǎn)生器。這樣測量的結(jié)果，是符合實際運用時的情況。用真正的隨機序列產(chǎn)生器進(jìn)行測量時，只適于閉環(huán)線路的測試，如下圖所示：閉環(huán)測試法所用的信道不符合實際情況。ITU建議用于數(shù)據(jù)傳輸設(shè)備測量誤碼的m序列周期是511，其特征

多項式建議采用x9+x5+1；建議用于數(shù)字傳輸系統(tǒng)(1544/2048和6312/8448kb/s)測量的m序列周期是215–1=32767，其特征多項式建議采用x15+x14+1。在測量單程數(shù)字通信的誤碼率時，不能利用隨機序列，只能用偽隨機序列代替它。如下圖所示：由于發(fā)送端用的是偽隨機序列，而且通常是m序列，接收端可以用同樣的m序列產(chǎn)生器，由同步信號控制，產(chǎn)生出相同的本地序列。本地序列和接收序列相比較，就可以檢測誤碼。3.時延測量測量信號傳輸?shù)臅r間延遲。測量信號傳播距離，即利用無線電信號測距。

目的

原理圖(a)：測量的最大延遲（距離）受脈沖重復(fù)頻率限制，測量的精確度也受脈沖寬度（或上升時間）及標(biāo)準(zhǔn)延遲線的精確度限制。圖(b)：用m序列代替周期性窄脈沖，用相關(guān)器代替比較器，可以改善測量延遲的性能。測量精確度決定于所用m序列的一個碼片的寬度。m序列源移位m序列脈沖源延遲線τ傳輸路徑比較傳輸路徑相關(guān)4.噪聲產(chǎn)生器:測量通信系統(tǒng)在不同信噪比條件下的性能。

用途要求噪聲二極管做成的噪聲產(chǎn)生器，在測量數(shù)字通信系統(tǒng)的性能時不很適用。因為它在一段觀察時間內(nèi)產(chǎn)生的噪聲的統(tǒng)計特性，不一定和同樣長的另一段觀察時間內(nèi)的統(tǒng)計特性相同。測量得到的誤碼率常常很難重復(fù)得到。

m序列的功率譜密度的包絡(luò)是(sinx/x)2形的。設(shè)m序列的碼元寬度為T1秒，則大約在0至(1/T1)45%Hz的頻率范圍內(nèi)，可認(rèn)為它具有均勻的功率譜密度。所以，可