第4章離散時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與濾波器設(shè)計(jì)3fir

1、寫出帕塞瓦爾定理2、給出hd(n)3、求W(ejw)124.4

FIR濾波器設(shè)計(jì)方法FIR濾波器存在的必要性日常生活中，像圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸?shù)榷家笮诺谰哂芯€性相位特性IIR數(shù)字濾波器存在明顯的缺點(diǎn)：相位的非線性。若要線性相位，則需采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，大大增加系統(tǒng)的復(fù)雜度。最感興趣的是具有線性相位的FIR。對相位不作特殊要求，可以用IIR實(shí)現(xiàn)3優(yōu)點(diǎn)：具有嚴(yán)格線性相位，同時(shí)有任意的幅度特性。單位沖激響應(yīng)有限長，濾波器一定是穩(wěn)定的?？偰苡靡蚬到y(tǒng)來實(shí)現(xiàn)。可以用FFT算法來實(shí)現(xiàn)，提高運(yùn)算效率。缺點(diǎn)：取得很好的幅度衰減特性，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)的階次比IIR濾波器高。

IIR濾波器設(shè)計(jì)法對FIR設(shè)計(jì)不適用因?yàn)镮IR濾波器是利用有理分式的系統(tǒng)函數(shù)，而FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只是多項(xiàng)式FIR濾波器特點(diǎn)4一、FIR濾波器最優(yōu)化準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIR濾波器主要有兩種最優(yōu)化準(zhǔn)則均方誤差最小準(zhǔn)則最大誤差最小化準(zhǔn)則此處我們主要介紹均方誤差最小準(zhǔn)則下的濾波器設(shè)計(jì)。5均方誤差最小準(zhǔn)則誤差能量最小若用，表示要求的頻率響應(yīng)，用表示設(shè)計(jì)得到的濾波器頻率響應(yīng)，以表示頻率響應(yīng)誤差，即則均方誤差為：設(shè)計(jì)目的選擇一組，便均方誤差最小。6由于：用FIR濾波器來逼近，故長度是有限長的，可得：7按照帕塞瓦公式有：要使e2最小，就必須使第一項(xiàng)求和式最小，即希望有：即：8結(jié)論:最小均方誤差準(zhǔn)則所要求的設(shè)計(jì)結(jié)果為矩形窗設(shè)計(jì)法。矩形窗設(shè)計(jì)的濾波器過渡帶最窄由于吉布斯（Gibbs）效應(yīng)，窗譜的肩峰過大，造成所設(shè)計(jì)出的濾波器:通帶起伏不均勻且過大，阻帶衰減不夠小，不能滿足某些工程要求。9設(shè)計(jì)有限長單位沖激響應(yīng)h(n)的濾波器來逼近理想濾波器頻率響應(yīng)。指標(biāo)是在頻域提出的設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的二、

窗函數(shù)設(shè)計(jì)法10我們以一個(gè)截止頻率為的線性相位的理想低通濾波器為例來加以討論。設(shè)濾波器的群延時(shí)為,即：11hd(n)是中心點(diǎn)在α的偶對稱無限長非因果序列，要得到有限長的h(n)，一種最簡單的辦法就是取矩形窗RN(n)，即：若有線性相位的約束，窗函數(shù)的選擇必須保證所截取h(n)是對稱的。12為分析方便，選取，所以有：13窗函數(shù)的頻率特性為：對矩形窗，則有：可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù)：加窗對濾波器頻率響應(yīng)的影響14

在之內(nèi)為一個(gè)主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣15Hd(n)及W(n)的頻譜特性16如果將理想頻率響應(yīng)也寫成：其中：因此，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應(yīng)為：顯然，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應(yīng)也是線性相位的。

矩形窗所設(shè)計(jì)濾波器的頻率特性17FIR數(shù)字濾波器的幅度函數(shù)18總結(jié):(1)理想幅度特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個(gè)過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻率響應(yīng)的主瓣寬度此處過渡帶是指兩個(gè)肩峰之間的寬度，與濾波器的真正過渡帶有一些區(qū)別濾波器的過渡帶比這個(gè)數(shù)值要小(2)在截止頻率的兩邊的地方出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對面積19主瓣帶寬和過渡帶寬的關(guān)系20（3）增加截取長度N，則在主瓣附近的窗的頻率響應(yīng)為改變N只能：改變幅度絕對值大小改變窗譜的主瓣寬度、濾波器過度帶寬不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，最大肩峰則總是8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。21矩形窗截?cái)嘣斐杉绶鍨?.95%，則阻帶最小衰減為這個(gè)衰減量在工程上常常是不夠的。為了加大阻帶衰減，需要改善窗函數(shù)。（二）、各種常用窗函數(shù)22通常希望窗函數(shù)滿足兩項(xiàng)要求:窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶;盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對面積，使肩峰和波紋減小，增大阻帶的衰減。在濾波器階數(shù)給定的情況下，這兩項(xiàng)要求往往不能同時(shí)得到滿足的通常采用增加主瓣寬度（犧牲過渡帶寬）以換取對旁瓣的抑制，為了得到平坦的通帶幅度響應(yīng)和較小的阻帶波紋。23窗改進(jìn)的出發(fā)點(diǎn)若窗函數(shù)在邊沿處(n=0和n=N-l附近)比矩形窗變化要平滑而緩慢：窗邊沿不再陡峭，則高頻分量減小，阻帶衰減增大。但窗譜的主瓣寬度卻比矩形窗的要寬，造成濾波器幅度函數(shù)過渡帶的加寬。241、矩形窗2、三角形（Bartlett）窗

“

”在時(shí)成立；此時(shí)主瓣寬度為,阻帶最小衰減為25db。常用的窗函數(shù)25

3、漢寧（Hanning）窗（升余弦窗）2627當(dāng)時(shí)，，窗譜的幅度函數(shù)為：主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為，但是阻帶最小衰減變?yōu)?4db。28對升余弦改進(jìn)，可得到旁瓣更小的效果：

99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，主瓣寬度相同為，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%，此時(shí)阻帶最小衰減為53db

。4、海明（Hamming）窗（改進(jìn)的升余弦窗）29為抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，主瓣寬度為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，即為，此時(shí)，阻帶最小衰減為74db

。5、布拉克曼窗（Blackman）30一種適應(yīng)性強(qiáng)的窗，其窗函數(shù)的表示式為是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)，它可以同時(shí)調(diào)整主瓣寬度與旁瓣電平越大，則窗越尖銳，而頻譜的旁瓣相對越小，但主辯寬度也相應(yīng)增加。主瓣寬度同時(shí)也可以由窗口長度調(diào)節(jié)6、凱澤窗（Kaiser）31

過渡帶通帶紋波阻帶最小衰減/dB2.1203.3844.5385.6586.7647.8658.96010.0563.00/N4.46/N5.86/N7.24/N8.64/N10.0/N11.4/N12.8/N0.270.08680.02740.008680.002750.0008680.0002750.000087-30-40-50-60-70-80-90-100

凱澤窗性能一覽表32當(dāng)=0時(shí)，相當(dāng)于矩形窗。當(dāng)=5.44時(shí)，相當(dāng)于海明窗，但凱澤窗旁瓣頻譜收斂得更快。海明窗主瓣之外的能量為0.037%

，凱澤窗主瓣之外的能量為0.012%，能量更加集中在主瓣中。當(dāng)=8.5時(shí)，相當(dāng)于布拉克曼窗。凱澤窗函數(shù)是以n=（N-1）/2為對稱中心呈偶對稱的，即從n=（N-1）/2這一中點(diǎn)向兩邊變化時(shí)逐漸減小，最邊上兩點(diǎn)33

窗函數(shù)窗譜性能指標(biāo)加窗后濾波器性能指標(biāo)旁瓣峰值/Db主瓣寬度/過渡帶寬度/（阻帶最小衰減/dB矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗-13-25-31-41-57-572444650.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80

六種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較3435給定過渡帶寬，阻帶衰減，則可求得凱澤窗FIR濾波器的階數(shù)N（M=N-1)和形狀參數(shù)

，即最小阻帶衰減只由窗形狀決定，不受N的影響而過渡帶的寬度則隨窗寬N的增加而減小。凱澤窗經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)法36（1）首先是給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)；（2）其次，求（3）再次，由過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，選定窗的形狀及N的大小，一般N要通過幾次試探而最后確定；（4）求得所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)（5）求，檢驗(yàn)是否滿足設(shè)計(jì)要求，否則需重新設(shè)計(jì)。（三）、窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟37窗函數(shù)設(shè)計(jì)舉例低通濾波器所要求設(shè)計(jì)的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：38關(guān)鍵參數(shù)確定由于窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的通帶波紋與阻帶波紋相同，因此為達(dá)到預(yù)期指標(biāo)，需要以阻帶波紋指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)。由于窗函數(shù)設(shè)計(jì)法在幅度間斷點(diǎn)處逼近的對稱性，因此所對應(yīng)的理想低通濾波器的截止頻率為：39由凱澤窗的設(shè)計(jì)公式可以得到：因此，濾波器的單位沖激響應(yīng)為：40第II類線性相位系統(tǒng)41具有廣義線性相位的理想高通濾波器的頻率響應(yīng)為：其單位沖激響應(yīng)為：高通濾波器42所要求設(shè)計(jì)的高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：根據(jù)凱澤窗設(shè)計(jì)公式可得到：由窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的對稱性可得：43第I類線性相位高通濾波器