電工技術(shù)第三章課件

第三章正弦交流電路3.1正弦交流電的特征3.2正弦交流電的相量表示法3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.4RLC串聯(lián)電路3.5RLC并聯(lián)電路3.6日光燈電路及感性負(fù)載功率因數(shù)的提高。

3.1正弦交流電的特征

大小和方向均隨時間作周期性變化，且在一個周期內(nèi)其平均值為零的電壓、電流或電動勢統(tǒng)稱為交流電，如圖3-1所示。大小和方向隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓、電流或電動勢統(tǒng)稱為正弦交流電，如圖3-1（a）所示。

以正弦交流電源為激勵，電路中產(chǎn)生的電流、電壓均為正弦量，這樣的電路稱為正

弦交流電路。正弦交流電應(yīng)用廣泛（1）正弦交流電易于產(chǎn)生、轉(zhuǎn)換和傳輸。①交流電機(jī)結(jié)構(gòu)簡單，工作可靠，經(jīng)濟(jì)性好，可由火力發(fā)電機(jī)、風(fēng)力發(fā)電機(jī)、水輪發(fā)電機(jī)、原子能發(fā)電機(jī)等方便地獲得電能。②可方便地通過變壓器改變交流電的大小，為用戶提供各種不同等級的電壓。③便于實現(xiàn)遠(yuǎn)距離輸電（高壓輸電）。④能保證安全用電（降低交流電壓）。（2）利用電子設(shè)備（整流器）可方便地將交流電轉(zhuǎn)換成直流電。3.1.1正弦交流電的三要素圖3-2正弦電量的正方向和波形圖正弦交流電的數(shù)值隨時間按正弦規(guī)律變化，方向也隨時間反復(fù)變化。與該波形圖相對應(yīng)的正弦電流i的數(shù)學(xué)表達(dá)式為正弦交流電動勢、正弦交流電壓的瞬時值表達(dá)式分別表示為１．最大值（振幅）正弦交流電瞬時值中的最大值也稱為幅值。正弦交流電流、電動勢、電壓的最大值（或幅值）分別用Im、Em、Um表示。２．周期、頻率、角頻率周期、頻率、角頻率都可以表征正弦電量隨時間變化的快慢。周期T：正弦量變化一次所需的時間稱為周期，其單位為秒（s）。頻率f：正弦量每秒變化的次數(shù)稱為頻率，其單位為赫茲（Hz）。角頻率：正弦交流電每秒變化的電角度，其單位為弧度/秒（rad/s）。

某正弦交流電的頻率f=50Hz，求其周期T和角頻率３．初相位正弦交流電在任一瞬時的電角度(t+u)、(t+i)、(t+e)等稱為相位角，簡稱相位，其單位為弧度（rad）。當(dāng)t=0時正弦電量的相位角稱為初相位，簡稱初相。規(guī)定初相角絕對值都小于等于，即。

如圖3-4所示，由縱軸左邊的零值點(diǎn)確定的初相角為i，由縱軸右邊的零值點(diǎn)確定的初相角為?i′，根據(jù)初相角絕對值的規(guī)定，可判斷該正弦電流的初相角應(yīng)為i，而不是?i′。圖3-4正弦電量的初相角

例3-2判斷圖3-5中正弦電量波形圖的初相角，并寫出對應(yīng)的瞬時值表達(dá)式。解：在圖3-5（a）中，正弦電量的零點(diǎn)與計時起點(diǎn)重合，其初相角i=0。其對應(yīng)的表達(dá)式為i=Imsint。在圖3-5（b）中，正弦電量的零點(diǎn)在計時起點(diǎn)之前，其初相角為。其對應(yīng)的表達(dá)式為在圖3-5（c）中，正弦電量的零點(diǎn)在計時起點(diǎn)之后，其初相角為其對應(yīng)的表達(dá)式為3.1.2同頻率正弦交流電的相位關(guān)系兩個同頻率正弦交流電的相位之差稱為相位差，用字母表示

u、i的相位差為兩個同頻率正弦量的相位差等于它們的初相位之差。兩個同頻率正弦電量相位關(guān)系的幾種情況圖3-6兩同頻率正弦電量相位關(guān)系例3-3已知某元件的電流及其兩端的電壓是同頻率的正弦量，角頻率電壓的最大值電流的最大值電壓比電流超前60°。試寫出該正弦電壓、電流的瞬時值表達(dá)式，并畫出電壓、電流的波形圖。解：設(shè)以電流為參考正弦量，則由已知條件知：電壓、電流的瞬時值表達(dá)式如下：電壓、電流的波形圖如圖3-7所示。3.1.3正弦交流電的有效值1．有效值熱效應(yīng)相同的直流電數(shù)值稱為正弦交流電的有效值。正弦交流電的有效值等效圖如圖3-8所示。設(shè)在相同的時間t內(nèi)，兩個完全相同的電阻R消耗的能量相同，則圖3-8（b）中的直流電流I是圖3-8（a）中交流電流i的有效值。熱效應(yīng)相同的直流電流I稱為交流電流i的有效值。同理，交流電壓、交流電動勢的有效值分別用U、E表示。有效值可以確切地反映交流電的做功能力２．有效值與最大值的關(guān)系

例3-4一個耐壓為220V的電容器是否可以接在220V交流電壓的電路中使用呢？解：220V交流電壓是交流電的有效值，其最大值是因為電容器承受的最大電壓已經(jīng)超過了它的耐壓值，故該電容器不能在220V的交流電路中使用。例3-5已知，，，

求電壓的有效值U和t=0.125s時的瞬時值。解：t=0.125s時的瞬時值為3.2正弦交流電的相量表示法用復(fù)數(shù)表示正弦量的方法稱為相量表示法，簡稱相量法，又稱符號法。在正弦交流電路中，所有的電流和電壓都是同頻率的正弦量，故正弦量的角頻率不用考慮。復(fù)數(shù)正好能反映同頻率正弦量的兩個要素，故同頻率正弦量的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算。3.2.1復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)運(yùn)算1．復(fù)數(shù)的表示形式及其相互轉(zhuǎn)換（1）代數(shù)式復(fù)數(shù)A一般由實部和虛部組成。其代數(shù)形式（直角坐標(biāo)形式）為A=a+jb稱為虛數(shù)單位（數(shù)學(xué)中用i表示）表示）復(fù)數(shù)A

=

a

+

jb可用復(fù)平面上的一個點(diǎn)A（a，b）表示，用有向線段連接O和A，線段的末端帶有箭頭，成為一個矢量，則該矢量與復(fù)數(shù)A相對應(yīng)，稱為復(fù)數(shù)矢量，如圖3-9所示。復(fù)數(shù)的模（即復(fù)數(shù)矢量的長度）為復(fù)數(shù)的幅角（即復(fù)數(shù)矢量與實軸的夾角）為矢量在實軸和縱軸上的投影分別是復(fù)數(shù)的實部和復(fù)數(shù)的虛部：

（2）復(fù)數(shù)的三角函數(shù)形式（3）復(fù)數(shù)的指數(shù)形式（代數(shù)式轉(zhuǎn)為三角函數(shù)式）（三角函數(shù)式轉(zhuǎn)為指數(shù)式）根據(jù)尤拉公式得出（4）復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式（指數(shù)式轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)式）（代數(shù)式轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)式）（極坐標(biāo)式轉(zhuǎn)為代數(shù)式）2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算設(shè)兩個復(fù)數(shù)分別為A1

=

a1

+

jb1，A2

=

a2

+

jb2，則（2）復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算①復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算：兩復(fù)數(shù)的模相乘，幅角相加②復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算：兩復(fù)數(shù)的模相除，幅角相減。3．復(fù)數(shù)相等兩個復(fù)數(shù)相等的條件是：實部和實部相等，虛部和虛部相等，或者復(fù)數(shù)的模相等，復(fù)數(shù)的幅角相等。3.2.2正弦量的相量表示法１．用相量表示正弦量能表示正弦量特征的復(fù)數(shù)稱為相量。為了與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，相量用一個上面加黑點(diǎn)的大寫英文字母表示，加黑點(diǎn)表示該相量是時間的函數(shù)。例如，表示正弦電流的相量，表示正弦電壓的相量，表示正弦電動勢的相量。相量的模表示正弦量的有效值，相量的幅角表示正弦量的初相角。其中，模為最大值的相量稱為最大值相量。２．相量圖表示正弦量的相量也可以在復(fù)平面上用矢量來表示，相量在復(fù)平面上的幾何表示（矢量圖）稱為相量圖。例3-7已知正弦電量的瞬時值表達(dá)式分別為要求：（1）寫出各正弦量對應(yīng)的最大值相量和有效值相量。（2）畫出各正弦量對應(yīng)相量的相量圖。解：（1）寫出各正弦量對應(yīng)的最大值相量和有效值相量。最大值相量：有效值相量：，（2）畫出各正弦量對應(yīng)相量的相量圖。①最大值相量圖：取相量的長度分別為正弦電量的最大值，在復(fù)平面上畫出各正弦量對應(yīng)的最大值相量圖，如圖3-10（a）所示。②有效值相量圖：取相量的長度分別為正弦電量的有效值，在復(fù)平面上畫出各正弦量對應(yīng)的有效值相量圖，如圖3-10（b）所示。③省略復(fù)平面的有效值相量圖：作相量圖時復(fù)平面通常省略不畫，只畫出實軸所表示的參考方向，如圖3-10（c）所示。今后遇到的相量圖若不加特殊說明，均指省略復(fù)平面的有效值相量圖。注意：單位相同的正弦電量對應(yīng)相量的長度應(yīng)成比例。圖中各正弦量的頻率必須一致，不同頻率的正弦量不能畫在同一個相量圖上。３．相量計算例3-8已知正弦電流求方法1：用復(fù)數(shù)符號法（相量法）求總電流i。①

根據(jù)電流i1、i2的瞬時值表達(dá)式，寫出其對應(yīng)的相量的表達(dá)式。②用復(fù)數(shù)符號法求和，得到電流i對應(yīng)的相量表達(dá)式③寫出電流i的瞬時值表達(dá)式。方法2：用圖解法求總電流i①

根據(jù)電流i1、i2的瞬時值表達(dá)式，寫出對應(yīng)的相量表達(dá)式。

②

畫出，用矢量求和法作出電流的相量圖，如圖（b）所示。由相量圖確定正弦電流的有效值和初相位

③寫出電流對應(yīng)的相量表達(dá)式④由電流的相量表達(dá)式寫出電流的瞬時值表達(dá)式。正弦交流電的4種表示形式正弦量和它的相量之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系，但不是相等的關(guān)系3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.3.1電阻元件的正弦交流電路1．電阻元件電壓與電流的關(guān)系在分析計算正弦交流電路時，必須把電路元件的參數(shù)R、L、C都考慮進(jìn)去。在一定條件下，某一電特性為影響電路的主要因素時，其余電特性可以忽略，即構(gòu)成單一參數(shù)的正弦交流電路模型。線性電阻元件的交流電路模型及電壓、電流的正方向如圖3-12（a）所示。設(shè)電阻兩端的電壓則電流為

電阻元件的電流及其兩端的電壓都是同頻率的正弦量，它們的數(shù)量及相位關(guān)系介紹如下（1）數(shù)量關(guān)系②有效值之間符合歐姆定律：③瞬時值之間符合歐姆定律：①最大值之間符合歐姆定律：（2）相位關(guān)系圖3-13電阻元件電壓、電流的相位關(guān)系①表達(dá)式

②波形圖③相量圖（3）相量關(guān)系若，則

（4）相量模型將正弦交流電路中的電壓、電流用相量表示，電路元件的參數(shù)用復(fù)數(shù)表示，得到的電路模型稱為相量模型。用相量模型表示的單一電阻參數(shù)電路如圖3-12（b）所示。相量模型中電壓相量與電流相量之比，稱為復(fù)數(shù)阻抗，用Z表示，單位是歐姆。電阻元件的復(fù)阻抗這個復(fù)數(shù)阻抗Z只有實部，沒有虛部。其大小相量形式的歐姆定律2．功率因為交流電路中的電壓、電流都是交變的，電阻吸收的功率也必定隨時間變化。電阻在每一瞬時吸收的功率稱為瞬時功率，用小寫字母p表示。結(jié)論：p隨時間變化；，電阻R為耗能元件。交流電的瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值稱為平均功率，用P表示。（2）平均功率（有功功率）（1）瞬時功率例3-9某電阻元件的參數(shù)為8歐，接在的交流電源上。試求：（1）通過電阻元件上的電流相量及電流i。（2）如果用電流表測量該電路中的電流，其讀數(shù)為多少？電路消耗的功率是多少瓦？若電源的頻率增大1倍，電壓有效值及電路中消耗的功率又如何？（3）畫出電壓和電流的相量圖。解：（1）（2）電流表測量的是交流電流的有效值，故

（3）相量圖如圖3-15所示。當(dāng)頻率增大1倍時，電壓有效值不變，電路中消耗的功率也不變。圖3-15例3-9的圖3.3.2電感元件的正弦交流電路線性電感元件的交流電路模型及電壓、電流的正方向如圖3-16（a）所示。１．電感元件電壓與電流的關(guān)系電感元件的伏安關(guān)系為設(shè)（1）數(shù)量關(guān)系，是電壓與電流有效值（或最大值）的比值，稱為電感元件的感抗，單位也是歐姆（2）相位關(guān)系波形圖、相量圖如圖所示表達(dá)式圖3-17電感元件電壓、電流的相位關(guān)系（3）相量關(guān)系，

相量關(guān)系式（4）相量模型用相量模型表示的單一電感參數(shù)電路如圖3-16（b）所示。

表示了電感元件對交流電的阻礙作用的強(qiáng)弱，稱為感抗，單位也是歐姆。2．功率①瞬時功率電感所儲存的磁場能量的最大值為②平均功率（有功功率）③無功功率（瞬時功率的最大值）無功功率的單位為乏爾（var），反映了電感元件與電源之間能量交換的規(guī)模。例3-10某線圈的電感量為0.1H，電阻可忽略不計，接在的交流電源上。試求：（1）電路中電流的有效值及無功功率；（2）電流相量并寫出其瞬時值表達(dá)式，畫出電流、電壓的相量圖；（3）若電源頻率變?yōu)樵瓉淼膬杀?，電壓有效值不變，電路中的電流的有效值及無功功率又如何？解：（1），

（2）相量圖如圖3-19所示。（3）當(dāng)電源頻率增加1倍時，電路感抗增大1倍，即，

3.3.3電容元件的正弦交流電路線性電容元件的交流電路模型及電壓、電流的正方向如圖3-20（a）所示。１．電容元件電壓與電流的關(guān)系電容元件的伏安關(guān)系為（1）數(shù)量關(guān)系是電壓與電流有效值（或最大值）的比值，稱為電容的容抗，具有阻止電流通過的性質(zhì)，它相當(dāng)于電阻元件電路中的電阻，其單位也是歐姆。（2）相位關(guān)系波形圖相量圖如圖所示圖3-21電容元件電壓、電流的相位關(guān)系（3）相量關(guān)系相量關(guān)系式（4）相量模型用相量模型表示的單一電容參數(shù)電路如圖3-20（b）所示。

表示了電容元件對交流電的阻礙作用的大小，稱為容抗，單位也是歐姆。復(fù)阻抗2．功率（1）瞬時功率電容元件瞬時功率的波形圖電容所儲存的電場能量的最大值為（2）平均功率（有功功率）（3）無功功率無功功率的單位為乏爾（var），反映了電容元件與電源之間能量交換的規(guī)模。例3-11把一個的電容器接在的電源上。試求：（1）電流相量，并寫出其瞬時值表達(dá)式；（2）無功功率；（3）畫出電壓和電流的相量圖。解：（1）電流相量為：（2）（3）相量圖如圖3-23所示。3.4RLC串聯(lián)電路3.4.1RLC串聯(lián)電路的相量分析用相量分析法求解正弦交流電路的步驟如下：（1）由電路模型畫出正弦交流電路的相量模型，即把原交流電路中的電壓和電流用相量表示，原電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗表示；（2）按照KCL、KVL列出相量方程式進(jìn)行相量計算，得出待求量的相量形式；（3）再將相量轉(zhuǎn)換為待求量的瞬時值表達(dá)式。電阻R、電感L、電容C串聯(lián)的正弦交流電路簡稱RLC串聯(lián)電路，電路模型如圖3-24（a）所示。1．RLC串聯(lián)交流電路的相量模型，，

RLC串聯(lián)電路基爾霍夫電壓定律的相量形式Z稱為電路的復(fù)阻抗，簡稱阻抗，其單位是歐姆。實部R稱為電阻，虛部系數(shù)稱為電抗。電抗X是感抗與容抗之差。2．RLC串聯(lián)電路中電流與總電壓的相量關(guān)系3．RLC串聯(lián)電路的復(fù)阻抗（1）RLC串聯(lián)電路中復(fù)阻抗Z的兩種表示形式復(fù)阻抗的模，表示了總電壓與電流的數(shù)量關(guān)系（有效值關(guān)系）。復(fù)阻抗的輻角，表示了總電壓與電流的相位關(guān)系（電壓超前電流的角度）（2）RLC串聯(lián)電路中復(fù)阻抗兩種表示形式的相互轉(zhuǎn)換阻抗三角形①

已知復(fù)阻抗的極坐標(biāo)形式，可求出其代數(shù)形式：②

已知復(fù)阻抗的代數(shù)形式，可求出其極坐標(biāo)形式4．RLC串聯(lián)電路的相量圖總電壓與各分電壓的數(shù)量關(guān)系為總電壓與總電流的數(shù)量關(guān)系為總電壓與總電流的相位關(guān)系(電壓超前電流的角度)3.4.2RLC串聯(lián)電路的功率（1）瞬時功率p（2）平均功率（有功功率）（3）無功功率（2）平均功率（有功功率）（4）視在功率視在功率表示用電設(shè)備的總?cè)萘浚瑔挝粸榉玻╒·A）。3.4.3阻抗三角形、電壓三角形及功率三角形、、

3.4.4RLC串聯(lián)電路的性質(zhì)例3-12已知RLC串聯(lián)電路中，電源電壓若由電路參數(shù)L和C求出，

求：（1）電路中復(fù)阻抗Z的模及幅角；（2）電流的有效值I及其瞬時值表達(dá)式；（3）求電路中的功率P\Q\S，畫出電流及各電壓的相量圖。解：該正弦交流電路的電路模型及相量模型如圖3-24所示。（1）復(fù)阻抗（2）由已知條件可知總電壓與電流的相位差等于復(fù)阻抗的幅角：

（3）由阻抗三角形得出：（4），；

先以電流為參考相量畫出相量圖，如圖3-27（a）所示，再將圖3-27（a）按順時針旋轉(zhuǎn)可得到所需的相量圖，如圖3-27（b）所示。畫出相量圖3.4.5

串聯(lián)諧振由電阻、電感、電容元件組成的電路，在正弦電源作用下，當(dāng)電壓與電流同相時，電路呈電阻性，電路的這種工作狀態(tài)稱為諧振。發(fā)生在串聯(lián)電路中的諧振稱為串聯(lián)諧振，發(fā)生在并聯(lián)電路中的諧振稱為并聯(lián)諧振。1．串聯(lián)諧振RLC串聯(lián)電路的總阻抗為2．串聯(lián)諧振的條件電路中總電壓與電流同相，電路呈電阻性，即電路發(fā)生串聯(lián)諧振。諧振頻率為3．串聯(lián)諧振的主要特征（1）串聯(lián)諧振時阻抗最小，且為純阻性，即（2）串聯(lián)諧振時電路中的電流最大，且與外加電源電壓同相。當(dāng)電源電壓一定時，串聯(lián)諧振電流（3）諧振時電路的電抗為零，感抗和容抗的值相等。（4）串聯(lián)諧振時電感和電容上的電壓相等，相位相反，且大小為電源電壓U的Q倍，Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)。即電感和電容上的電壓遠(yuǎn)