版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
第五章留數(shù)§2留數(shù)的一般理論一、定義定義如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域D內(nèi)解析,那么根據(jù)柯西積分定理
但是,如果z0為f(z)的一個孤立奇點,則沿在z0的某個去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分一般就不等于零.因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1
+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R兩端沿C逐項積分:稱C-1為f(z)在z0的留數(shù),記作Res[f(z),z0],即
如果z0是f(z)的可去奇點,則Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇點,則只好將其按洛朗級數(shù)展開.如果z0是極點,則有一些對求c-1有用的規(guī)則.
求函數(shù)在孤立奇點z0處的留數(shù)即求它在洛朗級數(shù)中
(z-z0)-1項的系數(shù)c-1即可.但如果知道奇點的類型,對求留數(shù)可能更有利.證明由于z0是f(z)的1階極點,所以在z0的某個去心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)展開式為故所以二.留數(shù)的計算規(guī)則
規(guī)則1
如果z0為f(z)的一階極點,則規(guī)則2
如果z0為f(z)的m階極點,則事實上,由于
f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,
(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令兩端zz0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得規(guī)則2,當m=1時就是規(guī)則1。例求和在孤立奇點處的留數(shù).
z=0是g(z)的1階極點,于是易知z=1和z=2都是f(z)的1階極點,故例求在孤立奇點處的留數(shù).處解析,且所以是f(z)的1階極點,并且顯然和都在例求在z=0處的留數(shù).可知,z=0是f(z)的3階極點,定理一(留數(shù)定理)
設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC三、留數(shù)定理[證]把在C內(nèi)的孤立奇點zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據(jù)復合閉路定理有注意定理中的條件要滿足。例如不能應用留數(shù)定理。由規(guī)則1,得我們也可以用規(guī)則3來求留數(shù):這比用規(guī)則1要簡單些.例4
解:所以原式=定義
設函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<(R≥0)內(nèi)解析,即無窮遠點為f(z)的孤立奇點。C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條簡單閉曲線,則積分四、在無窮遠點的留數(shù)理解為C的負方向。的值與C無關,稱其為f(z)在點的留數(shù),記作f(z)在圓環(huán)域R<|z|<內(nèi)解析,則洛朗展開式為:
這就是說,f(z)在點的留數(shù)等于它在點的去心鄰域R<|z|<+內(nèi)洛朗展開式中z-1的系數(shù)相反數(shù).定理二
如果f(z)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點,那么f(z)在所有各奇點(包括點)的留數(shù)總和必等于零.證:除點外,設f(z)的有限個奇點為zk(k=1,2,...,n).且C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,...,n
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 新解讀《GBT 51223-2017公共建筑標識系統(tǒng)技術規(guī)范 》
- 清朝前中期的鼎盛與危機教學課件-2024-2025學年高一統(tǒng)編版2019必修中外歷史綱要上冊
- 新解讀《CJJT 110-2017建筑與小區(qū)管道直飲水系統(tǒng)技術規(guī)程 》
- 廣東省湛江市2023-2024學年高一下學期期末調(diào)研考試語文試卷(解析版)
- 禮運 高二語文
- 2024晶體硅光伏組件技術規(guī)范
- 人力資源政策對殘障人士就業(yè)影響的研究
- 股權結構對公司環(huán)境責任行為的提升作用研究分析
- 江蘇省南通市崇川區(qū)啟秀中學2024屆中考數(shù)學考試模擬沖刺卷含解析
- unit6(進階作業(yè))2024-2025學年五年級上冊 英語 人教版
- 2024至2030年中國冷卻塔行業(yè)深度調(diào)研及投資戰(zhàn)略分析報告
- 2023年秋學期部編版2023-2024學年度第一學期小學語文六年級上冊教學計劃附教學進度表
- 景區(qū)演出合作協(xié)議書范本
- 專題05《狼》-2024-2025學年七年級語文上冊文言文閱讀專項訓練(人教版部編版統(tǒng)編版)
- 5G優(yōu)化案例:5G-NR-CSI報告配置協(xié)議解析和實際應用
- 建筑工程中標通知書
- 2024年秋季人教版七年級上冊歷史全冊教學課件新教材
- 2024-2030年中國檳榔行業(yè)市場發(fā)展趨勢與前景展望戰(zhàn)略分析報告
- 人教版數(shù)學四年級上冊第二單元 公頃和平方千米說課稿
- 2024年公司收購合同模板(二篇)
- 2024年【汽車駕駛員(技師)】證模擬考試及答案
評論
0/150
提交評論