復數乘除運算的三角表示及其幾何意義【新教材】人教A版高中數學必修同步練習（含解析）

2020-2021學年高一數學人教A版（2019）必修第二冊復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義同步練習學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一．選擇題若復數z1=2cosπ12+isinπ12A.24 B.22 C.2 若復數z1=4(cos?π4+isinπ4)，A.28-28i B.18若復數，則arg(z2)=

(

)A.2π5 B.4π5 C.12(cos30°+A.322+322i B.若復數，則z2=

(

)A.-2i B.1+i C.1-i D.2i若z=cosθ+isinθ(θ∈R,i是虛數單位)，則|z-2-2i|的最小值是(????)A.22 B.2 C.22+1若復數z=22cosπ6+isinπA.162 B.8 C.22 在復平面內，復數z=a+bi(a∈R,b∈R)對應向量OZ(O為坐標原點)，設OZ=r，以射線Ox為始邊，OZ為終邊逆時針旋轉的角為θ，則z=r(cosθ+isinθ)，法國數學家棣莫弗發(fā)現棣莫弗定理：z1=r1A.1024-10243i B.-1024+10243i

C.復數是方程x5+α=0的一個根，那么α的值為

(

)A.32+12i B.12設A，B，C是△ABC的內角，z=(cos?A+isin?A)÷(cos?B+isin?B)·(cos?C+isin?C)A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.形狀不能確定(多選)復數，若zn=z(n∈N)，則n的值可以是1 B.3 C.5 D.11二．填空題(3+-12若復數，z2=12cosπ4+設z1=-2+23i在復平面內對應的向量為OZ，將OZ繞點O按順時針方向旋轉150°，并將其模變?yōu)樵瓉淼?2，所得向量對應的復數z2=化簡：(cos?9θ+isin9θ)(三．解答題計算下列各式的值(結果寫成三角形式)(1)4cos．

如圖所示，復平面內的△ABC是等邊三角形，它的兩個頂點A，B的坐標分別是(2,0)，(4,2)．

(1)求向量AB對應的復數；(2)求點C的坐標．

已知復數z的實部大于零，且滿足，z2的虛部為2．(1)求復數z；(2)設z，z2，z-z2在復平面上的對應點分別為A，B，C，求AB?AC的值．

答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】

本題考查了復數的運算法則、考查了推理能力與計算能力，利用三角函數求出z，再利用復數的運算法則、即可得出．

【解答】由題意知，則1z1z2=122【解析】【分析】本題考查了復數的運算與三角函數綜合應用．

根據復數運算法則求z1【解答】解：由題意知

，

故選D．

3.【答案】A【解析】【分析】

本題考查了復數的三角形式，由復數的三角形式運算法則計算，可得arg(z2)的值．

【解答】

解：z2=3(cos12π5+isin12π5)=3(【解析】【分析】

本題主要考查三角函數的化簡求值和證明，根據題意求得答案．

【解答】

故選C．

5.【答案】D【解析】【分析】

本題考查了復數的三角形式，由復數的三角形式運算法則計算即可．

【解答】

解：，

故選D．

6.【答案】D【解析】解：由復數的幾何意義可知：z=cosθ+isinθ表示的點在單位圓上，

而|z-2-2i|表示該單位圓上的點到復數2+2i表示的點Z的距離，

由圖象可知：|z-2-2i|的最小值應為點A到Z的距離，

而OZ=22+22=22，圓的半徑為1，

故|z-2-2i|的最小值為22-1，

故選D

易得復數z表示的點在單位圓上，而要求的值為單位圓上的點到復數2+2i表示的點【解析】【分析】

本題考查了復數的三角形式，由，可得結果．

【解答】

解：，則|z3|=162，

故選A．

8.【解析】解：根據復數乘方公式：zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)，得

(-1+3i)10=210[cos(10×【解析】【分析】

本題考查了復數的運算，三角恒等變換，屬于基礎題．

根據題意將z代入方程，然后根據二倍角公式與和角公式即可求解．

【解答】

解：因為是方程x5+a=0的一個根，

所以．

故選D．

10.【答案】C

【解析】【分析】本題考查復數的三角形式，屬于基礎題．

由題意得

arg

z=A-B+C=π-2B=0求B，即可．【解答】解：因為z=(cos?A+isin?A)÷(cos?B+isin?B)·(cos?C+isin?C)是一個實數，

所以arg

z=A-B+C=π-2B=0，

∴B=π2．

11.【答案】CD【解析】【分析】

本題主要考查復數的三角形式，掌握復數的運算是解答本題的關鍵．

利用復數的三角形式運算即可．

【解答】

解：因為，

所以，，

因為zn=z，所以5n3π=π3+2kπ，n=6k+15，

因為n∈N，k∈Z，所以當k=4時，n=5；當k=9時，n=11，

故n的值可以是5或11．

故選【解析】【分析】

本題考查復數四則運算，對復數分母實數化，再化簡運算即可．

【解答】

方法一(化為三角形式)：

方法二(利用ω=-12+32i的性質)：

設ω=-12

13.【答案】1+i【解析】【分析】

本題考查復數的四則運算，屬于基礎題型.解答時即可以使用復數的代數形式運算求解，也可以使用復數的三角形式運算求解，解答過程依運算律運算即可．

【解答】

解：方法一(化為三角形式方法二(利用共軛復數的性質)：設ω=-12+32

14.【答案】7π【解析】【分析】本題主要考查了復數的四則運算及三角形式，考查了計算能力．

利用復數的四則運算，可得，由此可得其輻角的主值．【解答】解：因為，

所以z1z2的輻角的主值為7π12．

15.【答案】【解析】【分析】

本題考查了復數的三角形式，先將化成三角形式，再由將OZ繞點O按順時針方向旋轉150°，并將其模變?yōu)樵瓉淼?2，得，由復數的三角形式計算即可．

【解答】

解：，

根據題設條件得

．

故答案為．

16.【答案】cosθ-isinθ【解析】【分析】本題考查了復數的三角形式，由復數的三角形式運算法則計算即可．【解答】解：原式

．

故答案為cosθ-isinθ．

17.【答案】解：．

【解析】本題主要考查了復數的三角運算，屬于基礎題．

(1)利用復數的三角運算的乘法運算法則計算出結果；

(2)利用復數的三角運算的除法運算法則計算出結果．

18.【答案】解：(1)因為點A，B的坐標分別是(2,0)，(4,2)，

所以OA=(2,0)，OB=(4,2)，

所以AB=OB-OA=(4,2)-(2,0)=(2,2)，

故向量AB對應的復數為2+2i．

(2)由題可知向量AC對應的復數為

，

故AC=(1+3,1-3)，

【解析】本題考查了復數的代數表示及其幾何意義和復數的三角形式

，是基礎題．

(1)先得出OA，OB的坐標，再得出AB的坐標，由復數的幾何意義可得結果；

(2)由題可知向量AC對應的復數為，可得向量AC的坐標，得出OC的坐標，可得點C的坐標．

19.【答案】解：(1)因為z2=2所以2sin2θ=2，則sin2θ=1，所以2θ