東北大學(xué)材料力學(xué)5

第五章彎曲應(yīng)力§5–1引言§5–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力§5–3慣性矩的計(jì)算§5–4梁橫截面上的切應(yīng)力§5–5正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算§5–6開口薄壁截面的彎曲中心第五章彎曲應(yīng)力§5–1引言第五章彎曲應(yīng)力1、彎曲構(gòu)件橫截面上的內(nèi)力內(nèi)力剪力Q應(yīng)力？彎矩M應(yīng)力？§5–1引言§5–1引言2、研究方法縱向?qū)ΨQ面P1P2例如：平面彎曲：§5–1引言平面彎曲時(shí)橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時(shí)橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)§5–1引言某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。aaABQMxx純彎曲(PureBending):§5–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力第五章彎曲應(yīng)力§5–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：一、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸bdacabcdMM§5–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力橫截面上只有正應(yīng)力。

平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。

（可由對(duì)稱性及無限分割法證明）3.推論2.兩個(gè)概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。§5–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力A1B1O1O4.幾何方程：

abcdABdqrxy)))OO1)§5–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力狀態(tài)。sxsx（三）靜力學(xué)關(guān)系：EIz桿的抗彎剛度?！?–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力（對(duì)稱面）……(3)其中：……(5)§5–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力（四）最大正應(yīng)力：其中：§5–3慣性矩的計(jì)算第五章彎曲應(yīng)力§5–3慣性矩的計(jì)算一簡單截面①矩形(b×h)yzhb§5–3慣性矩的計(jì)算②圓形yzyz§5–3慣性矩的計(jì)算二平行移軸公式cozyzyba§5–3慣性矩的計(jì)算三組合截面的慣性矩§5–3慣性矩的計(jì)算例：T形截面如圖所示，求其對(duì)中性軸的慣性矩解：(1)形心的位置：（中性軸）以z’軸為參考軸60602020zz’§5–3慣性矩的計(jì)算(2)求各組成部分對(duì)z軸的慣性矩(3)求組合截面的慣性矩60602020zz’§5–3慣性矩的計(jì)算解：①查表20a號(hào)工字鋼16號(hào)槽鋼②形心：10101.75z例：圖示20a號(hào)工字鋼和16號(hào)槽鋼組成的截面，求其對(duì)中性軸的慣性矩§5–3慣性矩的計(jì)算③慣性矩：20a號(hào)工字鋼16號(hào)槽鋼10101.75z§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度條件第五章彎曲應(yīng)力§5–3平面彎曲時(shí)梁橫截面上的切應(yīng)力一、矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè)：

剪應(yīng)力與剪力平行；

矩中性軸等距離處，剪應(yīng)力

相等。2、研究方法：分離體平衡。

在梁上取微段如圖b；

微段上取一塊如圖c，平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c§5–3平面彎曲時(shí)梁橫截面上的切應(yīng)力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由剪應(yīng)力互等§5–3平面彎曲時(shí)梁橫截面上的切應(yīng)力Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計(jì)算公式亦為：其中Q為截面剪力；Sz為y點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸之靜矩；結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應(yīng)力§5–3平面彎曲時(shí)梁橫截面上的切應(yīng)力2、幾種常見截面的最大彎曲剪應(yīng)力

Iz為整個(gè)截面對(duì)z軸之慣性矩；b

為y點(diǎn)處截面寬度。①工字鋼截面：;?maxAQtfAf—腹板的面積。;?maxAQtf§5–3平面彎曲時(shí)梁橫截面上的切應(yīng)力

②圓截面：③薄壁圓環(huán)：④槽鋼：exyzPQeQeh§5–3平面彎曲時(shí)梁橫截面上的切應(yīng)力①工字鋼截面：Af—腹板的面積。;?maxAQtf②矩形截面：③圓截面：④薄壁圓環(huán)：§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算第五章彎曲應(yīng)力§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。QtsssMt一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個(gè)可能危險(xiǎn)的點(diǎn)，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。3、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行

三種強(qiáng)度計(jì)算：sMQtts§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核剪應(yīng)力。梁的跨度較短，M較小，而Q較大時(shí)，要校核剪應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。?校核強(qiáng)度：?設(shè)計(jì)截面尺寸：?設(shè)計(jì)載荷：3、強(qiáng)度計(jì)算：最大正應(yīng)力：……(5)dbh§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算DdDd=abBhH§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算例1受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1——1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩30§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求應(yīng)力18030§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比q=3.6kN/mxM+Q–+x§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算y1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力例3T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，試校核此梁的強(qiáng)度。并說明T字梁怎樣放置更合理？畫危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算校核強(qiáng)度T字頭在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高寬比R北宋李誡于1100年著?營造法式?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比(h/b=1.5)英(T.Young)于1807年著?自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為bh§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面其它材料與其它截面形狀梁的合理截面zDzaa§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算zD0.8Da12a1z§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算工字形截面與框形截面類似。0.8a2a21.6a22a2z§5–4正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算sGz對(duì)于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險(xiǎn)截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀§5–5開口薄壁截面的彎曲中心第五章彎曲應(yīng)力§5–5開口薄壁截面的彎曲中心槽鋼：非對(duì)稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面內(nèi)，中性軸為形心主軸，,若是橫向力，還必須過彎曲中心。exyzPPsMQe§5–5開口薄壁截面的彎曲中心彎曲中心的確定:(1)雙對(duì)稱軸截面，彎心與形心重合。(