向量的概念【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修同步教案（學(xué)生版教師版）

編號(hào)：001課題:§向量的概念目標(biāo)要求1、理解并掌握向量的概念．2、理解并掌握零向量與單位向量．3、理解并掌握相等向量與共線向量．4、理解并掌握向量的應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識(shí)在高中階段的作用．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：相等向量與共線向量；難點(diǎn)：向量的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.向量與數(shù)量的概念(1)既有大小又有_________的量叫作向量.(2)只有大小沒有_________的量叫作數(shù)量.2.有向線段(1)定義:具有___________的線段叫作有向線段.(2)表示方法:以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作.(3)長(zhǎng)度:線段AB的長(zhǎng)度也叫作有向線段的長(zhǎng)度,記作_____________.(4)三個(gè)要素:_____________、方向、長(zhǎng)度.【思考】向量與有向線段的聯(lián)系和區(qū)別是什么?3.向量的表示方法(1)用有向線段表示:用有向線段表示的向量記作_________.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的__________,有向線段的方向表示向量的_____________.(2)字母表示法:在印刷時(shí),用黑體小寫字母a,b,c,…表示向量,手寫時(shí),可寫成帶箭頭的小寫字母，….4.向量的模及兩個(gè)特殊向量(1)向量的模:向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度(或稱模),記作.(2)零向量:長(zhǎng)度為__________的向量叫作零向量,記作__________.(3)單位向量:長(zhǎng)度等于_________個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫作單位向量.【思考】0與相同嗎?0是不是沒有方向?5.相等向量(1)定義:長(zhǎng)度___________且方向_____________的向量叫作相等向量.(2)表示方法:向量與相等,記作_______________.6.平行向量(或共線向量)(1)定義和表示方法定義方向__________或__________的非零向量叫作平行向量.規(guī)定:__________與任一向量平行.任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫作__________向量.表示方法向量與平行,記作_______________對(duì)于任意向量,都有.(2)本質(zhì):平行向量反映的是兩個(gè)向量的方向關(guān)系,表示兩個(gè)共線向量的有向線段所在直線可以平行,也可以重合.(3)應(yīng)用:①證明直線與直線平行;②證明三點(diǎn)共線.【思考】“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎?7.向量的夾角(1)定義:已知兩個(gè)__________向量,O是平面上的任意一點(diǎn),作,則_____________________叫作向量與的夾角(如圖所示).(2)三種特殊情況:與的夾角θ與的關(guān)系0與__________π與__________與_________,記作________【思考】(1)等邊△ABC中,向量所成的角是60°嗎?(2)向量夾角的范圍與異面直線所成的角的范圍相同嗎?8.相反向量定義與向量長(zhǎng)度__________,方向__________的向量,叫作的相反向量,記作___________規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量結(jié)論和互為相反向量,于是-(-)=________________如果互為相反向量,那么______【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題錯(cuò)誤的是()A.兩個(gè)向量不能比較大小. B.任意兩個(gè)單位向量都相等.C.向量與向量是相等向量.D.若,則A,B,C,D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).題2.已知向量a如圖所示,下列說法不正確的是 ()A.也可以用表示B.方向是由M指向NC.起點(diǎn)是MD.終點(diǎn)是M題3.如圖所示,四邊形ABCD和BCEF都是平行四邊形.(1)寫出與相等的向量:________;(2)寫出與共線的向量:________.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量的概念、零向量與單位向量(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】題4.下列說法中正確的是 ()與表示的含義相同B.長(zhǎng)度為0的向量都是零向量C.單位向量的模等于1cmD.單位向量的方向都相同題5.如圖,O為邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的中心.根據(jù)圖中標(biāo)出的向量,回答下列問題:(1)與的長(zhǎng)度相等嗎?它們是相等向量嗎?(2)與的長(zhǎng)度相等嗎?它們平行嗎?它們是相等向量嗎?題6.判斷下列各命題是否正確.(1)因?yàn)?所以;(2)因?yàn)?所以.【解題策略】1.判斷一個(gè)量是否為向量的兩個(gè)關(guān)鍵條件(1)有大小.(2)有方向.兩個(gè)條件缺一不可.2.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)單位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:兩個(gè)單位向量的模相等,但這兩個(gè)單位向量不一定相等.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題7.出下列說法:①零向量是沒有方向的;②零向量的長(zhǎng)度為0;③零向量的方向是任意的;④單位向量的模都相等.其中正確的是________(填序號(hào)).類型二相等向量與共線向量(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【題組訓(xùn)練】角度1概念辨析【典例】題8.（多選）有下列說法:其中,正確的說法是()A.,則一定不與共線;B.在?ABCD中,一定有;C.若,則;D.共線向量是在一條直線上的向量.【變式探究】題9.若,則.判斷此說法是否正確.角度2相等向量、平行向量【典例】題10.如圖所示,O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形.在圖中所示的向量中:(1)分別寫出與相等的向量;(2)寫出與共線的向量.【解題策略】1.相等向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量,再確定哪些是同向的.2.共線向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向或反向的向量.3.共線向量與相等向量的關(guān)系相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定是相等向量.若兩向量相等,則兩向量方向相同,模相等;若兩向量共線,則兩向量方向相同或相反.【題組訓(xùn)練】題11.給出以下5個(gè)條件:①;②;③與的方向相反;④或;⑤與都是單位向量.其中能使成立的是________.(填序號(hào))題12.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABDE是矩形.(1)找出與相等的向量.(2)找出與共線的向量.題13.如圖,以1×2方格紙中的格點(diǎn)(各線段的交點(diǎn))為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中:(1)寫出與相等的向量;(2)寫出與模相等的向量.類型三向量的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【典例】題14.一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向向北偏西40°行駛了200km到達(dá)C點(diǎn),又改變方向,向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量;(2)求.四步內(nèi)容理解題意條件:從A點(diǎn)出發(fā),向西行駛100km到達(dá)B點(diǎn),向北偏西40°行駛200km到達(dá)C點(diǎn),向東行駛100km到達(dá)D點(diǎn).結(jié)論:(1)作出向量;(2)求.思路探求(1)根據(jù)題意作出向量即可.(2)先證四邊形ABCD為平行四邊形,再求.書寫表達(dá)(1)向量,如圖所示.(2)由題意,易知與方向相反,故與共線.又,所以在四邊形ABCD中,.所以四邊形ABCD為平行四邊形.所以km.注意書寫的規(guī)范性:①注意向量加箭頭;②畫圖時(shí)注意向量的方向,也就是箭頭的方向.題后反思向量有大小和方向,但是起點(diǎn)、終點(diǎn)不是固定的,可以平行移動(dòng).1.準(zhǔn)確畫出向量的方法和注意事項(xiàng)(1)方法①確定向量的起點(diǎn).②根據(jù)運(yùn)動(dòng)方向確定向量的方向,并根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).(2)注意事項(xiàng)用有向線段來表示向量是向量的幾何表示,必須確定起點(diǎn)、長(zhǎng)度和終點(diǎn),三者缺一不可.2.向量的常見應(yīng)用(1)相等向量的應(yīng)用利用向量的相等,可以證明線段相等或直線平行,但在證明直線平行時(shí)需說明兩向量所在的直線無公共點(diǎn).(2)平行向量的應(yīng)用用平行向量可以證明直線平行和三點(diǎn)共線,證明直線平行時(shí)需說明兩向量所在的直線無公共點(diǎn).【跟蹤訓(xùn)練】題15.如圖所示,在四邊形ABCD中,,N,M分別是AD,BC上的點(diǎn),且.求證:.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題16.如圖所示的方格由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形并在一起組成,方格中有定點(diǎn)A,點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn),且,畫出所有可能的向量.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題17.如圖,在?ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),圖中與平行的向量的個(gè)數(shù)為 () 題18.下列說法中正確的是 ()A.若,則B.模為0的向量的方向是不確定的C.向量就是有向線段D.任意兩個(gè)單位向量的方向相同題19.如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AB和AC邊的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是 ()A.和共線 B.和共線C.和共線 D.和共線題20.給出下列幾種說法:①若A,B,C三點(diǎn)共線,則;②任一非零向量都可以平行移動(dòng);③長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量.其中說法正確的是________.(填序號(hào))題21.在如圖所示的坐標(biāo)紙(每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1)中,用直尺和圓規(guī)畫出下列向量.(1),點(diǎn)A在點(diǎn)O正西方向;(2),點(diǎn)B在點(diǎn)O北偏西45°方向;(3),點(diǎn)C在點(diǎn)O南偏東60°方向.

編號(hào)：001課題:§向量的概念目標(biāo)要求1、理解并掌握向量的概念．2、理解并掌握零向量與單位向量．3、理解并掌握相等向量與共線向量．4、理解并掌握向量的應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識(shí)在高中階段的作用．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：相等向量與共線向量；難點(diǎn)：向量的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.向量與數(shù)量的概念(1)既有大小又有__方向___的量叫作向量.(2)只有大小沒有__方向___的量叫作數(shù)量.2.有向線段(1)定義:具有__方向___的線段叫作有向線段.(2)表示方法:以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作.(3)長(zhǎng)度:線段AB的長(zhǎng)度也叫作有向線段的長(zhǎng)度,記作_____.(4)三個(gè)要素:__起點(diǎn)___、方向、長(zhǎng)度.【思考】向量與有向線段的聯(lián)系和區(qū)別是什么?提示:(1)有向線段是表示向量的一種圖形.(2)向量只有大小和方向兩個(gè)要素,與起點(diǎn)無關(guān),只要大小和方向相同,這兩個(gè)向量就是相同的向量.(3)有向線段有起點(diǎn)、長(zhǎng)度和方向三個(gè)要素,起點(diǎn)不同,盡管長(zhǎng)度和方向相同,也是不同的有向線段.3.向量的表示方法(1)用有向線段表示:用有向線段表示的向量記作___.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的__大小___,有向線段的方向表示向量的__方向___.(2)字母表示法:在印刷時(shí),用黑體小寫字母a,b,c,…表示向量,手寫時(shí),可寫成帶箭頭的小寫字母，….4.向量的模及兩個(gè)特殊向量(1)向量的模:向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度(或稱模),記作.(2)零向量:長(zhǎng)度為_零__的向量叫作零向量,記作__.(3)單位向量:長(zhǎng)度等于_1_個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫作單位向量.【思考】0與相同嗎?0是不是沒有方向?提示:0與不同,0是一個(gè)實(shí)數(shù),是一個(gè)向量,且||=0.有方向,其方向是任意的.5.相等向量(1)定義:長(zhǎng)度__相等___且方向___相同__的向量叫作相等向量.(2)表示方法:向量與相等,記作____.6.平行向量(或共線向量)(1)定義和表示方法定義方向__相同___或__相反___的非零向量叫作平行向量.規(guī)定:___零向量____與任一向量平行.任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫作__共線___向量.表示方法向量與平行,記作_____對(duì)于任意向量,都有.(2)本質(zhì):平行向量反映的是兩個(gè)向量的方向關(guān)系,表示兩個(gè)共線向量的有向線段所在直線可以平行,也可以重合.(3)應(yīng)用:①證明直線與直線平行;②證明三點(diǎn)共線.【思考】“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎?提示:向量平行與幾何中的直線平行不同,向量平行包括所在直線重合的情況,故也稱向量共線.7.向量的夾角(1)定義:已知兩個(gè)__非零___向量,O是平面上的任意一點(diǎn),作,則_______叫作向量與的夾角(如圖所示).(2)三種特殊情況:與的夾角θ與的關(guān)系0與__同向___π與__反向___與__垂直___,記作_____【思考】(1)等邊△ABC中,向量所成的角是60°嗎?提示:向量所成的角是120°.(2)向量夾角的范圍與異面直線所成的角的范圍相同嗎?提示:向量的夾角和直線的夾角范圍是不同的,它們分別是[0,π]和[0,].8.相反向量定義與向量長(zhǎng)度__相等___,方向__相反___的向量,叫作的相反向量,記作___規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量結(jié)論和互為相反向量,于是-(-)=____如果互為相反向量,那么__【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題錯(cuò)誤的是()A.兩個(gè)向量不能比較大小. B.任意兩個(gè)單位向量都相等.C.向量與向量是相等向量.D.若,則A,B,C,D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).【答案】選BCD提示:A√.向量既有大小，還有方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小.B×.任意兩個(gè)單位向量只是長(zhǎng)度相等,方向不一定相同,故不一定相等.C×.向量與向量方向相反,不是相等向量.D×.若,則A,B,C,D也可能落在同一條直線上.故選BCD.題2.已知向量a如圖所示,下列說法不正確的是 ()A.也可以用表示B.方向是由M指向NC.起點(diǎn)是MD.終點(diǎn)是M【解析】選D.根據(jù)向量的表示方法判斷即可.題3.如圖所示,四邊形ABCD和BCEF都是平行四邊形.(1)寫出與相等的向量:________;(2)寫出與共線的向量:________.答案:(1)(2)關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量的概念、零向量與單位向量(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】題4.下列說法中正確的是 ()與表示的含義相同B.長(zhǎng)度為0的向量都是零向量C.單位向量的模等于1cmD.單位向量的方向都相同【解析】選與表示的含義是不同的.0表示數(shù)量,但表示零向量,其中.因此A錯(cuò)誤;由零向量的定義知B正確;單位向量的模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度,而不是具體的1cm,因此C錯(cuò)誤;單位向量的方向要因具體情況而定,因此D錯(cuò)誤.題5.如圖,O為邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的中心.根據(jù)圖中標(biāo)出的向量,回答下列問題:(1)與的長(zhǎng)度相等嗎?它們是相等向量嗎?(2)與的長(zhǎng)度相等嗎?它們平行嗎?它們是相等向量嗎?【解析】(1)與的長(zhǎng)度相等,都是1,即,但與不是相等向量.(2),且,但與不是相等向量,因?yàn)榕c的方向相反.題6.判斷下列各命題是否正確.(1)因?yàn)?所以;(2)因?yàn)?所以.【解析】(1)不正確.表示以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn),方向從A指向B;表示以B為起點(diǎn),A為終點(diǎn),方向從B指向A;雖然,但與的方向不同.(2)不正確.向量是既有大小又有方向的量,而數(shù)量只有大小沒有方向,故.【解題策略】1.判斷一個(gè)量是否為向量的兩個(gè)關(guān)鍵條件(1)有大小.(2)有方向.兩個(gè)條件缺一不可.2.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)單位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:兩個(gè)單位向量的模相等,但這兩個(gè)單位向量不一定相等.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題7.出下列說法:①零向量是沒有方向的;②零向量的長(zhǎng)度為0;③零向量的方向是任意的;④單位向量的模都相等.其中正確的是________(填序號(hào)).【解析】由零向量的方向是任意的,知①錯(cuò)誤,③正確;由零向量的定義知②正確;由單位向量的模是1,知④正確.答案:②③④類型二相等向量與共線向量(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【題組訓(xùn)練】角度1概念辨析【典例】題8.（多選）有下列說法:其中,正確的說法是()A.,則一定不與共線;B.在?ABCD中,一定有;C.若,則;D.共線向量是在一條直線上的向量.【思路導(dǎo)引】依據(jù)相等向量和共線向量的定義逐個(gè)判斷.要特別注意向量共線與平面幾何中多點(diǎn)共線的區(qū)別.【答案】BC【解析】對(duì)于A,兩個(gè)向量不相等,可能是長(zhǎng)度不相等,但方向相同或相反,所以與有共線的可能,故A不正確;對(duì)于B,在?ABCD中,,與平行且方向相同,所以,故B正確;對(duì)于C,,則,且與方向相同;,則,且與方向相同,所以與方向相同且模相等,故,故C正確;對(duì)于D,共線向量可以是在一條直線上的向量,也可以是所在直線互相平行的向量,故D不正確.故選BC.【變式探究】題9.若,則.判斷此說法是否正確.【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí),可以是任意向量,故不一定平行;只有當(dāng)時(shí),才有,則.角度2相等向量、平行向量【典例】題10.如圖所示,O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形.在圖中所示的向量中:(1)分別寫出與相等的向量;(2)寫出與共線的向量.【思路導(dǎo)引】(1)找與(或)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量;(2)找與方向相同或相反的向量.【解析】(1)因?yàn)?且與的方向相同,所以與相等的向量是.同理,與相等的向量是.(2)因?yàn)锳O∥DE∥BF,A,O,C三點(diǎn)共線,所以與共線的向量是.【解題策略】1.相等向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量,再確定哪些是同向的.2.共線向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向或反向的向量.3.共線向量與相等向量的關(guān)系相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定是相等向量.若兩向量相等,則兩向量方向相同,模相等;若兩向量共線,則兩向量方向相同或相反.【題組訓(xùn)練】題11.給出以下5個(gè)條件:①;②;③與的方向相反;④或;⑤與都是單位向量.其中能使成立的是________.(填序號(hào))【解析】相等向量一定是共線向量,①能使;方向相同或相反的向量一定是共線向量,③能使;零向量與任一向量平行,④成立.答案:①③④題12.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABDE是矩形.(1)找出與相等的向量.(2)找出與共線的向量.【解析】(1)由四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABDE是矩形知,與的長(zhǎng)度相等且方向相同,所以與相等的向量為.(2)由題干圖可知,與方向相同,與方向相反,所以與共線的向量有.題13.如圖,以1×2方格紙中的格點(diǎn)(各線段的交點(diǎn))為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中:(1)寫出與相等的向量;(2)寫出與模相等的向量.【解析】(1)與相等的向量為,與相等的向量為.(2)與模相等的向量為.類型三向量的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【典例】題14.一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向向北偏西40°行駛了200km到達(dá)C點(diǎn),又改變方向,向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量;(2)求.四步內(nèi)容理解題意條件:從A點(diǎn)出發(fā),向西行駛100km到達(dá)B點(diǎn),向北偏西40°行駛200km到達(dá)C點(diǎn),向東行駛100km到達(dá)D點(diǎn).結(jié)論:(1)作出向量;(2)求.思路探求(1)根據(jù)題意作出向量即可.(2)先證四邊形ABCD為平行四邊形,再求.書寫表達(dá)(1)向量,如圖所示.(2)由題意,易知與方向相反,故與共線.又,所以在四邊形ABCD中,.所以四邊形ABCD為平行四邊形.所以km.注意書寫的規(guī)范性:①注意向量加箭頭;②畫圖時(shí)注意向量的方向,也就是箭頭的方向.題后反思向量有大小和方向,但是起點(diǎn)、終點(diǎn)不是固定的,可以平行移動(dòng).1.準(zhǔn)確畫出向量的方法和注意事項(xiàng)(1)方法①確定向量的起點(diǎn).②根據(jù)運(yùn)動(dòng)方向確定向量的方向,并根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).(2)注意事項(xiàng)用有向線段來表示向量是向量的幾何表示,必須確定起點(diǎn)、長(zhǎng)度和終點(diǎn),三者缺一不可.2.向量的常見應(yīng)用(1)相等向量的應(yīng)用利用向量的相等,可以證明線段相等或直線平行,但在證明直線平行時(shí)需說明兩向量所在的直線無公共點(diǎn).(2)平行向量的應(yīng)用用平行向量可以證明直線平行和三點(diǎn)共線,證明直線平行時(shí)需說明兩向量所在的直線無公共點(diǎn).【跟蹤訓(xùn)練】題15.如圖所示,在四邊形ABCD中,,N,M分別是AD,BC上的點(diǎn),且.求證: