高等數(shù)學(xué)第一章教案

《高等數(shù)學(xué)》Ⅱ—Ⅰ一 課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)ii\Calculus二 學(xué)時(shí)與學(xué)分：72學(xué) 4學(xué) 四 課 《高等數(shù)學(xué)，重慶大學(xué)主編，高等教育 胡 等譯《微積分》高等教育 和方法培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)和其它數(shù)學(xué)知識(shí)的能六、教學(xué)方式（主要采用講授新課的方一、教學(xué)目標(biāo)與基

1、理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像，掌握函數(shù)的表示方法。第一節(jié)微積分的一些基本問(wèn)題第二節(jié)映射與函數(shù) 第三節(jié)數(shù)列的極限 第四節(jié)函數(shù)的極限第五節(jié)函數(shù)極限與連續(xù)數(shù)列的極限、函數(shù)的極限的概念閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。四、教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬連續(xù)的實(shí)質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。六、教學(xué)方式（第一節(jié)微積分的一些基圓的面首先，正nA1lhl—正nh 2n 其次，圓的面積可看成是正多邊的面積近。當(dāng)正多邊的邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，圓的lim lh 2rrr n n2n yy為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，將[0,1]區(qū)間n i 為用小矩形的面積

(i1,"n近似代替對(duì)應(yīng) n 12 22 n2 1S " (1222"n2) n(n1)(2n n

n

n Slim

1n 變速直線(xiàn)運(yùn)的瞬時(shí)速度問(wèn)題（這兩個(gè)問(wèn)題在給出導(dǎo)數(shù)定義時(shí)講第二節(jié)映射與集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對(duì)值.二、教學(xué)講稿內(nèi)全校、的學(xué)生均構(gòu)成集合，商店的所有電視機(jī)或所有冰箱或所有衣服等也都構(gòu)成集1。集合一般用大寫(xiě)字母A,B,C,"來(lái)表示中的元素用小寫(xiě)字母a,b,c,"表示。如果A中的元素，記為aA，否則記為aA集合的表列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，表成a,bcd描述法：把集合的特性描述出來(lái)，表成xx具有某種性質(zhì)Bxx23x20B(xyx2y21,xyRC能被3整除的數(shù)集合的分空集：不含任何元素的集合，記為。如xx210,x2子包含于B或B包含xAxBA①AA，②A，③AB,BCAC，④AB,BAA并A并xA,或xBxABxxA,或x①A∪BB∪A，②(A∪B)∪CA∪(B∪C)，③A∪A，④A∪A⑤若AB則ABB交語(yǔ)言文字描述：由同時(shí)屬于A和B的所有元素所組成的集合，稱(chēng)為A與B的交集，記ABAB（讀作A交xA,且xBxABxxA,且x①A∩BB∩A，②(A∩B)∩CA∩(B∩C)A∩B∩C，③A∩④AAA，⑤若AB,則ABA，⑥ABCAC(BC)A(BC)ABAC差集、余ABA\B（讀作A差。xA且xBxABxxA,且xABC（讀作B關(guān)于A的余集。若所考慮的集合均是集合I的子集，則A關(guān)于I的余集簡(jiǎn)記為B,或BC，此時(shí)I稱(chēng)為全集ABA則xABx①I(mǎi),I②AA,A∪AI,A∩A③若AB,則AB;若AB,則A④AA,AI⑤ABA∩BAA∩⑥A∪BA∩B,A∩BA∪Ax1x2BxxABxx1ABx0x Bxx0，(B 3為了應(yīng)用方便，我們區(qū)間來(lái)表示數(shù)集。abxaxbabxax半閉半開(kāi)區(qū)間：[a,bxax(,b],(,鄰域x到定點(diǎn)a的距離小于定長(zhǎng)的一切點(diǎn)的集合。記為U(a,U(a,xxa，其中定點(diǎn)a稱(chēng)為鄰域的中心，定長(zhǎng)稱(chēng)為鄰域的半徑。鄰域?qū)嶋H上是以a為中心的開(kāi)區(qū)間，因有U(a,)xxa(aa。該鄰域的概念可以推廣到的情形D去心鄰域U

)x0

x

(a,

∪(a,a)U(a,)二、映映射的概定義X,YfxXf，總有唯一yY與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)fX到Y(jié)的映射，記為f:XY.其中，y稱(chēng)為元素x在映射f下的像，記 X Yyf像f(x),即yf(xx稱(chēng)為元素yf下的原像。XfDfyf像X中所有像所組成的集合稱(chēng)為f的值域，記為Rf或fXRffXyyf(xxX。RffRf

1,1,f(xsinx22fX到Y(jié)RfYfX到Y(jié)x1x2f(x1f(x2fX到Y(jié)fX到Y(jié)一一映射（或雙射非空集合X到數(shù)集Y映射稱(chēng)為X上的泛函。X到自身的映射稱(chēng)為X上的變換。X到實(shí)數(shù)集YX上的函數(shù)逆映射fX到Y(jié)的單射，則對(duì)yRf存在唯一xX使f(x)y定義一個(gè)新的映射g:RfX,g(y)x，稱(chēng)映射g為f的逆映射，記為 DfXRgf

1,1f(xsinx

22f1xarcsinxx復(fù)合映射gXY1fY2Z,Y1Y2fDgXZgffDgfDg(xf(g三、函y是xyf(xyx3Rfyyf(xxXY。在實(shí)際意義下的定義域?yàn)閇0,R，只考慮抽象數(shù)學(xué)表達(dá)式時(shí)其定義域?yàn)?,。若xXfyYy是x的單yx2yexr2x如關(guān)系式x2y2r2確定一個(gè)多值函數(shù)，x[r,r]，總r2xr2xr2x如x2y2r2且y0，則y 為單值函數(shù)，稱(chēng)為x2y2r2的一單值支r2xy x2y2r2x（1）yx，Df[,),Rf（2）y2,DfR,Rfx3f(x)sgnx0,x1,x

R,R

xy x（1）f(x)x,g(x) ，f(x)g（2）f(x) ,g(x) 1,fx(1 1f(x)sin2xcos2x,g(x)1,fyf(xuf(t（1）y ,Df0∪[1,3)∪(3,x（2）f(x的定義域?yàn)閇0,1]f(x2f(sinx),f(x1)f(x1)例f(x1)x23x2,求f(x),f(x例已知f(x1)x2 ,求f(x)x,函數(shù)的表如f(x)2

0x1xyf(xxD1yf(x)與xx,y有序數(shù)對(duì)就定出一個(gè)點(diǎn)M(x,y)xM(x,y)

f(x例 例函數(shù)的特f(xD（定義域的子集）內(nèi)有定義，若xK1f(xK1f(xDK1f(xDK2f(xK2f(xDK2f(xDM0，使f(x)M，則稱(chēng)f(x)在D上有界，否則稱(chēng)f(x)在D上，即M0,x0Df(x0f(xD上有界f(xDf(x1在(0,1)上有11f(x1在(0,1)上有下界，無(wú)上界。 f(x1在(1,5)上有111f(x1在(1,5)上既有界，也有上界。 注意：①函數(shù)的界只要存在就不唯一②sinxcosxarcsinxarccosxarctanxarccotx為有界函數(shù)（在其整個(gè)定義域內(nèi)有界減少，則稱(chēng)f(x)在(ab)上是單調(diào)增加的；f(x)在(ab)的函數(shù)值隨自變量x的增大而減小或隨x的減小而增大，則稱(chēng)f(x)在(abf(x1f(x1

f(x2f(x)在(abf(x2f(x)在(ab例f(x)x2在(0,單增。f(xf(x)x2x2(xx)(xx)0f(x)f(x f(x)f(x)f(xf(x)f(xf(xf(xf(x不非奇非偶函數(shù)。例討論函數(shù)f(x)xn的奇偶性。f(x)(x)nxnf(x),當(dāng)nxnf(x),當(dāng)n所以，當(dāng)nf(x為奇函數(shù)，當(dāng)nf(x為偶函數(shù)。這正是奇偶例3f(x)loga(x1x2f(x)

(x1x2) log(x1x2)fx1x1xf(x) 1ax 因：若點(diǎn)(x,f(x在圖形上，則(x,f(x))(x,f(x也在圖形上，而點(diǎn)(x,f(x與點(diǎn)(x,fx))關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶奇奇=偶，奇偶=奇，偶偶=偶奇奇=偶，奇偶=奇，偶偶=f(xD，存在T0，使xDf(Tx)f(xf(x是以如sinxcosx以2等為周期,tanxcotx以等為周期D(x)以任何有理數(shù)rD(rx)

f(xTf(ax是以Ta①f(x)sinxsin2xsin3x,T2，②g(x)sinxsinx

x

yf(xxyxyf(xyf(xxyy(xf1例y2x1x1y1)y1(x 3例yx3的反函數(shù)為y3yyyyfyx對(duì)稱(chēng)。設(shè)M(abyf(x上的一點(diǎn)，即bf(a，由反函數(shù)的定義a(b成立，即M(bay(x)上的一M(abM(bayx對(duì)稱(chēng)（須證MMyx垂直平分關(guān)于yx對(duì)稱(chēng)。yf(u),u(x)且(x)的函數(shù)值全f(uy是x的函數(shù)，稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是由yf(u)及u(x)復(fù)合而成的函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)合函數(shù)，記為yf((x))u稱(chēng)為中間變量。例f(x)

x,x

g(x)

xx

,f(g(x))解 f(g(x)) g(x) g(x)

x x函數(shù)的延定義：如果Dg 且當(dāng)xDg時(shí)f(x)g(x)則稱(chēng)函數(shù)f是函數(shù)g的延拓1：將函數(shù)f(x)xx[0,12的偶函數(shù)（1-解：fg(x) 0x 1xG(x)x2n,2nx2n n[x2n],2n1x或h(x) 0x1，G(x) x2n,2nx2n2 1x 2(x2n)[x2(n1)],2n1x2(n 初等函yx3yyx3yx2yy yxD隨的改變有所不同，但在(0,)上總有定義。1當(dāng) ,1的圖形為2 0時(shí)，x

第一章函數(shù)極限與連續(xù) 0yx②圖形恒過(guò)yax(a0,a①定義域(,)，②值域④圖形x軸上方，恒過(guò)(0,1)1yax與y

a對(duì)數(shù)函數(shù)（指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)）ylogax(a0,a①定義域(0,)，②值域③圖形為：與指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)yx④圖形y軸右方，恒過(guò)(1,0)，a1時(shí),ylogax單增，a1時(shí),ylogax單減當(dāng)ae時(shí)，記logaxlnx，稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)。y ysin①定義域(,)，②值域[1,1]

2k,2k2k,2k3 ⑥周期Tycos

2 2y①定義域(,)，②值域[1,1] 2k,2k2

11o2x2k,2k單減，⑥周期Tytanxk2

⑥周期Toxytan ycotoxycot①定義域xk，②值域(,) ⑥周期Tysecxk2

，②值域(,1]∪[1,) ，④偶函數(shù)，⑥周期Tytanycsc

ycsc①定義域xk，②值域(,1]∪[1,) ，④奇函數(shù)，⑥周期TyArcsinxD1,1R(,)yArccosxD[1,1R(,)yArctanxD,yk2yArccotxD(,y22yarcsin yarccos yarctan yarccoty[2

yArcsinxyarcsin2y[0,yArccosxyarccosy2

yArctanxyarctan2y0.yArccotxyarccotyshxychx

exe2exe2

shxexe雙曲正切：ythx

exexy1yyyyy12y1yoxyoxysh(xy)shxchychxshy，特別地sh2xch(xy)chxchyshxshy，特別地ch2xsh2ych2xch2xsh2y反雙曲正弦：yarshxln(x x21)，奇函數(shù)，單

yarthx1ln1x，定義域(1,1) 1第三節(jié)數(shù)列的一、內(nèi)容二、教學(xué)數(shù)列:研究其變化規(guī)律數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性講稿內(nèi)序的數(shù)x1x2"xn,"叫數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)叫數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)叫數(shù)列的一般項(xiàng)。例①,,", xn②1,2,3 n x 23 n n③1 ③1 2

43

nnA1,A2,"An只要取定n，An終究只是正多邊形的面積，而不是圓的面積。如果我們?cè)O(shè)想n不取定，

nn

11n11，當(dāng)nx1 因此我們討論的主要問(wèn)題是：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn是否趨于一個(gè)確定的數(shù)，如果是，n n 4 x11 xn10xn1你給出的數(shù)()還要小。事實(shí)上，

xn1取

11n

取

11n

取1

11

1N

1x當(dāng)n無(wú)限增大的極限，記為limx n定義如果數(shù)列xn與常數(shù)a，總存在正整Nn使得對(duì)于nNxnxna都成立，則稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列xn的極限，或者稱(chēng)數(shù)列xn收斂于a，記為limxna,或xna(n。如果數(shù)列xnnxn是發(fā)散的極限的定義即0,N0,當(dāng)nN時(shí)xa,則limxn

n①N與NN，使得當(dāng)nNxna成立就行了，不要求滿(mǎn)足不等式xnaN，因此不等式可以適當(dāng)放大。 又由于它的相對(duì)固定才能找到數(shù)列xn從那一項(xiàng)N開(kāi)始，才④xn趨于a

xna0,N0,當(dāng)n)N時(shí)xa)M,則limxaMnn

n例已知xn ，證limxnn

11n只須nN1則當(dāng)nNx1，所以limx例

n，證limx

n10

x0 (n 只須n11N

則當(dāng)nNx0，所以limx n證2：0，要使x0 11n只須n1N1

(n

n 則當(dāng)nNx0，所以limx n例證 nn83n

0（必須放大從上面的例子可以看到：在利用數(shù)列極限定義來(lái)驗(yàn)證常數(shù)a是xn的極限時(shí)，只須NNxnaNxna整，因?yàn)镹表示的是數(shù)列的項(xiàng)。例q1,

qn1，limxn0xn0qn1只須n1 1ln ln

1

lnlnq 則當(dāng)nNx0，所以limxnn例證 n

n證：不妨設(shè)a1，當(dāng)0a1nn0，要 1 1，只須n nnln(1nn取N ，則當(dāng)nN時(shí)， 1，所以 nn ln(1)

證明數(shù)列0.,0.1,0.11,",0,"的極限為9證：0xn19

1nn

n10nn10n只須nlg

N

19則當(dāng)nN

1，所以limxn n n二、收斂數(shù)列的1（極限的唯一性）若數(shù)列xn收斂，則它的極限唯一。 a

a

只要使ab,即ba就可導(dǎo) 2證：反證法，設(shè)limxnalimxnb，且aba1 1因lim

a，所以對(duì)ba

0,當(dāng)nN時(shí)

aban

3ab

a2n因limn

b，所以對(duì)同樣的ba

0,當(dāng)n

2時(shí)

bba2ab

3b2NmaxN1N2，則當(dāng)nN例xn1)n1n證（反證法：設(shè)limn

a，則對(duì)1N0,當(dāng)nN時(shí)

a即a

a1亦即當(dāng)nN

1的開(kāi)區(qū)間(a5

1,a

1xn1與-15定理2（收斂數(shù)列的有界性）如果xn收斂，則xn必有界x1x2xn"稱(chēng)數(shù)列xn是單減的；若x1x2xn"，稱(chēng)數(shù)列xn是單增的。證：設(shè)limxa，則對(duì)1,N0,當(dāng)nN時(shí)xan 從而當(dāng)nN

xnaa

xnaa1而當(dāng)nN時(shí)，取M1maxxx,

，令MmaxM,1a 則對(duì)xn推論xn

M，所以xn，則xn必發(fā)散3limxnAlimynBN，當(dāng)nN時(shí)，有xnyn AB1的分析一樣，只需取AB21（收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果limxa且a0(或a0)N0n當(dāng)nNxn0(或xn3y0設(shè)a0，取a xaxa 2：如果xnxn0(或xn0，且limxna，則a0(或a0)證（反證法3：若limxnAlimynBABN，當(dāng)nNxnyn成立

定理4（夾擠定理、定理、兩邊夾法則若（1）ynxnznnN（2）limynalimznalimxn 用定理來(lái)做題時(shí)，主要將xn適當(dāng)?shù)姆糯?、縮小，且放大縮小后的數(shù)列n2n2n2n2n2n2

33n2sin3n2sin3n2sinn!n1

n

3 n n

n3 131nn定理5（收斂數(shù)列與其子列間的關(guān)系）如果limn

a，則xn的一切子列x斂，且limn

a xn的子列：在數(shù)列xn中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列x稱(chēng)為原數(shù)列x的子數(shù)列，簡(jiǎn) xn:x1,x2,x3,x4,"x20,"x30,"x50xn:xn子列x

xxn是第k項(xiàng)，而 在原數(shù)列x中是第n項(xiàng)，顯 nnnn

有nkk證明：由于limxa，所以0,N0,當(dāng)nN時(shí)xan KN，則當(dāng)kK時(shí)nknKnNNxna，所以limxnkkK時(shí)nkkK

k 推論：若數(shù)列的兩個(gè)子列收斂于不同的極限，則該數(shù)列一定發(fā)例證明xn 是發(fā)散證：取數(shù)列的兩個(gè)子列yk1,zk1,顯然limk

1,limkk

定理6：若數(shù)列{xn}的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的子數(shù)列{x2n1}與所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的子數(shù){x2n都收斂，且limx2n1limx2nA，則數(shù)列{xnA 板書(shū)：已知xn，若limx2n1limx2nA，則lim 證：limx2n1A,0,N1，當(dāng)nN1，即2n12N11n又limx2nA對(duì)上N2，當(dāng)nN2，即2n2N2x2nAn

x2n1ANmax2N11,2N2nNxA，所以limA. 三．?dāng)?shù)列極限的四則定理 設(shè)limxnA,limynB都存在， lim(xnyn)存在，且lim(xnyn)limxnlimynA lim(xnyn存在，且lim(xnyn)(limxn)(limyn) lim 當(dāng)limyB0時(shí)， 也存在，且 n n

n

lim n問(wèn)：yn0B0N，當(dāng)nNyn0（保號(hào)性證（2）因limxnAlimynB，故0,N及M0，當(dāng)nN xnA,ynBynxnynABxnynAynAynABxnAynAynBMA證（3）因limxnAlimynB，故0,NnN BxA,yByB BxnAynBxnAynBxnABABBBxnAynBB2

)ABBAB四．收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列必有極限從數(shù)軸上看：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向一個(gè)方向移動(dòng)，只有兩種可能①無(wú)限遠(yuǎn)移，n②無(wú)限接近于某一個(gè)固定點(diǎn)。因準(zhǔn)則假設(shè)有界，故只第②成立。例證明當(dāng)n時(shí)，xn n的極限n

，顯然xx ,0

存在為1（為什么nn nn

nn例證明 2 2"22"2,"的極限存在證明：?jiǎn)握{(diào)性：顯然；有界性：x2x3

22 22 2 2xn2如何求該數(shù)列的極限呢？nlimxn2由已知得：xn x22xn12na22aa2,a1（舍去例求數(shù)列a,a a "0)的極限na證：顯然單增（也可用數(shù)學(xué)歸納法證明）xnxna有界性：所給數(shù)列一般項(xiàng)為

n1

a

xn（為什么會(huì)想到變形這一式子？）a a

a

a,且

1

1，有界性得證其極限求與上例類(lèi)似，其極限為12

14例：A0,x0,x1(xA),x1(xA," 1(xA"n 討論數(shù)列{xn}的收斂性，若收斂求出其極限解： 由

1

A)AxA

知數(shù)列

A

xA xA(b)又xn1xn (xn )xn

n故數(shù)列{xn}單調(diào)下降由 知數(shù)列{xn}單調(diào)下降且有下界，所以數(shù)列{xn}收斂.設(shè)limxn) 1(xA)兩邊取極限n得a1(a)A A即a2A但因

}有下界0，所以limnn

a例：設(shè)數(shù)列

1 1

(n0,2,) 證明數(shù)列{xn(2)求其極限

1 1xn

故

下證數(shù)列{xn}單調(diào)增加，即xn1 顯然x1x0，即當(dāng)n0時(shí)（A）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)（A）xk1xk；當(dāng)nk

xk1)(1 )

xk

xk

k k 1

k

1

1

k

1

(1

k

)(1xk即當(dāng)nk1時(shí)（A）式成立，故數(shù)列{xn單調(diào)增加有上界，所以它收斂n設(shè)limn

A，在等

1 1兩邊取極限n，得A1A1

A2A1解得

1 525

,

12

50（A0。故limn

A1 525另證

xA n1n

A)1

xn1xn1

)(1A)

" x1x1xn1問(wèn)題思考xnnxn1xn1，設(shè)limxnAAA10限.lim(11)ne8" x11)n

的極限存在，只須證

單調(diào)、有界。x(11)n1n1n(n1)1n(n1)(nn1) 1! n 111(11)1(11)(12)(1n (11)n1111(1

1)1(1

1)(1

)(1n

n

n

n n 1

n) n(n n

n

n從第二項(xiàng)開(kāi)始，xn的每一項(xiàng)都小于xn1的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，且xn1還多最后一正值項(xiàng)。xnxn1.即單增。xn的有界性：n!2n11 )x111(11)1(11)(12)(1n11111) 111

1

11(111

3(1)n2x的極限存在。記lim(11)ne8"n或利用1 n(n n

x111111111" 1111 1 2 (n 注：1 1，這一式子在數(shù)學(xué)上也經(jīng)常使用k k(k k 練用定義證明limn2n2

x0

()，只需n3

ln ln2ln 取Nmax ln ln2ln 設(shè)anan，證明：數(shù)列an收斂，并且

na0，其中aRn nn證明：（1）a0時(shí)，顯然an收斂，且lima

na

（2）a0

n1

1，當(dāng)na1時(shí)。且注意n (n n

n 即an單調(diào)減小有下界，故an收斂。設(shè)limank，因an1 (n n故klim0 lim a alima0k nn1 nnaa

naaa0時(shí)，則由不等式

與準(zhǔn)則知lim 0 n討論設(shè)x2,x21" 2討論

，求limx.（注意該數(shù)列沒(méi)有單調(diào)性 1

n n解：先求出極限A 2，后用極限定義驗(yàn)證xn1x1xn1xA21(21)xn1x1xn1n 一、內(nèi)容

第四 函數(shù)的極講稿內(nèi)當(dāng)自變量n取自然數(shù)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(n)a（如果撇開(kāi)n取自然數(shù)這一特性，將nx取實(shí)數(shù)）x取實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)ax取實(shí)數(shù)x0f(x)f(x)x(x

),f(x)1(x),f(x)x2x2)x一、自變x趨于有限值x0時(shí)函數(shù)f(x)的極f(x)Af(xAxx0xx0來(lái)描述。這樣我們得到limf(x)A的定義。定義f(xx00,f(xA，則稱(chēng)limf(x)A

0，當(dāng)0xx0 xx0x0(x0x0)時(shí)A注

f(x)A

x

0,即xx0f(xx0f(xx0有定義無(wú)關(guān)。如limf(x)limx212,limsinx x1x x與x0接近程度的量，與x0x③并不要求最大的f(xA f(x0,0，當(dāng)0xx0f(xAMM0 例證limCC 例limxx例lim(2x1)1

xx211，lim(1x2)1，limx2 x12(x x3 x1x從上面的例子我們知道：驗(yàn)證函數(shù)極限的題，關(guān)鍵在于找 ，如何找 呢？假f(xAxx0當(dāng)作未知數(shù)求解出來(lái)。由于不要求最大的且例

f(xAlimxsin1 證明：0，要使f(x)0x x，只須x，取xf(x0，所以limxsin1 例當(dāng)x00時(shí)，limxxxxx 證：0，要使f(x)

x

x

xx0x0，取 x0,x0例limx3 證0x31,即2xxxx要使f(x)0 ，只須x32，取minxxx2x則稱(chēng)A為f(x)的左極限或右極限。用""可定義為極限定limf(x)A0,

0，當(dāng)0

x

f(xA左極限定義xx0右極限定義

f(x)A：0,xx0f(x)A：xx0

x0x00x0xx0f(xA

f(xAf(xx0處的極限存在f(xx0或limf(x)A

xx0

f(x)xx0

f(x)A[f(x0)f(x0)Ax1,x例f(x)0xx1,x

，求limflimf(x)limx1)1,limf(x)limx1)1，故limf(x 2自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的定義0,X0xX時(shí)，有f(xA，則limf(x)yA

0xX,或xXyf

f(x)A，

f(x)也有l(wèi)imf(x)A例證lim1x

f(x)

f(x)xX

f(xA1xxf(x)，所以lim1x

x1

1一般地，若limf(x)CyCyy0是y1x

f(xlimarctanx,limarctanx(注意limarctanx不存在 2 y2

yarctanx二、函數(shù)極限的性1（極限的唯一性）若limf(x2（極限的局部有界性）若limf(x)AM0和

00xx0f(x)證：因limf(x)A，所以對(duì)1

0 0，當(dāng)0x 時(shí) fA故f

f(x)AAf(x)AA1 3（極限的局部保號(hào)性）limf(xAA0(或A0)，則存在常數(shù)0使得當(dāng)0xx0f(x)0(或f(x)A0,取A2推論x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，f(x)g(xlimf(x)Alimg(x)B，則 AB定理4（復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則D設(shè)limg(x)u0limf(u)A但在U(x00)內(nèi)g(x)u0 則limf(g(x))Alimf 證：要證0,0，當(dāng)0xx0時(shí)，有f(g(xA因limf(u)A，所以0,0，當(dāng)0u

時(shí)

f(uA又因limg(x)u0，對(duì)上面0,10，當(dāng)0

x

1

g(x)

取min1,0，則當(dāng)0

x

g(x)

g(x)

0即0g(xu0，從而f(g(xAf(uAlimf(g(x))令g(x)ulimf(u) limf(xg(x)

limgx)其中l(wèi)imf(x)0,limf(x)x x x5Heine海涅定理n有l(wèi)imf(x)An

limf(x)Ax0為極限的數(shù)列{xnxnx0設(shè)limxnx0(xnx0

xx0f(xA則對(duì)于上述的0N，當(dāng)nN時(shí)，有0xnx0f(xn)}，當(dāng)nN

f(x)A，故limf(x) 于任意的0，都存在滿(mǎn)足0

xx0的x，使得f(x) 取一系列的

1，則存在滿(mǎn)足0n

xn

1x f(xn)A 0x

1lim

x，數(shù)列{x}(

x)

為極限，但從（8） n

nlimf(x)A，這樣就得到.（充分性的證明可用定理4n注x0x0的極限存在沒(méi)有什么意義x0的極限不存在卻很有效事實(shí)上，以下兩種情形都能說(shuō)明函數(shù)f(x)x0的極限不存在：

為極限的數(shù)列{xn}，使得limf(xnf(xx0為極限的兩個(gè)數(shù)列{xn與{yn，使得limf(xn與limfyn在，但limf(xn)limfynf(xx0 12證明極限limcos1不存在

證f(xcos1x

1n,2,,"y n,2,"， 2n 2limf(xn)limcos2n limf(y)limcos(2n) 故limcos1不存在 D6若（1）在U(x0,（xM內(nèi)）g(x)f(x)（2）(

g(x)limh(x)(x(

f(x)例證明limcosx證：只須證lim(1cosx2 x x0xx

時(shí),01cosx22

2() 而 0，所以lim(1cosx)0，即limcosxx0 利用該準(zhǔn)則，我們可以證明一個(gè)重要極限limsinx OOBAOBxx SAOBS扇AOBSAOD即有1sinx1x1tanxsinxxtanx1 cosxsinx sin cos 上面不等式對(duì)(x也成立，即當(dāng)x,0)時(shí)，上式也成立。2lim 由于limcosx1，所 sinxlim 因?yàn)樵谇髽O限的過(guò)程中可以作代換，所以limsinu1,utan 例 例 x0sin例limsinmxmmn x0sin 1cos

2sin2

sinx例 2

2 例lim

xsin

xsin(x2sin(x2nx

x2x0 x x或令x2ntlimxsint例limarctanx

t 利用該定理，我們可以證明另一個(gè)重要極限lim(11x的極限存在， lim(1)x 證明分三步：xnlim(11)ne x時(shí)，有l(wèi)im1

1)x x時(shí)，有l(wèi)im11x②證明lim1

1xe，用準(zhǔn)則Ⅰ可以證明

xR，必有nxn1

1 1

1 n n n )n(1 )x(11)x(1 )x(11n n 1)nlim(1 1)n1(1 1)1e,lim(11)n1lim(11)n(11) n n n lim11x ③證明lim1

1xex(1y，則

1 lim(1

)xlim(11(1y lim lim( )(1y)lim(1)(1y) 1

1 y11

1

綜上所述lim(1 )xe，作代換x可得lim(1x)xe lim(11)x1 lim(13lnx)ln lim(1tan2x)3cot2x

x )2)xx lim(11)xlim(11)x(11) x 2x 5)xx2x 0lnx0lnx，只須exee1x1e 取 e1,e ，則當(dāng)0x1時(shí)，lnx0，所以limlnx

lnx0lnx

x1窮小與無(wú)二、教學(xué)要求和理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系教學(xué)：無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的無(wú)窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)一、無(wú)窮若limf(x)0(limf(x)0)f(xxx0(x 或定義0,0(X0)0xx0xX)時(shí)有f(x)，則limf(x)0(limf(x)0)

。無(wú)窮小不是數(shù)，任何數(shù)（0以外）例證 x01x1x1證：0，要使f(x) (x1)，只須x x1x11取min 1 1則當(dāng)x時(shí)，有f(x)0，所以 x01定理（極限與無(wú)窮小的關(guān)系）limf(x)Af(x)A，其中是無(wú)窮小。證：設(shè)limf(x)A，則0,

0，當(dāng)0xx0時(shí)，有f(xA令f(xA，則xx0f(x)Af(x)A知f(xA，且xx0所以0,0，當(dāng)0xx0f(xA，故limf(x)A二、無(wú)窮若limf(x)(limf(x)f(xxx0(x 或定義為M0,0(或X0),當(dāng)0xx0(xX)時(shí)f(x)M，則 f(xxx0(x當(dāng)limf(x)(limf(x))f(x) 例證 x11證：M0，要使f(x) M，只須x11,取xx則0x1，有f(x)M，所以 x11

1Mlimf(x)xx0是ylimtanx,limtanx

f(xxx xx 極限運(yùn)算法二、教學(xué)要求和熟練掌握無(wú)窮小的運(yùn)算法則,極限的四則運(yùn)算法則及其推論,復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算教學(xué)：講稿內(nèi)定理1有限個(gè)無(wú)窮小的和仍為無(wú)窮小。)如lim12n1lim11n(n1)1)nn n n nn2 3若limf(x)Alimg(x)Blim[f(xg(x)]ABlimf(xlimg(x)（可推廣到有限多函數(shù)的和limf(x)g(x)ABlimf(xlimg(x)（可推廣到有限多函數(shù)的積）limCf(x)Climf(x)②limf2(x)limf③limfn(x)limflimf(x)Alimf(x),B lim證（2）f(xAg(xB,均為同一自變量過(guò)程中的無(wú)窮小，f(x)g(x)ABABlimf(x)g(x)AB（3）f(x)Ag(x)B,程中的無(wú)窮小，要證f程中的無(wú)窮小，要證fAfA，即證fABBBf(xAAA (BA，其中(BA B B(B B(B

D

)時(shí),有g(shù)(x) B1Blimg(x)B0,U(x0),當(dāng)xUB1BB(B11B B(B11B B另

),有 B(B

2121B(BB121B(BB

B

B

B(B) 2

B例f(xa0xnaxn1a求limf xF(xP(x其中PQ 當(dāng)Q(x Q(x limF(x)lim

)0,P(x0) xx0 去掉零

)0,

)例limx31x3x2 例lim4x32x2x1 3x2 例limxn11x21x2例

例

x2p2p(P0,q0)qx2q2 例

2.（利用代換求極限3x3xx例lima0xma1xm1ama0,bxbxnbxn1"

,,

當(dāng)m m a " mxb0xb1

"

當(dāng)m例limxsin1，limsinx，limarctanx，limsinxarctan1，limlnx 1 x第五 函數(shù)的連一、內(nèi)容二、教學(xué)要求和無(wú)窮小的比較，反映了同一過(guò)程中, 無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.高(低)階無(wú)窮小; 等價(jià)無(wú)窮小的代換:求極限的又法, 一、無(wú)窮小的比x0xx2sinxsin2xxsin10xlimxlimx

0，limsinx1，limsin2xxsin x

x0x x0 x x"x 定義設(shè),都是無(wú)窮小，若lim若lim

limlim

c0,k0是關(guān)于k1與是等價(jià)無(wú)窮小，記為~定理（等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)（1）反身性~（2）對(duì)稱(chēng)性~，則~（3）傳遞性~~，則~~0，則~~~，且limc，若c1，則~

若c1，則~11證：lim 1 1 1c1111 11 11~1~1，則~~，則f(x~f ~~，且lim(1)1存在，則lim(1)lim(1

0,0

,00

定理設(shè)~,~,lim 存在，則lim 證明：lim

lim

lim

有下面一些常用的等價(jià)無(wú)窮?。╱0①f(u)~f②sinu~u，arcsinu~u，tanu~u，arctanu~③ln(1u)~④eu1~⑤1⑤1 cosu 2

(1u)1~u（已知證明該等價(jià)無(wú)窮小證③：因u

1lne證④：limeu1令eu1t u0ln(11lim(1x)1limeln(1x)1limln(1x)limln(1x)1

1limtanxsinxlimsinx(1cosx) sin2 sin3 limtanxsinxlimxx sin3 x0sin3limtanxsinxlimxsinx limtanxsinxlimtanxx 如tanx~x

x3,sinx~x

x3，則limtanxsin

limx1x3(x1x3)

1x1x 例limsin3mx例limx

1)limx2

2x 例lim3x25sin1lim3x251lim3x253x2x x2x x2x2 1tanx1tanx1tan

ex

1tan1tanx1tan2tan(1tanx1tanx)(ex ex (1(1tanx1tanx3x22x例：當(dāng)x1時(shí) lnx是3x22x3x22x解： lnx 3x1 ln[1(x1)]，而3x22xln[1x1~(x1)3x3x22x1ln (x1)

3x1 x3x1 x1ln[1(x3x22x lnx3x22x

階無(wú)窮小2exe例

limex(e()x1)limex()x

.(

或因limex1x limexe

lim(ex1)(ex1)limxx

二 函數(shù)的連續(xù)與間函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;講稿內(nèi)容一、函數(shù)連的續(xù)自然界的許多變化都是連續(xù)的，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、植物的生長(zhǎng)等等，都是連續(xù)變化的，這種變化在函數(shù)關(guān)系上表現(xiàn)為當(dāng)自變量有一個(gè)微小變化時(shí)，其函數(shù)值也只發(fā)生微小變化。為了描述自變量和函數(shù)值的變化，我們先引入自變量增量和函數(shù)增量的概念。自變量增量、函數(shù)增量的概念給定yf(x，自變量從初值x1終值x2，則終值與初值之差x2x1稱(chēng)為自變量的增量，記為xx2x1y

相應(yīng)地函數(shù)值從f(x1f(x2)f(x1

f(x2)，則f(x2f(x1)也可這樣描述增量（改變量xx0x0x，自變量增量為f(x):f(x0)f(x0x),yf(x0x)f(x0或者這樣描述增量：x:x0x,xxf(x):f(x0)f(x),yf(x)f(x0后兩種是我們常用的增量形式。yx2x0Dx0一個(gè)增量x，則函數(shù)的增量為：y(xx)2x22xxx 從上式可以看到，當(dāng)x發(fā)生微小變化時(shí)，y也只發(fā)生微小變化，x0時(shí)，y0連續(xù)的定 定義 設(shè)yf(xx0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若limylim[f(x0x)f(x0)] yf(xx0處連續(xù)。定義2yf(xx0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若

f(x0x)f(x0)limf(x)

f(x0yf(xx0處連續(xù)。limf(x)f(x0 (2)limf(x存在 x(3)limf(x)存在且與f(x0相等 續(xù)。

0,0,當(dāng)x

時(shí)f(xf(x0)yf(xx0處連單側(cè)連續(xù)的概念連續(xù)是用極限來(lái)定義的，極限有左右極限之分，相應(yīng)地，連續(xù)也有左右之分。左連續(xù)：f(xx0的左鄰域內(nèi)有定義，若右連續(xù)：f(x)x0

xx0xx0

f(x)f(x)

f(x0f(xx0左連續(xù)。f(x0f(xx0右連續(xù)。進(jìn)一步地，由極限存在的充要條件得連續(xù)的充要條件。f(xx0連續(xù)的充要條件是f(xx0左右連續(xù)。limf(x)

f(x0)xx0

f(x)xx0

f(x)f(x0定義了點(diǎn)的連續(xù)后，我們可以定義區(qū)間連續(xù)。f(x)在(ab連續(xù)：f(x)在(ab內(nèi)每點(diǎn)均連續(xù)。f(x)在[ab連續(xù)：f(x)在(ab連續(xù)，且f(x)在a右連續(xù)，在b左連續(xù)。由前面知：多項(xiàng)式Px)(,)連續(xù)，有理分式P(x在Q(x)0的點(diǎn)連續(xù)，y x在(0,) 證ysinx在(,)內(nèi)連續(xù)x,，要證lim[f(xxf(xlim[sin(xxsin(x 準(zhǔn)則0sin(xx)sinx2sinxcos(xx)2 lim[sin(xxsin(x0，所以ysinx在(,內(nèi)連續(xù)。三、函數(shù)的間斷定義（

f(xx0不連續(xù)，則稱(chēng)f(xx0處間斷。即f(x有下列情形之一f(xx0無(wú)定義limf(x不存在limf(x)

f(x0則稱(chēng)f(xx0不連續(xù)，而x0稱(chēng)為f(x的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)的分類(lèi)： :f(x)及f(x f(x0)f(x0),x0為可去間斷 00

)f

),x0第二類(lèi):f(x)及f(x 為無(wú)窮的不存在,x0為無(wú)窮型間斷

不為無(wú)窮的不存在,x 例判斷f(x)

x2x

間斷點(diǎn)的類(lèi)型。解：f(xx1無(wú)定義，x1為間斷點(diǎn)。

f(x)limf(x)2，所以x1為可去間斷點(diǎn)。x2“可去”的含義是可心補(bǔ)充f(1)2，即定義f(x)x1 x xf(xx1連續(xù)例f(x) x12

xx1為可去間斷點(diǎn)，這里“可去”意思是可重新定義f(1)1，使f(x連續(xù)。x x例f(x) xx x例f(x)sin1x0為振蕩型間斷間點(diǎn)。x例f(x)tanxxk2

為無(wú)窮型間斷點(diǎn)。例f(x)

x2x23xx2x1sin例f(x) x1sinx0,1k(k1,2,"f(x因

x2

xx(x1) sin

x0為f(x)的因

x2 =x1x1sin

(x1)x

1

，

x2 =x1x1sin

(x1)x(x1)sinx

x

x2 =x1x1sin

，所以k(k

")

f

例：f(x)limln(enxn（x0）在定義域內(nèi)是否連續(xù) ln(enxn ln

x[1(e)[1

解：0xe時(shí)，f(