兩角和與差的正弦余弦和正切公式教案（Word）2

《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第二課時）》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)1．經(jīng)歷借助公式推導(dǎo)，，公式的過程，進(jìn)一步體會公式的意義，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．2．掌握，，等公式，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷從公式出發(fā)推導(dǎo)其它和角、差角公式的過程，進(jìn)一步體會的意義．教學(xué)難點(diǎn)：和角與差角的正弦公式的推導(dǎo)；逆用公式進(jìn)行恒等變換．課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程（一）整體感知引導(dǎo)語：前一節(jié)課我們根據(jù)三角函數(shù)的定義及圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，借助兩點(diǎn)間距離的坐標(biāo)公式推導(dǎo)出了公式，今天我們將繼續(xù)探究如何用任意角的三角函數(shù)表示．（二）新知探究問題1：你能依據(jù)與之間的聯(lián)系，利用公式，推導(dǎo)出兩角和的余弦公式嗎？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生講解其證明思路及具體證明過程，教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥．預(yù)設(shè)答案：(簡記為)．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生對解決目標(biāo)與已學(xué)公式對比分析，尋找差異，獲得新知．問題2：我們已經(jīng)得到了兩角和與差的余弦公式，那么怎樣利用已推出公式得到正弦公式呢？以前學(xué)過的哪個公式可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的轉(zhuǎn)化呢？請你試一試．預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生思考之后按自己的想法完成證明．教師巡視，對遇到困難的學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，收集學(xué)生們的不同證法，并找相應(yīng)的學(xué)生展示其證法．預(yù)設(shè)答案：誘導(dǎo)公式五、六可以實(shí)現(xiàn)正弦與余弦的轉(zhuǎn)化；證明如下：(簡記為)．然后用替換上式中的可得(簡記為)．以上只是其中一種證法．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)目前的公式與新目標(biāo)之間的差異，制定方案，完成新公式的推導(dǎo)．問題3：你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角的正切表示的公式嗎？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生思考之后按自己的想法完成證明并展示．預(yù)設(shè)答案：證明順序有兩種，即先證和角正切公式，或先證差角正切公式；先證的公式直接由相應(yīng)角的正弦與余弦相除即可，后證的公式除相除之外，還可以借助先證出的公式證明．如先證和角正切：，(簡記作)．隨后將替換為，即可得到，(簡記作)．公式，，給出了任意角α，β的三角函數(shù)值與其和角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．為方便起見，我們把這三個公式都叫做和角公式．類似地，，，都叫做差角公式．設(shè)計意圖：通過已推導(dǎo)出的公式獲得更多的公式，在此過程中，學(xué)會用聯(lián)系的思維方式，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)．例1已知sinα=-35，α是第四象限角，求sinπ4-α追問1：題目中給出了幾個條件？你能否由這些條件出發(fā)得到新的條件？為了得到題目要求出的三個數(shù)值，我們需要借助什么工具？需要哪些數(shù)據(jù)？這些數(shù)據(jù)是否已經(jīng)出現(xiàn)在已知條件中或可由已知條件推出？預(yù)設(shè)答案：兩個條件，即角的正弦值與角終邊所在的象限．可以根據(jù)這些條件算出的余弦值與正切值．為了求出所求數(shù)據(jù)，需借助和角公式與差角公式．需要的數(shù)據(jù)是的正弦、余弦、正切值，以及的正弦、余弦正切值．這些數(shù)據(jù)均可從條件中輕易推出．解：由sinα=-35，α是第四象限角，得cosα=1-sin2α所以tanα=sinαcosα=-于是有sinπ4-α=sinπ4cosα-cosπ4sinα=22×cosπ4+α=cosπ4cosα－sinπ4sinα=22×tanα-π4=tanα-tan設(shè)計意圖：本題目條件簡單，問題明確，可加強(qiáng)學(xué)生對新學(xué)公式的認(rèn)知程度．另外，本題目有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的良好思維習(xí)慣，即先認(rèn)真分析條件，適度拓展條件，在明確任務(wù)，了解前進(jìn)的方向，聯(lián)想解決問題需要的工具(公式、定理等)、數(shù)據(jù)，再將這些所需的條件與已知條件及拓展條件相聯(lián)系，逐步拉近已知條件與待求結(jié)論的距離．追問2：如果去掉“是第四象限角”這個條件，則答案如何？預(yù)設(shè)答案：正確答案是，當(dāng)是第三象限角時，所求的三個三角函數(shù)值依次是；當(dāng)是第四象限角時，所求的三個三角函數(shù)值依次是．但有些學(xué)生可能會錯誤表達(dá)為sinπ4-α的值為或，cosπ4+α的值為或，tanα-π4的值為或．這種錯誤的表述方式增加了搭配的可能性，解答的準(zhǔn)確性大幅下降，教師若發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在這樣的表達(dá)方式，應(yīng)及時指出．設(shè)計意圖：對題目作簡單的變式，一方面可以讓學(xué)生鞏固相關(guān)公式，對學(xué)生滲透分類與整合的數(shù)學(xué)思想，另一方面為培養(yǎng)學(xué)生表述問題的準(zhǔn)確性提供了機(jī)會，同時也對追問3做了鋪墊．追問3：觀察追問2兩種情況下的答案，你有什么發(fā)現(xiàn)？在本題條件下有sinπ4-α=cosπ預(yù)設(shè)答案：等式對任意角都成立．證明方法有多種，如等號左右兩側(cè)分別用展開后比較；將或者換元，然后借助誘導(dǎo)公式即可證明．設(shè)計意圖：通過延伸，培養(yǎng)學(xué)生“觀察現(xiàn)象——提出問題——解決問題”的科學(xué)思維品質(zhì)，鼓勵學(xué)生多觀察，多思考，多提問．激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，一題多解．例2利用和(差)角公式計算下列各式的值：（1）sin72°cos42°－cos72°sin42°；（2）cos20°cos70°－sin20°sin70°；（3）sin66°sin54°－sin36°sin24°；（4）1+tan15°1-tan15°追問：以上4個問題有什么結(jié)構(gòu)特征？你是否在某些公式中見到過這樣的結(jié)構(gòu)特征？預(yù)設(shè)答案：前3個問題都含有四個三角函數(shù)值，其中兩個的乘積與另外兩個的乘積作差，在正弦、余弦的和角與差角公式的等號右側(cè)有過類似的結(jié)構(gòu)特征；第4個問題僅含正切值，為分式形式，且分母中有常數(shù)1，與和角正切公式結(jié)構(gòu)相似．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目的結(jié)構(gòu)特征，并聯(lián)想相關(guān)公式，為解決問題提供了方向與線索．解：（1）由公式S(α-β)， sin72°cos42°－cos72°sin42°=sin(72°－42°)=sin30°=12（2）由公式C(α+β)，得cos20°cos70°－sin20°sin70°=cos(20°+70°)=cos90°=0；（3）(方法一)sin66°sin54°－sin36°sin24°=cos24°cos36°－sin36°sin24°，由公式C(α+β)，原式=cos(36°+24°)=cos60°=1(方法二)sin66°sin54°－sin36°sin24°=sin66°cos36°－cos66°sin36°，由公式S(α-β)，原式=sin(66°-36°)=sin30°=1（4）由公式T(α+β)及tan45°=1，得1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan(45°+15°)=tan60°=設(shè)計意圖：本題目主要考察公式的逆用，即從公式的右側(cè)出發(fā)，變形到左側(cè)的恒等變換方式．適度訓(xùn)練之后，學(xué)生對公式會有更全面，更深刻的理解．本題目中的（1）（2）是簡單的公式反用，（3）的靈活度更上了一個臺階，學(xué)生需要借助誘導(dǎo)公式，變更函數(shù)名稱，以湊成公式右側(cè)的形式，再加以解決，解答（4）時，需要以退為進(jìn)，逆向化歸，將代換成，這個變形技巧在例3中出現(xiàn)過，已經(jīng)作過了鋪墊．（三）歸納小結(jié)問題4：這兩節(jié)課的內(nèi)容中出現(xiàn)了很多性質(zhì)和公式，它們之間具有怎樣的推出關(guān)系？你能畫一個結(jié)構(gòu)圖來反映這種關(guān)系嗎？你在使用這些公式解決問題時有哪些心得體會？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生進(jìn)行歸納、思考并回答．預(yù)設(shè)答案：公式中的均為任意角，故可以代換成任意值，包括零、特殊角、甚至可以是兩個任意角的和或差；公式均需要四個值齊備時方可使用，缺一不可，必要時需要從公式的右側(cè)變形化簡成左側(cè)的形式；公式中，若之中有一個是，則公式的結(jié)構(gòu)會更簡潔．設(shè)計意圖：回顧反思，在頭腦中形成思維網(wǎng)絡(luò)．（四）作業(yè)布置教科書習(xí)題第4，5，6，13題．（五）目標(biāo)檢測設(shè)計1．（1）已知cosθ=-35，θ∈π2（2）已知sinθ=-1213，θ是第三象限角，求cos（3）已知tanα=3，求tanα+2．求下列各式的值：（1）sin72°cos18°+cos72°sin18°；（2）cos72°cos12°+sin72°sin12°；（3）tan12°+tan33°1-tan12°tan33°（5）sin34°sin26°-cos34°cos26°；（6）sin20°cos110°+cos160