數(shù)電邏輯代數(shù)

數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)參考書：數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)中南大學(xué)出版社主講：劉獻(xiàn)如郵箱：lxrcsu@163.com課程任務(wù)本課程的任務(wù)是使學(xué)生掌握數(shù)字電子技術(shù)最基本的基礎(chǔ)知識(shí)。理解基本數(shù)字電路的工作原理，掌握數(shù)字電路的工作原理和分析、設(shè)計(jì)方法，能對(duì)常用的數(shù)字邏輯部件進(jìn)行分析和設(shè)計(jì).學(xué)會(huì)使用標(biāo)準(zhǔn)的集成電路，具有應(yīng)用數(shù)字電路、初步解決數(shù)字邏輯問(wèn)題的能力。第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§1.1概述§1.2邏輯變量和邏輯運(yùn)算§1.3邏輯代數(shù)的公式和定理§1.4邏輯函數(shù)及其表示方法§1.5邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法§1.6邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法§1.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)§1.8邏輯函數(shù)的變換與實(shí)現(xiàn)第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式；邏輯代數(shù)的基本定理；邏輯函數(shù)的各種表示方法及相互轉(zhuǎn)換；邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法；約束項(xiàng)、任意項(xiàng)、無(wú)關(guān)項(xiàng)的概念以及無(wú)關(guān)項(xiàng)在化簡(jiǎn)；邏輯函數(shù)中的應(yīng)用。本章重點(diǎn)：§1.1概述1.1.1數(shù)字量和模擬量模擬信號(hào)數(shù)字信號(hào)表示模擬量的信號(hào)；表示數(shù)字量的信號(hào)。例：正弦波信號(hào)、鋸齒波信號(hào)等。例：產(chǎn)品數(shù)量的統(tǒng)計(jì)、數(shù)字表盤的讀數(shù)等。模擬量數(shù)字量模擬量的變化在時(shí)間或數(shù)值上是連續(xù)的；數(shù)字量的變化在時(shí)間和數(shù)值上都是離散的。模擬信號(hào)tV(t)tV(t)數(shù)字信號(hào)高電平低電平上跳沿下跳沿模擬電路數(shù)字電路用以傳遞、加工和處理模擬信號(hào)的電路叫模擬電路；用以傳遞、加工和處理數(shù)字信號(hào)的電路叫數(shù)字電路；電子電路輸入輸出信號(hào)都是模擬信號(hào)。輸入輸出信號(hào)都是數(shù)字信號(hào)。模擬電路主要研究：輸入、輸出信號(hào)間的大小、相位、失真等方面的關(guān)系。主要采用電路分析方法，動(dòng)態(tài)性能用微變等效電路分析。在模擬電路中，晶體管一般工作在線性放大區(qū)；在數(shù)字電路中，晶體管工作在開(kāi)關(guān)狀態(tài)，即工作在飽和區(qū)和截止區(qū)。數(shù)字電路主要研究：數(shù)字信號(hào)的產(chǎn)生、存儲(chǔ)、變換、運(yùn)算及電路的輸入、輸出間的邏輯關(guān)系。主要的工具是邏輯代數(shù)。模擬電路與數(shù)字電路比較1.電路的特點(diǎn)2.研究的內(nèi)容3.電路的構(gòu)成：模擬電路的基本電路元件:基本模擬電路:晶體三極管場(chǎng)效應(yīng)管集成運(yùn)算放大器

信號(hào)放大及運(yùn)算電路(信號(hào)放大、功率放大）信號(hào)處理電路（采樣保持、電壓比較、有源濾波）信號(hào)發(fā)生器（正弦波發(fā)生器、三角波發(fā)生器、…）數(shù)字電路的基本電路元件：基本數(shù)字電路

邏輯門電路

觸發(fā)器

組合邏輯電路時(shí)序邏輯電路（寄存器、計(jì)數(shù)器、脈沖發(fā)生器、脈沖整形電路）

A/D轉(zhuǎn)換器、D/A轉(zhuǎn)換器數(shù)字電路的發(fā)展：電子管半導(dǎo)體分立器件集成電路

集成度規(guī)格三極管數(shù)/片

典型應(yīng)用

小規(guī)模100以下

門電路

中規(guī)模100~幾千個(gè)

計(jì)數(shù)器

大規(guī)模104~105

各種專用芯片

超大規(guī)模105~106

存儲(chǔ)器甚大規(guī)模 106以上可編程邏輯器件數(shù)字集成電路分為：SSI、MSI、LSI、VSI、USI等五類。集成度是指每一芯片所包含的三極管的個(gè)數(shù)。集成電路的發(fā)展史：/AMuseum/ic/index_02_04_01.html數(shù)字電路的特點(diǎn)數(shù)字電路的結(jié)構(gòu)是以二值數(shù)字邏輯為基礎(chǔ)的，其中的工作信號(hào)是離散的數(shù)字信號(hào)。電路中的電子器件工作于開(kāi)關(guān)狀態(tài)。數(shù)字電路分析的重點(diǎn)已不是其輸入、輸出間波形的數(shù)值關(guān)系，而是輸入、輸出序列間的邏輯關(guān)系。所采用的分析工具是邏輯代數(shù)，表達(dá)電路的功能主要是功能表、真值表、邏輯表達(dá)式、布爾函數(shù)以及波形圖。數(shù)字系統(tǒng)一般容易設(shè)計(jì)。信息的處理、存儲(chǔ)和傳輸能力更強(qiáng)。數(shù)字系統(tǒng)的精確度及精度容易保存一致。數(shù)字電路抗干擾能力強(qiáng)。數(shù)字電路容易制造在IC芯片上。1.1.2數(shù)制和碼制數(shù)制：多位數(shù)碼中每一位的構(gòu)成方法以及從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則。N:基數(shù)。Ki:i位系數(shù)。Ni:i位的權(quán)。數(shù)制數(shù)制是指數(shù)的表示規(guī)則，日常生活中我們用十進(jìn)制方法來(lái)表示數(shù)，但是在計(jì)算機(jī)中經(jīng)常使用的是二進(jìn)制，另外十六進(jìn)制也是經(jīng)常使用的一種數(shù)制。實(shí)際上，它們本質(zhì)上是一致的，因?yàn)椴徽撃悴捎媚欠N數(shù)制來(lái)表示，它們都是表示同一個(gè)數(shù)。1.1.2數(shù)制和碼制一、十進(jìn)制：以十為基數(shù)的計(jì)數(shù)體制。表示十進(jìn)制數(shù)的十個(gè)數(shù)碼：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0遵循逢十進(jìn)一的規(guī)律；157=一個(gè)十進(jìn)制數(shù)N可以表示成：若在數(shù)字電路中采用十進(jìn)制，必須要有十個(gè)電路狀態(tài)與十個(gè)數(shù)碼相對(duì)應(yīng)。這樣將在技術(shù)上帶來(lái)許多困難，而且很不經(jīng)濟(jì)。二、二進(jìn)制：以二為基數(shù)的計(jì)數(shù)體制。表示二進(jìn)制數(shù)的兩個(gè)數(shù)碼：0、1遵循逢二進(jìn)一的規(guī)律。（1001）B==(9)D二進(jìn)制的優(yōu)點(diǎn)：用電路的兩個(gè)開(kāi)關(guān)狀態(tài)來(lái)表示二進(jìn)制數(shù)，數(shù)碼的存儲(chǔ)和傳輸簡(jiǎn)單、可靠。二進(jìn)制的缺點(diǎn)：位數(shù)較多，使用不便，不合人們的習(xí)慣；輸入時(shí)將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，運(yùn)算結(jié)果輸出時(shí)再轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。三、十六進(jìn)制十六進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)(4E6)H=4162+14161+6160=(1254)D(F)H(1111)B說(shuō)明：十六進(jìn)制的一位對(duì)應(yīng)二進(jìn)制的四位。1.十六進(jìn)制及其與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換：Hexadecimal：十六進(jìn)制的Decimal：十進(jìn)制的Binary：二進(jìn)制的基數(shù)：16(01011001)B=[027+126+025+124+123+022+021+120]D=[(023+122+021+120)161+(123+022+021+120)160]D=(59)H每四位2進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一位16進(jìn)制數(shù)(10011100101101001000)B=從末位開(kāi)始四位一組(1001

1100

1011

0100

1000)B()H84BC9=(9CB48)H四、十進(jìn)制與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換兩邊除2，余第0位K0商兩邊除2，余第1位K1十進(jìn)制與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換方法：可以用二除十進(jìn)制數(shù)，余數(shù)是二進(jìn)制數(shù)的第0位K0，然后依次用二除所得的商，余數(shù)依次是第1位K1

、第2位K2

、……。……“除2取余法”225余1K0122余0K162余0K232余1K312余1K40例1：十進(jìn)制數(shù)25轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換過(guò)程：(25)D=(11001)B例2：十進(jìn)制數(shù)0.8125轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換過(guò)程：“乘2取整法”0.8125×2=1.6250……1()0.6250×2=1.2500……1()0.2500×2=0.5000……0()0.5000×2=1.0000……1()(0.8125)D=(0.1101)B

五、碼制數(shù)字系統(tǒng)的信息數(shù)值文字符號(hào)二進(jìn)制代碼編碼為了表示字符

為了分別表示N個(gè)字符，所需的二進(jìn)制數(shù)的最少位數(shù)n滿足：

編碼可以有多種，數(shù)字電路中所用的主要是二–十進(jìn)制碼（BCD–BinaryCodedDecimal碼）。二進(jìn)制數(shù)編碼過(guò)程中遵循的規(guī)則稱為碼制。碼制

數(shù)字不僅可以表示大小，還可以代表不同的事物，例如在開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)的時(shí)候，我們用1001、1002、2001、2102等來(lái)表示不同的運(yùn)動(dòng)員，顯然這時(shí)這些數(shù)已經(jīng)失去了數(shù)值大小的意義，而是運(yùn)動(dòng)員的代號(hào)，實(shí)際上在裁判眼里它就是某一個(gè)運(yùn)動(dòng)員。計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中的信息數(shù)值文字聲音圖象二進(jìn)制代碼編碼二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換碼制與編碼編碼：用二進(jìn)制數(shù)碼0,1來(lái)表示不同的事物，這個(gè)過(guò)程稱為編碼。碼制：編碼過(guò)程中遵循的規(guī)則稱為碼制。例如身份證號(hào)碼編碼的過(guò)程中顯然是有規(guī)律的，即碼制。常見(jiàn)編碼：BCD碼、ASCII碼BCD碼BCD碼：BinaryCodedDecimal

BCD碼指用4位二進(jìn)制數(shù)碼來(lái)表示十進(jìn)制數(shù)的0~9十個(gè)數(shù)碼，稱二-十進(jìn)制代碼。四位二進(jìn)制數(shù)有16種組合，因此從中選十個(gè)來(lái)表示0~9，可以有多種情況。不同的表示法便形成了一種編碼。因此BCD碼有許多不同的碼制，用于不同的情況。8421碼5421碼余3碼2421碼首先以十進(jìn)制數(shù)為例，介紹位權(quán)的概念。(3256)D=3103+2102+5101+6100個(gè)位(D0)的位權(quán)為100

，十位(D1)的位權(quán)為101

，百位(D2)的位權(quán)為102

，千位(D3)的位權(quán)為103……格雷碼十進(jìn)制數(shù)(N)D二進(jìn)制編碼(K3K2K1K0)B(N)D=W3K3+W2K2+W1K1+W0K0W3~W0為二進(jìn)制各位的位權(quán)8421碼，就是指W3=8、W2=4、W1=2、W0=1。

用四位二進(jìn)制數(shù)表示0~9十個(gè)數(shù)碼，該四位二進(jìn)制數(shù)的每一位也有位權(quán)。2421碼，就是指W3=2、W2=4、W1=2、W0=1。5421碼，就是指W3=5、W2=4、W1=2、W0=1。000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二進(jìn)制數(shù)自然碼8421碼2421碼5421碼余三碼四位循環(huán)碼(Graycode:格雷碼）:特點(diǎn)：相鄰兩個(gè)編碼之間，只有一位變量的狀態(tài)取值不同。相鄰相鄰相鄰相鄰兩位循環(huán)碼十進(jìn)制數(shù)(兩位)的

8421BCD碼表示：

（91）D=(

10010001)BCD

（87）D

=(10000111)BCD例:ASCII碼ASCII碼：AmericanStandardCodeforInformationInterchange，即美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼由七位二進(jìn)制編碼組成，可表示128個(gè)字符，包括英文符號(hào)、數(shù)字符號(hào)、標(biāo)點(diǎn)符號(hào)以及控制符號(hào)等。ASCII碼表654位32100000010100111001011101110000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111NULSOHSTXETXEOTENQACKBELBSHTLFVTFFCRSOSIDELDC1DC2DC3DC4NAKSYNETBCANEMSUBESCFSGSRSUSSP

！“#$%&’()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_、abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~DEL字符D的ASCII碼：二進(jìn)制：1000100B十六進(jìn)制：44H十進(jìn)制：68算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算算術(shù)運(yùn)算：當(dāng)二進(jìn)制數(shù)表示不同大小的數(shù)值時(shí)，數(shù)值與數(shù)值之間可以進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算，稱算術(shù)運(yùn)算。邏輯運(yùn)算：當(dāng)二進(jìn)制數(shù)表示不同狀態(tài)的代碼時(shí)，代碼與代碼之間的運(yùn)算是一種邏輯因果關(guān)系的運(yùn)算，有與、或、非三種，稱邏輯運(yùn)算。這兩種運(yùn)算有本質(zhì)的不同。算術(shù)運(yùn)算—加法1001+011100010進(jìn)位1進(jìn)位1進(jìn)位1進(jìn)位11849年，英國(guó)數(shù)學(xué)家GeorgeBoole提出了描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法：布爾代數(shù)，又稱邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)研究的是二值邏輯(0,1)關(guān)系。§1.2邏輯變量和邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)特定功能輸入A輸出Y◆邏輯（A&Y）：事物的因果關(guān)系，即輸入、輸出之間變化的因果關(guān)系。

◆邏輯事件(A、Y)：有且僅有兩個(gè)相互對(duì)立的狀態(tài)，且必定出現(xiàn)兩個(gè)狀態(tài)中的一個(gè)。◆邏輯控制（A<—>Y）：A—〉Y，Y—〉A(chǔ)

。

AY閉合斷開(kāi)亮滅AY1010開(kāi)關(guān)與燈邏輯真值表:把邏輯變量所有可能的取值組合及其對(duì)應(yīng)的結(jié)果列成一種表格.簡(jiǎn)稱為真值表Y1.2.1邏輯代數(shù)中的邏輯運(yùn)算（邏輯函數(shù)）

最基本的邏輯運(yùn)算:與、或、非,也稱為邏輯乘、邏輯加和邏輯求反

復(fù)合邏輯運(yùn)算：與非、或非、與或非、同或和異或1.

與運(yùn)算（1）實(shí)例（2）真值表（3）邏輯符號(hào)（4）邏輯表達(dá)式

ABY000110110001Y=A·B

表示的邏輯關(guān)系：只有決定事物結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才發(fā)生。Y2.

或運(yùn)算（1）實(shí)例（2）真值表（3）邏輯符號(hào)（4）邏輯表達(dá)式ABY000110110111Y=A+B

表示的邏輯關(guān)系：在決定事物結(jié)果的諸條件中只要任何一個(gè)滿足，結(jié)果就發(fā)生。Y3.

非運(yùn)算（1）實(shí)例（2）真值表AY0110（3）邏輯符號(hào)（4）邏輯表達(dá)式(“1”——真，”0”——假)AY斷開(kāi)閉合亮滅AY閉合斷開(kāi)亮滅AY1010表示的邏輯關(guān)系：只要條件具備了，結(jié)果便不會(huì)發(fā)生，而條件不具備時(shí)，結(jié)果一定發(fā)生。YY（1）真值表（2）邏輯符號(hào)（3）邏輯表達(dá)式4.

與非運(yùn)算ABY000110111110與非與非YYY5.

或非運(yùn)算（1）真值表（2）邏輯符號(hào)（3）邏輯表達(dá)式ABY000110111000非或或非YYY6.與或非

只有AB或者CD同時(shí)具備時(shí),結(jié)果才不會(huì)發(fā)生

&ABY與或非門的符號(hào)CD≥16.

異或運(yùn)算（1）真值表（2）邏輯符號(hào)（3）邏輯表達(dá)式ABY000110

1101107.

同或（1）真值表（2）邏輯符號(hào)（3）邏輯表達(dá)式ABY000110111001Y=A⊙B異或取非是什么？A⊙BA⊙B=基本邏輯關(guān)系小結(jié)邏輯關(guān)系符號(hào)邏輯式與&ABYABY≥1或非1YAY=ABY=A+B與非&ABY或非ABY≥1異或=1ABYY=AB◆多變量的函數(shù)表達(dá)式●

與Y=A·B·C…●

或Y=A+B+C…●

與非●

或非●

與或非等等◆運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)別括號(hào)→非運(yùn)算→與運(yùn)算→或運(yùn)算邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯變量：字母A、B、Y……邏輯函數(shù)：表達(dá)式Y(jié)=AB……Y=AB

Y1.3邏輯代數(shù)的公式和定理1.3.1．公理和基本定律

邏輯代數(shù)的公理有：（1）

（2）

（3）1·0=0·1=0；1+0=0+1=1

（4）0·0=0；1+1=1（5）如果A≠0則A=1；如果A≠1則A=0。邏輯代數(shù)的基本定律有：（1）交換律A·B=B·A；A+B=B+A（2）結(jié)合律A（BC）=（AB）C；A+（B+C）=（A+B）+C（3）分配律A（B+C）=AB+AC；A+BC=（A+B）（A+C）（4）01律1·A=A；A+0=A0·A=0

；A+1=1（5）互補(bǔ)律（6）重疊律A·A=A；A+A=A（8）反演律—摩根定律口訣：同一屋檐下，分開(kāi)關(guān)系變。（7）還原律AB0011011110111100反演律—摩根定律的證明等式兩邊的真值表如表1.3所示：吸收：多余（冗余）項(xiàng)，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。1.原變量的吸收：

A+AB=A證明：左式=A(1+B)原式成立口訣：長(zhǎng)中含短,留下短。長(zhǎng)項(xiàng)短項(xiàng)=A=右式1||2若干常用公式--幾種形式的吸收律2.反變量的吸收：

A+AB=A+B證明：=右式口訣：長(zhǎng)中含反,去掉反。原(反)變量反(原)變量添冗余項(xiàng)1||3.混合變量的吸收(冗余律)：證明：添冗余因子AB+AC+BC=AB+AC互為反變量=右式口訣：正負(fù)相對(duì),余全完。（消冗余項(xiàng)）添加證明：4.A·A·B=A·BA·A·B=AA·A·B=A·(A+B)=A·BA·A·B=?A·A·B=?

A·(A+B)=A

AAA·BA·B√×××1.3.2．邏輯代數(shù)的三個(gè)基本定理（1）代入定理例：已知B（A+C）=BA+BC

，現(xiàn)將A用函數(shù)（A+D

）代替，證明等式仍然成立。證：等式左邊B[（A+D）+C]=BA+BD+BCB（A+C）=BA+BCB[（A+D

）+C]=B（A+D）+BC

等式右邊B（A+D）+BC=BA+BD+BC(2)

對(duì)偶定理例：Y=A·（B+C）則對(duì)偶式Y(jié)ˊ=A+B·C

◆對(duì)偶規(guī)則：是指當(dāng)某個(gè)恒等式成立時(shí)，則其對(duì)偶式也成立；如果兩個(gè)邏輯表達(dá)式相等：Y=G，那么它們的對(duì)偶式也相等：Yˊ=Gˊ

?！?lt;——>+1<——>0+<——>·0<——>1YY’

Y=（A+0）·（B·1）則對(duì)偶式Y(jié)ˊ=A·1+（B+0）（3）反演定理要保持原式中邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序；不是一個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保持不變，否則就要出錯(cuò)。例題：寫出下列邏輯函數(shù)的反函數(shù)1.·<——>+1<——>0+<——>·0<——>1Z<——>Z

YY用處：實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。例2：與或式反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)(4)

對(duì)偶規(guī)則·<——>+1<——>0+<——>·0<——>1YY’（5）反演規(guī)則·<——>+1<——>0+<——>·0<——>1Z<——>Z

YY（1）吸收律（2）冗余律（3）反演律—摩根定律小結(jié)：1.邏輯表達(dá)式(或邏輯函數(shù)式)

例如：Y=A+B，Y=AB+C+D

等。1.4邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)的表示方法主要有：邏輯函數(shù)表達(dá)式、真值表、邏輯圖、卡諾圖、波形圖。2.真值表例題1：

兩變量函數(shù)真值表變量函數(shù)ABABA+B000010010111100111111100解：該函數(shù)有3個(gè)輸入變量，共有23=8種輸入取值組合，分別將它們代入函數(shù)表達(dá)式，并進(jìn)行求解，得到相應(yīng)的輸出函數(shù)值。將輸入、輸出一一對(duì)應(yīng)列出，即可得到真值表。例2:列出函數(shù)的真值表ABCY00000011010001111000101011011111提示：在列真值表時(shí)，輸入變量的取值組合應(yīng)按照二進(jìn)制遞增的順序排列，這樣做既不容易遺漏，也不容易重復(fù)。3.邏輯圖例3：邏輯函數(shù)的邏輯圖如下圖所示。01-2例4：根據(jù)邏輯圖寫出下列邏輯函數(shù)表達(dá)式.4.卡諾圖4.幾種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換一、已知邏輯函數(shù)式求真值表：把輸入邏輯變量所有可能的取值的組合代入對(duì)應(yīng)函數(shù)式算出其函數(shù)值例：ABCY00000011010011100101110111101111二、已知真值表寫邏輯函數(shù)式ABCY00000011010101101000101111001111步驟：1、找出使Y＝1的輸入變量取值的組合；2、每個(gè)組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫成原變量，取值為0的寫成反變量；3、將這些乘積項(xiàng)相加，即得Y的邏輯函數(shù)式ABCY00000010010001101000101111011111三、已知邏輯函數(shù)式畫邏輯圖&&&≥111ABCY四、已知邏輯圖寫邏輯函數(shù)式≥1≥1

≥111ABYP111.4.2邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

最小項(xiàng)是構(gòu)成邏輯函數(shù)的基本單元，對(duì)應(yīng)于輸入變量的每一種組合。n變量的最小項(xiàng)有2n個(gè)。一、最大項(xiàng)和最小項(xiàng)1.最小項(xiàng)：n變量的最小項(xiàng)m是n個(gè)因子的乘積，

每個(gè)變量都以它的原變量或反變量的形式在乘積項(xiàng)m中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。最小項(xiàng)和最大項(xiàng)是構(gòu)成邏輯函數(shù)的基本單元。最小項(xiàng)與最大項(xiàng)是等價(jià)的兩個(gè)概念，雖然從形式上看是互反的，但表達(dá)的內(nèi)容是一致的。三變量最小項(xiàng)

變量賦值為1時(shí)用原變量表示；變量賦值為0時(shí)用該變量的反變量來(lái)表示:可見(jiàn)輸入變量的八種狀態(tài)分別唯一地對(duì)應(yīng)著八個(gè)最小項(xiàng)。最小項(xiàng)的性質(zhì)1在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。ABCABCABCABCABCABCABCABC輸入變量取值A(chǔ)=0，B=1，C=0最小項(xiàng)00100000全體最小項(xiàng)之和為1。ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABCAB+AB+AB+ABA+A1實(shí)際上性質(zhì)2可由性質(zhì)1推出，想一想，為什么？最小項(xiàng)的性質(zhì)2任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。ABC?ABC=0實(shí)際上，性質(zhì)3也可以由性質(zhì)1推得，為什么？最小項(xiàng)的性質(zhì)3具有邏輯相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以消去一對(duì)因子而合并成一項(xiàng)。最小項(xiàng)的性質(zhì)4邏輯相鄰：若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子以原、反區(qū)別，其他因子均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)具有邏輯相鄰性。邏輯相鄰的項(xiàng)可以合并且消去一對(duì)因子最小項(xiàng)的編號(hào)：以三變量邏輯函數(shù)為例：

最小項(xiàng)通常用

表示，下標(biāo)i

即最小項(xiàng)編號(hào)，用十進(jìn)制表示。ABC=m3ABC=m6=?四變量ABCD=？1010m10根據(jù)最小項(xiàng)的特點(diǎn)，從真值表可直接用最小項(xiàng)寫出邏輯函數(shù)式。例如：由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫出其邏輯函數(shù)式：驗(yàn)證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿足真值表中所列出的對(duì)應(yīng)的輸出狀態(tài)。邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式：積之和形式（與或式）將下列函數(shù)表示為最小項(xiàng)之和的形式：將下列函數(shù)表示為最小項(xiàng)之和的形式11××1100、11011110、1111××110011、01111011、11112、最大項(xiàng)定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個(gè)變量之和，而且這n個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項(xiàng)。n變量有2n個(gè)最大項(xiàng)。3變量最大項(xiàng)A、B、C三個(gè)變量構(gòu)成的最大項(xiàng)有：

A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、

A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C顯然，A+B、A+B、B+C、A+C、A、B、C等不是3變量的最大項(xiàng)。如果把ABC的取值010看成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則它相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)2，因此我們把最大項(xiàng)A+B+C記為M2。推論：輸入變量A、B、C的每一組取值都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)為0，其余的最大項(xiàng)為1。最大項(xiàng)所謂和式實(shí)際上為或式，各因子之間是或的關(guān)系。顯然，當(dāng)A=0,B=1,C=0時(shí),最大項(xiàng)A+B+C為0，其余的最大項(xiàng)為1。最大項(xiàng)的表示A、B、C三個(gè)變量構(gòu)成的最大項(xiàng)有：

A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+CA+B+C=M4A+B+C=M0=?100000最大項(xiàng)的性質(zhì)1在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0。A+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+C輸入變量取值A(chǔ)=0，B=1，C=0最大項(xiàng)11111011全體最大項(xiàng)之積為0。實(shí)際上性質(zhì)2可由性質(zhì)1推出，想一想，為什么？最大項(xiàng)的性質(zhì)2最大項(xiàng)的性質(zhì)3任意兩個(gè)最大項(xiàng)的和為1。（A+B+C）+（A+B+C）=1實(shí)際上，性質(zhì)3可以由最大項(xiàng)定義或者性質(zhì)1推得，為什么？最大項(xiàng)的性質(zhì)4相鄰的兩個(gè)最大項(xiàng)之積可以消去一對(duì)因子而合并成一項(xiàng)相鄰兩個(gè)最大項(xiàng)只有一個(gè)因子不同，稱相鄰。A+B+CA+B+CA+B+CA+B+C（A+B+C）?（A+B+C）=B+C推論：n變量的最大項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式結(jié)論：任意邏輯函數(shù)可以表示為最大項(xiàng)之積的形式（和之積式）。顯然，由于最小項(xiàng)與最大項(xiàng)之間的對(duì)稱關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：例如

Y=ABC+AC=m1+m3+m7=M0·M2

·M4

·M5

·M6

由此可知，如果邏輯函數(shù)可以表示為最小項(xiàng)之和，則一定能表示為最大項(xiàng)之積，兩者是等價(jià)的。利用摩根定理，把長(zhǎng)非號(hào)化短，例如：

Y=m1+m2+m3=m1?m2?m3

證明全體最小項(xiàng)之和為1

已知邏輯函數(shù)的真值表如下，寫出F的最大項(xiàng)表達(dá)式。

已知邏輯函數(shù)的真值表如下，寫出F的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)表達(dá)式。100100111.5邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法◆問(wèn)題的提出：x=98+2+1x=101ABY1000110110011AY201010011比較1：邏輯圖、波形圖、電路圖、接線、硬件成本又有何差別呢？

◆判斷與或表達(dá)式是否最簡(jiǎn)的條件是：（1）邏輯乘積項(xiàng)最少,即表達(dá)式中“+”號(hào)最少；（2）每個(gè)乘積項(xiàng)中變量最少，即表達(dá)式中“·

”號(hào)最少。比較2：YY1.5.2邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法并項(xiàng)法利用公式，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量，例如：

（1）（2）2.吸收法3.消項(xiàng)法利用公式，消去多余的因子，例如：利用公式，吸收掉多余的項(xiàng)，例如：或利用，消除多余的項(xiàng)。4.配項(xiàng)法

利用公式，先添上作配項(xiàng)用，以便消去更多的項(xiàng)。例如：1.一般先用并項(xiàng)法（提取公因式），看看有沒(méi)有公共項(xiàng)?！艄椒ɑ?jiǎn)的原則2.再觀察有沒(méi)有可用消去法的消去項(xiàng)。3.最后試試配項(xiàng)法例用公式化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)解：化簡(jiǎn)前邏輯圖化簡(jiǎn)后邏輯圖YY例1.5用公式法化簡(jiǎn)可得根據(jù)公式得即根據(jù)公式得即解：根據(jù)摩根定律

利用配項(xiàng)法再進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得

代數(shù)化簡(jiǎn)法

優(yōu)點(diǎn)：不受變量數(shù)目的限制。

缺點(diǎn)：沒(méi)有固定的步驟可循；需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；在化簡(jiǎn)一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)還需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)；有時(shí)很難判定化簡(jiǎn)結(jié)果是否最簡(jiǎn)?！纛A(yù)備知識(shí)：最小項(xiàng)與最小項(xiàng)表達(dá)式（1）從一般表達(dá)式求最小項(xiàng)表達(dá)式(已知原始函數(shù)的情況下)(2)從邏輯真值表到最小項(xiàng)表達(dá)式例1.6

寫出的最小項(xiàng)表達(dá)式。

解：

m7

m6

m5

m1

1.6

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法1.卡諾圖構(gòu)成以二變量為例，畫二變量卡諾圖的步驟如下：確定方格數(shù)

用來(lái)描述邏輯函數(shù)的特殊方格圖，每一個(gè)方格代表邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng).

填入變量及最小項(xiàng)AB0101000111100123m0m1m2m3方格數(shù)等于2n，也即等于最小項(xiàng)個(gè)數(shù)，其中n為變量的數(shù)目。按一定順序填入最小項(xiàng)。1100畫三變量卡諾圖的步驟：確定方格數(shù)填入變量及最小項(xiàng)方格數(shù)等于2n,其中n為變量的數(shù)目。按一定順序填入最小項(xiàng)。11100000圖1.13四變量卡諾圖圖1.14五變量卡諾圖m0

m1m3m2m4

m5m7m6m8

m9m11m10m12

m13m15m14例1.8

畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。解：3.

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法性質(zhì)1：卡諾圖中兩個(gè)相鄰1格的最小項(xiàng)可以合并成一個(gè)與項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。例：什么是卡諾圖化簡(jiǎn)，它是在做一件什么事？？如何用看卡諾圖的方法來(lái)化簡(jiǎn)？去異，留同！——尋找公共項(xiàng)左圖圈中的“1”公共項(xiàng)為B、C兩項(xiàng)，且分別為0、1，所以公共項(xiàng)為公式法化簡(jiǎn)：再如：例：性質(zhì)2：卡諾圖中四個(gè)相鄰1格的最小項(xiàng)可以合并成一個(gè)與項(xiàng)，并消去兩個(gè)變量。去異，留同！——尋找公共項(xiàng)左圖圈中的四個(gè)“1”公共項(xiàng)只有C項(xiàng)，且為1，所以公共項(xiàng)為C。公式法化簡(jiǎn)：再如：1111

綜上所述，在

n

個(gè)變量卡諾圖中，若有2n（n=0，1，2…，k）個(gè)相鄰1格,可以圈在一起加以合并，合并時(shí)可消去k個(gè)不同的變量，簡(jiǎn)化為一個(gè)具有(n-k)個(gè)變量的與項(xiàng)。若k=n，則合并時(shí)可消去全部變量，結(jié)果為1。性質(zhì)1：卡諾圖中兩個(gè)相鄰1格的最小項(xiàng)可以合并成一個(gè)與項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。性質(zhì)2：卡諾圖中四個(gè)相鄰1格的最小項(xiàng)可以合并成一個(gè)與項(xiàng)，并消去兩個(gè)變量。性質(zhì)3：卡諾圖中八個(gè)相鄰1格的最小項(xiàng)可以合并成一個(gè)與項(xiàng)，并消去三個(gè)變量。小結(jié)：卡諾圖化簡(jiǎn)原則：

1）只能圈偶數(shù)個(gè)“1”；2）圈越大越好，必要時(shí)可以重復(fù)圈“1”；3）將所有的“1”項(xiàng)圈入圈中的前提下，圈的總個(gè)數(shù)越少越好。例1.9

用卡諾圖化簡(jiǎn)法求邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式11111（1）畫出函數(shù)的卡諾圖；（2）填寫“1”項(xiàng)，即為“1”的最小項(xiàng)；（4）尋找公共保留項(xiàng)。（3）相鄰偶數(shù)個(gè)“1”畫在同一個(gè)圈內(nèi)；（5）寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。黃圈公共保留項(xiàng)為B，值為1，所以公共項(xiàng)為B。綠圈公共保留項(xiàng)為A、C，值分別為0、1，所以公共項(xiàng)為AC。公式法化簡(jiǎn)：例1.10

用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)

解：根據(jù)最小項(xiàng)的編號(hào)規(guī)則，得（1）畫出函數(shù)的卡諾圖；（2）填寫“1”項(xiàng)，即為“1”的最小項(xiàng)；（4）尋找公共保留項(xiàng)。（3）相鄰偶數(shù)個(gè)“1”畫在同一個(gè)圈內(nèi)；（5）寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。綠圈公共保留項(xiàng)為B、C、D，值為0、1、1，所以公共項(xiàng)為BCD。紅圈公共保留項(xiàng)為A、C、D，值為1、0、1，所以公共項(xiàng)為ACD。例1.11

用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)

解：

從表達(dá)式中可以看出此為四變量的邏輯函數(shù)，但是有的乘積項(xiàng)中缺少一個(gè)變量，不符合最小項(xiàng)的規(guī)定。因此，每個(gè)乘積項(xiàng)中都要將缺少的變量補(bǔ)上：則有將這七個(gè)最小項(xiàng)填入四變量卡諾圖內(nèi)化簡(jiǎn)得提示（1）列出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式，由最小項(xiàng)表達(dá)式確定變量的個(gè)數(shù)（如果最小項(xiàng)中缺少變量，應(yīng)按例1.11的方法補(bǔ)齊）。（2）畫出最小項(xiàng)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的卡諾圖。（3）將卡諾圖中的1格畫圈，一個(gè)也不能漏圈，否則最后得到的表達(dá)式就會(huì)與所給函數(shù)不等；1格允許被一個(gè)以上的圈所包圍。（4）圈的個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能得少。即在保證1格一個(gè)也不漏圈的前提下，圈的個(gè)數(shù)越少越好。因?yàn)橐粋€(gè)圈和一個(gè)與項(xiàng)相對(duì)應(yīng)，圈數(shù)越少，與或表達(dá)式的與項(xiàng)就越少。（5）按照2k個(gè)方格來(lái)組合（即圈內(nèi)的1格數(shù)必須為1，2，4，8等），圈的面積越大越好。因?yàn)槿υ酱?，可消去的變量就越多，與項(xiàng)中的變量就越少。（6）每個(gè)圈應(yīng)至少包含一個(gè)新的1格，否則這個(gè)圈是多余的。（7）用卡諾圖化簡(jiǎn)所得到的最簡(jiǎn)與或式不是唯一的。

練習(xí)：判斷正確與錯(cuò)誤正確錯(cuò)誤（多畫一個(gè)圈）例1例2錯(cuò)誤（圈的面積不夠大）正確

例3錯(cuò)誤（圈的面積不夠大）正確

例4錯(cuò)誤（有一個(gè)圈無(wú)新的1格）正確

（2）用圈0法畫包圍圈，得：卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的另一種方法——圈0法例

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如下圖所示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡(jiǎn)與—或式。解：（1）用圈1法畫包圍圈，得：1、約束項(xiàng)：輸入邏輯變量的取值不是任意的，對(duì)取值外加限制;2、任意項(xiàng)：在某些輸入變量的取值下，函數(shù)值為1，還是為0皆不影響電路的功能;3、無(wú)關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)、任意項(xiàng)統(tǒng)稱無(wú)關(guān)項(xiàng)1.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)4、帶無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其表示例：描述電機(jī)的狀態(tài):可用A、B、C三個(gè)邏輯變量A=1：表示電機(jī)正轉(zhuǎn)，A=0：表示電機(jī)不正轉(zhuǎn)；B=1：表示電機(jī)反轉(zhuǎn)，B=0：表示電機(jī)不反轉(zhuǎn)；C=1：表示電機(jī)停止，C=0：表示電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)；ABCY000001010011100101110111×√√×√×××約束條件YAB00011110CD0001111011111××××00000005、帶無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)解：設(shè)紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數(shù)的真值。顯而易見(jiàn)，在這個(gè)函數(shù)中，有5個(gè)