材料力學第七章應力應變分析強度理論-正式

1第七章應力應變分析強度理論2

§7-1

應力狀態(tài)概述

§7-2

二向應力狀態(tài)分析-解析法§7-3二向應力狀態(tài)分析-圖解法

§7-4三向應力狀態(tài)§7-5

廣義胡克定律§7-6復雜應力狀態(tài)的應變能密度§7-7

強度理論概述§7-8

四種常用強度理論3

§7-1

應力狀態(tài)概述一、應力狀態(tài)的概念

請看下面動畫1.低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗

2.低碳鋼和鑄鐵的扭轉實驗

4

低碳鋼?塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？

鑄鐵

低碳鋼和鑄鐵的拉伸5?為什么脆性材料扭轉時沿45°螺旋面斷開？

低碳鋼和鑄鐵的扭轉

低碳鋼

鑄鐵6

（1）拉中有剪,剪中有拉;

（2）不僅橫截面上存在應力,斜截面上也存在應力;

（3）同一面上不同點的應力各不相同;

（4）同一點不同方向面上的應力也是各不相同3.重要結論哪一點？

哪個方向面？應力哪一個面上？

哪一點？4.一點的應力狀態(tài)過一點不同方向面上應力的情況,稱之為這一點的應力狀態(tài),亦指該點的應力全貌.7二、應力狀態(tài)的研究方法1.單元體

（2）任意一對平行平面上的應力相等2.單元體特征

3.主單元體各側面上切應力均為零的單元體

（1）單元體的尺寸無限小,每個面上應力均勻分布31223184.主平面切應力為零的截面

5.主應力主平面上的正應力

說明:一點處必定存在這樣的一個單元體,三個相互垂直的面均為主平面,三個互相垂直的主應力分別記為1,2,3且規(guī)定按代數值大小的順序來排列,即3122319

三、應力狀態(tài)的分類

1.三向應力狀態(tài)（或稱空間應力狀態(tài)）三個主應力1,2,3

均不等于零2.二向應力狀態(tài)（或稱平面應力狀態(tài)）三個主應力1,2,3中有兩個不等于零3.單向應力狀態(tài)三個主應力1,2,3中只有一個不等于零31223122111110例題

1畫出如圖所示梁S截面的應力狀態(tài)單元體.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面11S平面254321543211x1x1x2x22233312alSF例題

2畫出如圖所示梁危險截面危險點的應力狀態(tài)單元體

xzy4321zy4321FSMzT1312yxzzy4321FSMzTxzy4321314例題3分析薄壁圓筒受內壓時的應力狀態(tài)pDyz

薄壁圓筒的橫截面面積pD′nn（1）沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為Fmmnn15直徑平面（2）假想用一直徑平面將圓筒截分為二,并取下半環(huán)為研究對象p"yＯFNFNd16平面應力狀態(tài)的普遍形式如圖所示.單元體上有x,xy

和y,yx§7-2

二向應力狀態(tài)分析-解析法xxyzyxyyxxyxyyx17一、斜截面上的應力1.截面法假想地沿斜截面e-f將單元體截開,留下左邊部分的單體元eaf作為研究對象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnα18xyaxxyxxyefn

（1）由x軸轉到外法線n,逆時針轉向時為正

（2）正應力仍規(guī)定拉應力為正

（3）切應力對單元體內任一點取矩,順時針轉為正2.符號的確定efaxxyyxyαααnαt19

設斜截面的面積為dA,a-e的面積為dAcos,a-f

的面積為dAsinefaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos3.任意斜截面上的應力

對研究對象列n和t方向的平衡方程得t20efaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcost21化簡前面兩個平衡方程，最后得斜截面上的應力：并利用公式：根據切應力互等定理，以代換22對比得即兩相互垂直面上的正應力之和保持一個常數23二、最大正應力及方位1.最大正應力的方位令

0和0+90°確定兩個互相垂直的平面,一個是最大正應力所在的平面,另一個是最小正應力所在的平面.242.最大正應力

將0和

0+90°代入公式

得到max和min

(主應力）

下面還必須進一步判斷0是x與哪一個主應力間的夾角25

（1）當x>y時,0

是x與max之間的夾角

（2）當x<y

時,0

是x與min之間的夾角

（3）當x=y

時,0

=45°,最大主應力的方向可由單元體兩相互垂直面的切應力共同指定方向確定。

則確定主應力方向的具體規(guī)則如下

若約定|0|<45°即0

取值在±45°范圍內26二、最大切應力及方位1.最大切應力的方位

令

1和1+90°確定兩個互相垂直的平面,一個是最大切應力所在的平面,另一個是最小切應力所在的平面.272.最大切應力

將1和

1+90°代入公式

得到max和min

比較和可見28即最大和最小切應力所在平面與主平面的夾角為450。因：比較得：29例題4簡支梁如圖所示.已知m-m

截面上A點的彎曲正應力和切應力分別為

=-70MPa,=50MPa.確定A點的主應力及主平面的方位.AmmalA解：把從A點處截取的單元體放大如圖30因為x

<y

，所以0=27.5°與min對應xAA0131331xyxy例題5圖示單元體,已知x

=-40MPa,y

=60MPa,xy=-50MPa.試求e-f截面上的應力情況及主應力和主單元體的方位.n30°ef解:（1）求

e-f截面上的應力32（2）求主應力和主單元體的方位因為x

<y,所以0=-22.5°與min對應xyxy22.5°1333解:（1）求主平面方位

因為x

=y,且x>0例題6求平面純剪切應力狀態(tài)的主應力及主平面方位.xy所以0=-45°與max

對應45°

（2）求主應力1=,2=0,3=-13（圓軸扭轉的應力狀態(tài)）（鑄鐵因抗拉強度低，扭轉時沿450螺旋面拉斷）34§7-3

平面應力狀態(tài)分析-圖解法

一、莫爾圓（Mohr’scircle）

將斜截面應力計算公式改寫為把上面兩式等號兩邊平方,然后相加便可消去,得35

因為x,y,xy皆為已知量,所以上式是一個以,為變量的圓周方程.當斜截面隨方位角變化時,其上的應力

,

在

-直角坐標系內的軌跡是一個圓.1.圓心的坐標2.圓的半徑

此圓習慣上稱為應力圓，或稱為莫爾圓36

（1）建

-坐標系,選定比例尺Ｏ二、應力圓作法1.步驟xyxxyxxyyy37DxyO

（2）量取OA=xAD

=xy得D點xAOB=y

（3）量取BD′=yx得D′點yByxD′

（4）連接DD′兩點的直線與軸相交于C

點

（5）以C為圓心,CD

為半徑作圓,該圓就是相應于該單元體的應力圓Cxyxxyxxyyy38

（1）該圓的圓心C點到坐標原點的距離為

（2）該圓半徑為DxyOxAyByxD′C2.證明39三、應力圓的應用

1.求單元體上任一截面上的應力

從應力圓的半徑CD按方位角的轉向轉動2得到半徑CE.圓周上E

點的坐標就依次為斜截面上的正應力和切應力.DxyOxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyyyefn40DxyOxAyByxD′C20FE2證明：41DxyOxAyByxD′C20FE242

（1）點面之間的對應關系:單元體某一面上的應力,必對應于應力圓上某一點的坐標.說明AB

（2）夾角關系:圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應兩截面夾角的兩倍.兩者的轉向一致.2OCBA432.求主應力數值和主平面位置

（1）主應力數值A1和B1兩點為與主平面對應的點,其橫坐標為主應力1,212DxyOxAyByxD′C20FE2B1A14420DxyOxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位

由CD順時針轉20到CA1

所以單元體上從

x

軸順時針轉0（負值）即到1對應的主平面的外法線0確定后,1對應的主平面方位即確定453.求最大切應力G1和G兩點的縱坐標分別代表最大和最小切應力20DxyOxAyByxD′C12A1B1G1G2

因為最大、最小切應力等于應力圓的半徑46O例題7從水壩體內某點處取出的單元體如圖所示,

x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,

（1）繪出相應的應力圓

（2）確定此單元體在

=30°和

=-40°兩斜面上的應力.xyxy解:（1）畫應力圓

量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出D點;ACBOB

=y=-0.4和，BD′

=yx=0.2,定出D′點.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)

以DD′為直徑繪出的圓即為應力圓.47

將半徑CD

逆時針轉動2=60°到半徑CE,E

點的坐標就代表

=30°斜截面上的應力。（2）確定=30°斜截面上的應力E60°（3）確定

=-40°斜截面上的應力

將半徑

CD順時針轉2=80°到半徑CF,F

點的坐標就代表

=-40°斜截面上的應力.F80°AD′CBOD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa48

已知受力物體內某一點處三個主應力1,2,3

利用應力圓確定該點的最大正應力和最大切應力.一、空間應力狀態(tài)下的最大正應力和最大切應力§7-4

三向應力狀態(tài)分析3122314913

首先研究與其中一個主平面（例如主應力3所在的主平面）垂直的斜截面上的應力122

用截面法,沿求應力的截面將單元體截為兩部分,取左下部分為研究對象2150

主應力3所在的兩平面上是一對自相平衡的力,因而該斜面上的應力、

與3無關,只由主應力1,2

決定

與3所在主平面垂直的斜截面上的應力可由

1,2作出的應力圓上的點來表示12332151

該應力圓上的點對應于與3所在主平面

垂直的所有斜截面上的應力A1O2B

與主應力2所在主平面垂直的斜截面上的應力,

可用由1,3作出的應力圓上的點來表示C3

與主應力１所在主平面垂直的斜截面上的應力,

可用由2,3作出的應力圓上的點來表示52

該截面上應力和對應的D點必位于上述三個應力圓所圍成的陰影內abc截面表示與三個主平面斜交的任意斜截面abc1212353A1O2BC3結論

三個應力圓圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標代表了空間應力狀態(tài)下所有截面上的應力

該點處的最大正應力（指代數值）應等于最大應力圓上A點的橫坐標154A1O2BC3

最大切應力則等于最大的應力圓的半徑

最大切應力所在的截面與2所在的主平面垂直,并與1和3所在的主平面成45°角.55例題9單元體的應力如圖所示,作應力圓,并求出主應力和最大切應力值及其作用面方位.解:

該單元體有一個已知主應力

因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力z

無關,依據x截面和y截面上的應力畫出應力圓.

求另外兩個主應力。40MPaxyz20MPa20MPa20MPa56

由x,xy

定出D

點由y,yx

定出D′

點

以DD′為直徑作應力圓A1,A2

兩點的橫坐標分別代表另外兩個主應力

1和

3A1A2D′ODC13

1=46MPa

3=-26MPa

該單元體的三個主應力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa

根據上述主應力，作出三個應力圓57一、各向同性材料的廣義胡克定律

（1）正應力:拉應力為正,壓應力為負1.符號規(guī)定

（2）切應力:對單元體內任一點取矩,若產生的矩為順時針,則τ為正;反之為負

（3）線應變:以伸長為正,縮短為負;

（4）切應變:使直角減者為正,增大者為負.xx

§7-6

廣義胡克定律yzyxyyxz58x方向的線應變

用疊加原理,分別計算出x,y,z

分別單獨存在時,x,y,z方向的線應變x,y,z,然后代數相加.2.各向同性材料的廣義胡克定律單獨存在時單獨存在時

單獨存在時xyyzzzxxyy59

在x

,y

,z同時存在時,x

方向的線應變x為

同理,在x,y

,z同時存在時,y,z

方向的線應變?yōu)?/p>

在xy,yz,zx三個面內的切應變?yōu)?0上式稱為廣義胡克定律——沿x,y,z軸的線應變

——在xy,yz,zx面上的切應變61

對于平面應力狀態(tài)（假設z

=0,xz=0,yz=0）xyzxyxyyxxyxyyx623.主應力-主應變的關系

二向應力狀態(tài)下，設3=0

已知1,2,3;1,2,3為主應變63二、各向同性材料的體積應變123a1a2a3

構件每單位體積的體積變化,稱為體積應變用q表示.

各向同性材料在三向應力狀態(tài)下的體應變

如圖所示的單元體,三個邊長為dx

,dy

,dz

變形后的邊長分別為

變形后單元體的體積為dx(1+，dy(1+2，dz(1+3V1=dx(1+·

dy(1+2·

dz(1+364體積應變?yōu)?5K稱為體積彈性模量是三個主應力的平均值661.純剪切應力狀態(tài)下的體積應變

即在小變形下,切應力不引起各向同性材料的體積改變.2.三向等值應力單元體的體積應變

三個主應力為

單元體的體積應變mmm67

這兩個單元體的體積應變相同mmm123dxdydz

單元體的三個主應變?yōu)?/p>

如果變形前單元體的三個棱邊成某種比例,由于三個棱邊應變相同,則變形后的三個棱邊的長度仍保持這種比例.所以在三向等值應力m的作用下,單元體變形后的形狀和變形前的相似,稱這樣的單元體是形狀不變的.168

在最一般的空間應力狀態(tài)下，材料的體積應變只與三個線應變x

,y,z

有關,仿照上述推導有

在任意形式的應力狀態(tài)下,各向同性材料內一點處的體積應變與通過該點的任意三個相互垂直的平面上的正應力之和成正比,而與切應力無關.69例題10邊長a=0.1m的銅立方塊,無間隙地放入體積較大,變形可略去不計的鋼凹槽中,如圖所示.已知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比μ=0.34,當受到F=300kN的均布壓力作用時,求該銅塊的主應力,體積應變以及最大切應力.解:銅塊橫截面上的壓應力aaaF

銅塊受力如圖所示

變形條件為：zyx12370

聯(lián)立解得

銅塊的主應力為

最大切應力

體積應變?yōu)?1例題11一直徑d=20mm的實心圓軸,在軸的的兩端加扭矩Me=126N·m.在軸的表面上某一點A處用變形儀測出與軸線成-45°方向的應變

=5.010-4,試求此圓軸材料的剪切彈性模量G.MeMeA45°x72解:圍繞A點取一單元體A13

-45°A73bhzb=50mmh=100mm例題12已知矩形外伸梁受力F1,F2作用.彈性模量E=200GPa,泊松比=0.3,F1=100KN,F2=100KN.

求:（1）A點處的主應變1,2,3（2）A點處的線應變x,

y,zaAF1F2F2l74解:梁為拉伸與彎曲的組合變形.A點有拉伸引起的正應力和彎曲引起的切應力.（拉伸）（負）Ax=20

=30

（1）求A點處的主應變1，

2，375

（2）A點處的線應變x,

y,z76

§7-7

復雜應力狀態(tài)的應變能密度一、應變能密度的定義二、應變能密度的計算公式

1.單向應力狀態(tài)下,物體內所積蓄的應變能密度為

物體在單位體積內所積蓄的應變能.77

將廣義胡克定律代入上式,經整理得

用vd

表示與單元體形狀改變相應的那部分應變能密度,稱為畸變能密度

用vV

表示單元體體積改變相應的那部分應變能密度,稱為體積改變能密度2.三向應力狀態(tài)下單元體的應變能密度為應變能密度vε等于兩部分之和78代之以m

圖（a）所示單元體的三個主應力不相等,因而,變形后既發(fā)生體積改變也發(fā)生形狀改變.

圖（b）所示單元體的三個主應力相等,因而,變形后的形狀與原來的形狀相似,即只發(fā)生體積改變而無形狀改變。因此可通過圖（b)求出體積改變能密度。(a)123(b)mmm=(1+2+3)/379圖b所示單元體的體積改變能密度80空間應力狀態(tài)下單元體的應變能密度：單元體的體積改變能密度：單元體的畸變能密度：(a)123即：81一、強度理論的概念1.引言§7-8

強度理論軸向拉壓彎曲剪切扭轉彎曲

切應力強度條件

正應力強度條件82（2）材料的許用應力,是通過拉（壓）試驗或純剪試驗測定試件在破壞時其橫截面上的極限應力,以此極限應力作為強度指標,除以適當的安全因數而得。

上述強度條件具有如下特點（1）危險點處于單向應力狀態(tài)或純剪切應力狀態(tài);2.強度理論的概念

是關于“構件發(fā)生強度失效起因”的假說.是解決復雜應力狀態(tài)下強度破壞問題的理論。83

基本觀點

構件受外力作用而發(fā)生破壞時,不論破壞的表面現(xiàn)象如何復雜,其破壞形式總不外乎幾種類型,而同一類型的破壞則可能是某一個共同因素所引起的，即造成失效的原因與應力狀態(tài)無關.

根據材料在復雜應力狀態(tài)下破壞時的一些現(xiàn)象與形式,進行分析,提出破壞原因的假說.在這些假說的基礎上,可利用材料在單向應力狀態(tài)時的試驗結果,來建立材料在復雜應力狀態(tài)下的強度條件.84

（1）脆性斷裂:無明顯的變形下突然斷裂.二、材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）屈服失效材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力.2.斷裂失效

（2）韌性斷裂:產生大量塑性變形后斷裂.85引起破壞的某一共同因素畸變能密度最大切應力最大線應變最大正應力86三、四個強度理論（1）第一類強度理論—以脆斷作為破壞的標志

包括:最大拉應力理論和最大伸長線應變理論（2）第二類強度理論—以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標志

包括:最大切應力理論和形狀改變能（或稱畸變能）密度理論87

認為當作用在構件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿最大拉應力所在截面發(fā)生脆斷破壞.

1.最大拉應力理論（第一強度理論）

基本假說:最大拉應力1是引起材料脆斷破壞的因素.

單向拉伸時，脆斷破壞的條件:1=b四、第一類強度理論

復雜應力狀態(tài)下強度條件:1[882.最大伸長線應變理論（第二強度理論）

認為當作用在構件上的外力過大時,其危險點處的材料就會沿垂直于最大伸長線應變方向的平面發(fā)生破壞.

基本假說:最大伸長線應變1是引起材料脆斷破壞的因素.

單向拉伸時，脆斷破壞的條件:

復雜應力下：最大伸長線應變:

強度條件:891.最大切應力理論（第三強度理論，也稱Tresca屈服準則）

基本假說:最大切應力max是引起材料屈服的因素.

認為當作用在構件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿最大切應力所在截面滑移而發(fā)生屈服失效.

單向拉伸下，屈服條件五、第二類強度理論

在復雜應力狀態(tài)下一點處的最大切應力為

強度條件

屈服準則902.畸變能密度理論（第四強度理論，也稱Mises屈服準則）

基本假說:畸變能密度vd是引起材料屈服的因素.

單向拉伸下,1=

s，2=

3=0，材料的極限值：

強度條件:

屈服準則:91六、相當應力

把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一形式r

稱為復雜應力狀態(tài)的相當應力.921.適用范圍

（2）塑性材料（碳鋼、銅、鋁等）選用第三或第四強度理論;

（3）在二向和三向等拉應力時,無論是塑性還是脆性都發(fā)生脆性破壞,故選用第一或第二強度理論;三、各種強度理論的適用范圍及其應用

（1）一般脆性材料（鑄鐵、石料、混凝土、玻璃等）選用第一或第二強度理論;

（4）在二向和三向等壓應力狀態(tài)時,無論是塑性還是脆性材料都發(fā)生塑性破壞,故選用第三或第四強度理論.932.強度計算的步驟

（1）外力分析:確定所需的外力值;

（2）內力分析:畫內力圖,確定可能的危險截面;

（3）應力分析:畫危險截面應力分布圖,確定危險點并畫出單元體,求主應力;

（4）強度分析:選擇適當的強度理論,計算相當應力,然后進行強度計算.94例題13一蒸汽鍋爐承受最大壓強為p,圓筒部分的內徑為D,厚度為d,且

d

遠小于D.試用第四強度理論校核圓筒部分內壁的強度.已知p=3.6MPa,d=10mm,D=1m,[]=160MPa.p（a）Dyzd（b）95

內壁的強度校核

所以圓筒內壁的強度合適.

用第四強度理論校核圓筒內壁的強度′

"

′

"

[]=160MPap=3.6MPa96例題14:試用第三強度理論分析圖示三種應力狀態(tài)中哪種最危險？最危險97例題15: