(完整版)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》講義

第一章隨機(jī)事件和概率第一節(jié)基本概念1、排列組合初步（1）排列組合公式從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。例1．1：方程A．4的解是B．3C．2D．1例1．2：有5個(gè)隊(duì)伍參加了甲A聯(lián)賽，兩兩之間進(jìn)行循環(huán)賽兩場(chǎng)，試問總共的場(chǎng)次是多少？(2)加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。(3)乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m×n種方法來完成。例1．3：從5位男同學(xué)和4位女同學(xué)中選出4位參加一個(gè)座談會(huì)，要求與會(huì)成員中既有男同學(xué)又有女同學(xué)，有幾種不同的選法？例1．4：6張同排連號(hào)的電影票，分給3名男生和3名女生，如欲男女相間而坐，則不同的分法數(shù)為多少？例1．5：用五種不同的顏色涂在右圖中四個(gè)區(qū)域里，每一區(qū)域涂上一種顏色，且相鄰區(qū)域的顏色必須不同，則共有不同的涂法A．120種B．140種C．160種D．180種(4)一些常見排列①特殊排列②相鄰③彼此隔開④順序一定和不可分辨例1．6：晚會(huì)上有5個(gè)不同的唱歌節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，問：分別按以下要求各可排出幾種不同的節(jié)目單？①3個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起；②3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此隔開；③3個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定。例1．7：4幅大小不同的畫，要求兩幅最大的排在一起，問有多少種排法？例1．8：5輛車排成1排，1輛黃色，1輛藍(lán)色，3輛紅色，且3輛紅車不可分辨，問有多少種排法？1重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6個(gè)信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？2對(duì)立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有幾種不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3個(gè)不能都取，有多少種取法？例1．12：有4對(duì)人，組成一個(gè)3人小組，不能從任意一對(duì)中取2個(gè)，問有多少種可能性？3順序問題例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的種數(shù)？（有序）例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的種數(shù)？（有序）例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的種數(shù)？（無序）2、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件及其運(yùn)算（1）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。例如：擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面及出現(xiàn)反面；擲一顆骰子，出現(xiàn)“1”點(diǎn)、“5”點(diǎn)和出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)都是隨機(jī)事件；電話接線員在上午9時(shí)到10時(shí)接到的電話呼喚次數(shù)（泊松分布）；對(duì)某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離為0.1米、0.5米及1米到3米之間都是隨機(jī)事件（正態(tài)分布）。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：（1）每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；（2）任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示，例如全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。（離散）。基本事件的一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。如果某個(gè)有是事件A的組成部分，即這個(gè)在事件A中出現(xiàn)，記為，則稱在這次試驗(yàn)中事件A發(fā)生。。如果在一次試驗(yàn)中所出現(xiàn)的如果不是事件A的組成部分，就記為。在一次試驗(yàn)中，所出現(xiàn)的有，則稱此次試驗(yàn)A沒有發(fā)生。為必然事件，?為不可能事件。（2）事件的關(guān)系與運(yùn)算①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。，它表示A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，例1．16：一口袋中裝有五只乒乓球，其中三只是白色的，兩只是紅色的?，F(xiàn)從袋中取球兩次，每次一只，取出后不再放回。寫出該試驗(yàn)的樣本空間。若表示取到的兩只球是白色的事件，表示取到的兩只球是紅色的事件，試用、表示下列事件：（1）兩只球是顏色相同的事件，（2）兩只球是顏色不同的事件，（3）兩只球中至少有一只白球的事件。例1．17：硬幣有正反兩面，連續(xù)拋三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：（1）前兩次正面朝上，第三次正面朝下的事件，（2）至少有一次正面朝上的事件，（3）前兩次正面朝上的事件。3、概率的定義和性質(zhì)（1）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（2）古典概型（等可能概型）1°，2°。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)==例1．18：集合A中有100個(gè)數(shù)，B中有50個(gè)數(shù)，并且滿足A中元素與B中元素